Математика для инженеров(практика) I часть

20.Найти ранг системы векторов:

1)x1 = (2;1;6), x2 = (6;0;0), x3 = (2;5;1) ;

2)x1 = (0;2;2), x2 = (1;2;3), x3 = (2;2;4) ;

3)x1 = (2;0;1;0), x2 = (1;0;2;1), x3 = (2;4;0;0), x4 = (2;1;1;1) ;

4)x1 = (-1;2;3;-1), x2 = (-2;0;0;1), x3 = (0;0;2;2), x4 = (3;-2;-1;2) ;

5)x1 = (3;8;1;0), x2 = (-2;-9;0;2), x3 = (0;1;0;1), x4 = (2;0;2;6) .

21.Дан базис e1, e2 , e3 . Показать, что векторы 2e1, e1 - e2 , e3 + e2

также образуют базис.

22.Найти все базисы системы векторов:

1)a1 = (2;1;0;3), a2 = (1;1;-1;2), a3 = (1;0;0;1), a4 = (4;2;-1;6) ;

2)a1 = (3;1;5;6), a2 = (2;1;2;2), a3 = (1;2;3;4), a4 = (4;0;4;4) ;

3)a1 = (2;1;0), a2 = (3;1;1), a3 = (1;1;-1) ;

4)a1 = (1;-1;0), a2 = (-3;11;1), a3 = (2;-10;-1) ;

5)a1 = (5;1;1), a2 = (-4;-1;7), a3 = (-3;0;-24) .

элемент равен единице, а все остальные элементы нули. Являются

ли матрицы E11, E12 ,..., E1n , E21, E22 ,..., E2n ,..., Enn линейно независимыми?

24. Дан вектор x = e1 + e2 - 2e3 + e4 . Разложить этот вектор по новому

e1¢,e2¢,e3¢ , если e1¢ = 2e1 - e2 ,e2¢ = 3e1 - e3 , e3¢ = e1 + e2 + e3 .

271

27.Дан вектор x = 2e1 − e2 + 2e3 . Разложить этот вектор по новому

базису e1′,e2′,e3′ , если e1′ = e2 − 2e3,e2′ = 2e1 + e3 , e3′ = e2 − e3 .

28.Возможны ли зависимости e1′ = e1 − e2 ,e2′ = e2 + e3 , e3′ = 2e1 + e2

между старым базисом e1,e2 ,e3 и новым e1′,e2′,e3′ ?

29.Дополнить до базиса пространства систему векторов, заданных координатами в некотором базисе пространства:

1)a1 = (3;2;1), a2 = (1;2;1) ;

2)a1 = (2;4;1), a2 = (1;0;1) ;

3)a1 = (2;1;0), a2 = (3;2;−1) ;

4)a1 = (0;1;1), a2 = (1;0;1) ;

5)a1 = (2;1;1;0), a2 = (2;1;0;0) ;

6)a1 = (4;1;1;2), a2 = (−1;1;0;3) ;

7)a1 = (1;2;0;0), a2 = (2;0;1;0) .

30.Является ли множество всех свободных векторов, параллельных некоторой плоскости, для которых обычным образом определены операции сложения векторов и умножения вектора на число,

подпространством линейного пространства 3 ?

31. Является ли множество всех свободных векторов, параллельных некоторой прямой, для которых обычным образом определены операции сложения векторов и умножения вектора на число,

подпространством линейного пространства 3 ?

32.Проверить, является ли множество всех векторов, лежащих на оси Ox ( начало любого вектора предполагается совпадающим с началом координат), подпространством пространства направленных отрезков плоскости, отложенных от начала координат.

33.Проверить, является ли линейным подпространством n -мерного векторного пространства совокупность векторов, координаты которых – целые числа.

34.Является ли множество всех алгебраических многочленов Pn−1(x)

степени не выше n −1, подпространством пространства многочленов степени не выше n ?

272

35.Показать, что множество матриц (−ac bc), a,b,c является

подпространством векторного пространства квадратных матриц. Найти базис и размерность этого подпространства. Указать

подпространством векторного пространства квадратных матриц. Найти базис и размерность этого подпространства. Указать

38.Проверить, являются ли линейно зависимыми системы векторов:

1)3x2 + 4, x2 − x −1, x2 + 2x + 6 ;

2)sin2 x, cos2 x, 1;

3)sin2 x, cos2 x, x3, xex , 2 ;

4)x +1, x − 3 ;

5)sin x, cos x ;

6)2 − x, 3x −1, 2x + 4 ;

7)x2 + 3x, x2 − 2x +1, 2x +1 ;

8)x, ex , xex ;

9)ex , e2x , e3x ;

10)1, cos2 x, cos 2x ;

11)sin x, cos x, sin 2x ;

12)x2 + 2x, 3x2 −1, x + 4 .

39.Проверьте, образует ли каждая из следующих систем многочленов базис в пространстве многочленов над степени не больше

273

четырех, и в каждом из этих базисов найдите координаты многочлена f (x) =1- 2x + 3x2 - 4x3 + 5x4 :

1)1, x, x2 , x3, x4 ;

2)1- x, x, x2 - x, x3, x4 - x ;

3)1- x4 , x - x4 , x2 - x4 , x3 - x4 , x4 ;

4)1, x -1,(x -1)2 ,(x -1)3,(x -1)4 .

40.Проверить, какие из множеств являются подпространствами действительных линейных пространств:

1)множество всех векторов, ортогональных заданной плоскости;

2)множество всех действительных симметрических матриц порядка n ;

3)множество всех действительных кососимметрических матриц порядка n .

ìx1 - x2 - x4 = 0,

7)ïíx1 - 2x3 + x4 = 0, ïîx1 - 2x2 + 5x4 = 0.

274

§ 2. Евклидово пространство

10. Определение евклидова пространства. В линейном пространстве V кроме операций сложения элементов и умножения элемента на действительное число, введем еще одну операцию – скалярное произведение. Каждой паре векторов x, y V поставим в соответствие действительное число (x, y) ,

которое и назовем скалярным произведением.

Потребуем, чтобы для любых x, y, z V и любого числа

αвыполнялись следующие аксиомы:

1.(x, y) = ( y, x) ;

2.(λx, y) = λ (x, y) ;

3.(x + y, z) = (x, z) + ( y, z) ;

4.(x, x) > 0 при x ¹ 0,(x, x) = 0 для x = 0 .

Очевидно, что скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов нулевой: (0, y) = (0x, y) = 0(x, y) = 0 .

Скалярное произведение (x, x) вектора x на себя

называют скалярным квадратом этого вектора.

Евклидовым пространством называется линейное действительное пространство, в котором задана операция скалярного

произведения векторов, удовлетворяющая аксиомам 1 – 4.

В качестве примера евклидова пространства рассмотрим n-

мерное линейное пространство n упорядоченных совокупностей n действительных чисел. Скалярное произведение двух векторов этого пространства x = (x1; x2;K; xn ) , y = ( y1; y2;K; yn ) , определим как

275

20. Норма вектора евклидова пространства. Нормой x

вектора x евклидова пространства называется арифметическое значение корня из скалярного квадрата x2 этого вектора:

x = x12 + x22 +K+ xn2 .

Свойства нормы вектора x :

1) x = 0 в том и только в том случае, когда x = 0 .

2)α x = α x , где α – любое действительное число.

3)(x, y) £ x × y . Это неравенство называют неравенством

неравенством треугольника.

Углом между векторами x и y евклидова пространства называется угол ϕ , для которого

Пример 1. Является ли множество всех векторов плоскости евклидовым пространством, если скалярное произведение двух векторов определить как произведение их длин?

Решение. Согласно условию, скалярное произведение зададим

следующим образом: (x, y) = x12 + x22 +K + xn2 y12 + y22 +K + yn2 . Проверим выполнение аксиом 1 – 4.

Очевидно, аксиомы 1, 2 выполняются. Аксиома 3 не выполняется. Действительно,

(x + y, z) = (x1 + y1)2 + (x2 + y2 )2 +K+ (xn + yn )2 z12 + z22 +K+ zn2 ¹

¹ x12 + x22 +K+ xn2 z12 + z22 +K+ zn2 +

+ y12 + y22 +K+ yn2 z12 + z22 +K+ zn2 = (x, z) + ( y, z).

Таким образом, множество всех векторов плоскости, если скалярное произведение двух векторов определено как произведение

их длин, не является евклидовым пространством. □

276

Пример 2. Пусть дано евклидово пространство n . Как можно

изделий первого вида, x2 y2 – себестоимость всего количества изделий второго вида и т.д.

Отсюда ϕ » arccos0,65 » 0,863o . □

Пример 4. Дано евклидово пространство n . Определить угол между векторами x = (2;4;6;...;2n) и y = (0;1;0;...;0) .

Решение. Подставляя координаты векторов в формулу (3) и используя формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, получаем

277

Откуда x + y ≤ x + y .□

30. Ортогональные системы векторов. Два вектора x и y

евклидова пространства V называются ортогональными (x ^ y) , если выполняется условие (x, y) = 0 .

Так как в пространстве свободных векторов 3 понятие ортогональности совпадает с понятием перпендикулярности векторов, то ортогональность можно рассматривать как обобщение понятия перпендикулярности в абстрактном евклидовом пространстве.

Система векторов

называется ортогональной, если ее векторы попарно ортогональны,

т.е. (ai , a j ) = 0 при i ¹ j .

Ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов, является линейно независимой.

Пусть теперь V – n-мерное евклидово пространство. Тогда ортогональная система векторов (4) образует ортогональный базис этого пространства.

Если есть произвольный базис a1, a2 ,K, an n-мерного евклидова пространства V , то можно построить базис b1,b2 ,K,bn , состоящий из попарно ортогональных векторов, с помощью так называемого процесса ортогонализации. Принимаем b1 = a1 . Если векторы b1,b2 ,K,bk , k < n уже построены, то вектор bk+1 строится по формуле

278

ортонормированной, если она является ортогональной и нормированной.

Базис n-мерного евклидова пространства V называется ортонормированным, если базисные векторы образуют

y = y1e1 + y2e2 +K+ ynen , то их скалярное произведение (x, y) равно сумме произведений их одноименных координат, т.е.

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 +K+ xn yn .

Пример 6. В случае ортонормированного базиса {e1,e2 ,e3,e4}

найти длину вектора x =e1 − 2e2 + 3e3 − 4e4 . Решение. Длина вектора x равна

x = 12 + (-2)2 + 32 + (-4)2 = 30 . □

Пример 7. Показать, что векторы a1 = ( 2;1;-2) , a2 = (1;2;2)

ортогональны. Дополнить систему a1, a2 до ортогонального базиса в 3 . Найти координаты вектора b = (3;3;3) в этом базисе.

Решение. Вычислим скалярное произведение векторов a1 и a2 : (a1,a2 ) = 2×1+1× 2 + (-2)2 = 0 . Оно равно нулю, следовательно,

векторы ортогональны.

279

Решая систему (6), находим одно из частных решений (2;-2;1) .

Итак, a3 = (2;-2;1) .

Пример 9. Построить по системе линейно независимых векторов a1 = ( 2;1;-1) , a2 = (1;2;1), a3 = (1;1;2) ортонормированный

280