Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(практика) I часть

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3835 36 37 38 > Следующая >>>

ç x

- 2 ×

xy +

÷ -

+14y

- 2z +1 = 0

ö2

ç x

y ÷

= 2

ç z -

÷ .

Применим

линейное

невырожденное

преобразование

x = x

z = z

+ 2

, которое следует из замены x

= x - 7 y ,

y ,

y = y ,

= y,

= z

- 2 .

Тогда

уравнение

имеет

вид

(20):

14(x )

( y )

представляет

собой

эллиптический

параболоид. □

Пример 11. Привести к каноническому виду уравнение и установить расположение поверхности 2xy + 2xz + 2yz + x + y − z = 0 .

Решение. Соответствующая квадратичная форма имеет вид Q(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz . Составим характеристическое уравнение и

найдем собственные векторы и собственные значения матрицы квадратичной формы:

	-λ	1	1	= 0 Þ λ1 = λ2 = -1, λ3 = 2 .
	-λ	1	1
	1	-λ	1
	1	1	-λ
Найдем собственные				векторы, соответствующие λ1 = λ2 = −1.

Система для нахождения их координат следующая:

æ0

1ö

æ x1

ç 1

= -x1

- x1.

ç x1

÷ = -1ç x1

÷ Û x1

ç 1

ç x

è 3

Полагая x1

= c , x1

= c

имеем

= -c

- c

Получаем

1 3

-c - c

семейство собственных векторов

где

¹ 0 . Из

+ c2

этого семейства

выделим

два

линейно

независимых

вектора.

341

Положив, например,			c	=1,c	= -1 , будем иметь		1	æ 0		ö
Положив, например,			c	=1,c	= -1 , будем иметь		x	= ç	1	÷ .
			1	2				ç		÷
								è	-1ø
			æ -c - c		ö
Собственный вектор x	2	=	ç	1 2	÷				1	и
Собственный вектор x		=	ç	c1	÷	определим так, чтобы векторы x				и
			è	c2	ø

x2 были ортогональ-
ны. Положив c	=1, c =1 , получим	x2	æ -2ö
ны. Положив c	=1, c =1 , получим	x2	= ç	1	÷ .
1	2		ç	1	÷
			è	1	ø
						æ x3		ö
Координаты собственного вектора x3						ç	1	÷
Координаты собственного вектора x3					=	ç x3		÷	, соответствующего
						ç	2	÷
						ç x3		÷
						è	3	ø

собственному значению λ3 = 2 , найдем из системы

æ x3

æ0 1 1öç 1

= x

1 0 1

÷ç x3

= 2ç x3

ïx

Û í

1 1 0

÷ç 2

ïx3

= x3.

øç x3

ç x3

è 3

æ1ö

Тогда x3 = cç1÷ . Полагая c =1, получаем x3

= ç1÷

ç ÷

è1ø

Пронормировав полученные собственные векторы, имеем

1 ö

= ç0;

, x

= ç -

;

÷ , x

;

÷ .

2 ø

6 6 6 ø

3 3 3

Построим

ортогональную

матрицу

Т,

приводящую

квадратичную форму к каноническому виду:

1 ö

T = ç

÷ .

ç -

Соответствующее ортогональное преобразование

342

ïx = -

z ,

íy =

z ,

x¢

y¢ +

z¢

ïz = -

приводит квадратичную форму Q(x, y, z) к каноническому виду. Тогда исходное уравнение примет вид:

						-(x¢)2 - ( y¢)2 + 2(z¢)2 +																								x¢ -				1	y¢ +			1				z¢ = 0 .
																												2						1				1

																																		6				3
Выделяем полные квадраты:																																		6				3
Выделяем полные квадраты:
				æ													1			ö			1	æ										1							1			ö			1
				æ	(x¢)		2					2			x¢ +		1			ö			1	æ		( y¢)				2				1			y¢ +				1			ö			1
				ç				- 2												÷	-			+ ç							+ 2													÷ -				-


				ç							2						2			÷			2 è											2 6						24 ø 24
				è							2						2			ø			2 è											2 6						24 ø 24
					æ	(z¢)			2							1	z¢						1	ö		1
				-2ç						+ 2										+				÷ +					= 0
																						48				24
														4 3
					è									4 3										ø
или																ö2
							æ											æ						1			ö2					æ				1		ö2						1
							æ						2					æ						1			ö2					æ				1		ö2						1
							ç x¢ -									÷ +				y¢ +									- 2				z¢ +									=			.
																		ç									÷					ç						÷

							ç				2					÷							2 6													4 3								2
							è				2					ø		è					2 6				ø					è				4 3		ø						2

			Производя параллельный перенос осей координат x																																											¢	= x	¢¢	2
																																														¢		¢¢	+ 2	,
																																																	+ 2	,
y	¢	= y	¢¢		1				z	¢	= z			¢¢			1
				- 2												- 4
						6 ,													3 , получим уравнение
						6 ,													3 , получим уравнение
					(x¢¢)2 + ( y¢¢)2 - 2(z¢¢)2 =																				1		или					(x¢¢)2				+ ( y¢¢)2							- (z¢¢)2						=1 .
					(x¢¢)2 + ( y¢¢)2 - 2(z¢¢)2 =																						или							1		+ ( y¢¢)2							- (z¢¢)2						=1 .
																								2										1					1								1
																																		2				2									4
			Итак, каноническое уравнение имеет вид (16) и представляет
собой однополостный гиперболоид. □

Пример 12. Привести к каноническому виду уравнение и установить расположение поверхности

x2 + 4y2 + 9z2 - 4xy + 6xz -12yz - 2x + 4y - 6z +1 = 0 .

343

Решение. Для соответствующей	квадратичной формы
Q(x, y, z) = x2 + 4y2 + 9z2 - 4xy + 6xz -12yz	составим

характеристическое уравнение и найдем собственные векторы и собственные значения матрицы квадратичной формы:

1- λ	-2	3
1- λ	-2	3
-2	4 - λ	-6	= 0 Þ λ1 =14, λ2 =λ3 = 0 .
3	-6	9 - λ

æç x11 ö÷

Координаты собственного вектора x1 = çç x12 ÷÷ , соответствующего

çè x13 ÷ø

собственному значению λ1 =14 , найдем из системы

æ 1 -2 3 ö

æ x1

ì 1

, .

-2 4 -6

ç x1

=14ç x1

÷ Û ïx2

= -2x1

= 3x1.

-6 9

ïx1

ç x1

î 3

1 ö

-2

Тогда x

= cç -2

. Полагая c =1, получаем x

= ç

Найдем теперь собственные векторы, соответствующие λ2 = λ3 = 0 .

Система для нахождения их координат следующая:

-2

3 ö

æ x2

= 2x2

- 3x2.

ç-2 4 -6

ç x2

÷ = 0,Û x2

-6

ç x2

Полагая

= c , x2

= c

имеем

= -2c

- c .

Получаем

2c - 3c

двухпараметрическое семейство собственных векторов

1 c

÷ ,

где c 2

+ c 2 ¹ 0 .

Из

этого

семейства

выделим

два

линейно

c1 = 3,c2 = 2 ,

независимых вектора. Положив, например,

будем иметь

344

æ0ö

2c - 3c

x2 =

. Собственный вектор

= ç

1 c

определим так, чтобы

векторы x2 и x3 были ортогональны. Положив c

= -2, c

= 3 , получим

-13ö

= ç

- 2 ÷ .

Пронормировав векторы x1 ,

x2 , x3 , имеем

3 ö

2 ö

= ç

;

, x

= ç0;

;

14 ø

13 ø

= ç

; -

;

÷ .

182

Непосредственной проверкой убедимся, что векторы x1 , x2 , x3 попарно ортогональны.

Строим ортогональную матрицу Т, приводящую квадратичную форму к каноническому виду:

æ	1						0					-	13		ö
ç															÷

	14												182
ç	14												182		÷
ç		2					3						2		÷
T = ç	-	2					3					-	2		÷ .

		14					13						182
ç		14					13						182		÷
ç	3						2						3		÷
ç															÷

	14						13						182
è	14						13						182		ø
Применим к исходному уравнению соответствующее
ортогональное преобразование
ì	1		¢				13		¢
ïx =		x	¢	-					¢
ïx =	14	x		-			182			z ,
ï	14						182
ï	2				¢		3				¢		2			¢
íy = -				x	¢	+				y	¢	-				¢
íy = -	14			x		+	13			y		-	182			z ,
ï	14						13						182
ï	3	x¢ +					2	y¢ +					3	z¢
ïz =	3						2						3
ïz =
î	14						13						182

345

и приведем квадратичную форму Q(x, y, z) к каноническому виду. Тогда исходное уравнение запишется так:

14(x′)2 − 214x′ +1 = 0 или (14x′ −1)2 = 0 .

Отсюда получаем пару совпадающих плоскостей x′ = 114 . □

Задания для самостоятельной работы

1.Найти канонические уравнения кривых:

1)4x2 + 4xy + y2 − 45x + 25y − 5 = 0 ;

2)6x2 +10xy + 6y2 + 4x − 4y + 2 = 0 ;

3)7x2 + 8xy + y2 − 65x + 65y −12 = 0 ;

4)6x2 − 6xy − 2y2 + 2x + 6y − 7 = 0 ;

5)−4x2 +12xy − 9y2 + 413x + 313y − 5 = 0 ;

6)x2 − 6xy + y2 +12x − 4y = 0 ;

7)10x2 − 8xy + 4y2 − 35x + 25y − 6 = 0 ;

8)6x2 − 4xy + 3y2 − 65x + 5y + 7 = 0 ;

9)−x2 +16xy −13y2 − 2x + 4y − 3 = 0 ;

10)5x2 − 4xy + 5y2 +18x − 24y − 2 = 0 .

2.Определить вид и параметры линий:

1)9x2 + 24xy + 2y2 − 45x +10y − 4 = 0 ;

2)3x2 − 24xy +10y2 + 60x − 6 = 0 ;

3)3x2 −14xy + 3y2 + 82x − 82y −16 = 0 ;

4)x2 − 4xy + 4y2 + 5x −10y − 5 = 0 ;

5)11x2 + 24xy + y2 − 413x + 213y − 2 = 0 ;

6)4x2 + 6xy + 4y2 +182x +102y − 4 = 0 ;

7)x2 +12xy −15y2 − 20x + 30y − 4 = 0 ;

8)9x2 − 6xy + y2 + 42x −14y + 45 = 0 ;

9)4x2 + 8xy + 4y2 + 6x − 8y − 3 = 0 ;

10)4x2 + 4xy + y2 +10x −15y − 7 = 0 .

346

3.Определить форму и расположение линий:

1)8x2 + 4xy + 5y2 + 70x − 5y + 6 = 0 ;

2)10x2 + 8xy − 5y2 + 417x − 517 y − 2 = 0 ;

3)20x2 + 24xy +13y2 + 60x −15y +144 = 0 ;

4)3x2 − 24xy − 4y2 + 50x − 5y + 3 = 0 ;

5)4x2 + 24xy − 3y2 + 25x +10y −1 = 0 ;

6)4xy − 3y2 + 5x − 3 = 0 ;

7)6xy − 5x + 7 y − 2 = 0 ;

8)5x2 + 2xy + 5y2 +16x + 8y − 4 = 0 ;

9)8x2 +16xy + 8y2 + 6x + 26y − 4 = 0 ;

10)4x2 − 24xy − 3y2 + 40x −10y +1 = 0 .

4.Привести к каноническому виду уравнения:

1)2x2 + y2 + 3z2 − 42yz + 6x − 3 = 0 ;

2)2x2 + 2y2 + 5z2 + 4xy + 2xz + 2yz −12y + 6z − 2 = 0 ;

3)2x2 + 6y2 + 3z2 − 4xy + 4xz − 7x + 7 y +1 = 0 ;

4)5x2 + 9y2 + 9z2 −12xy − 6xz + 635y − 435z + 43 = 0 ;

5)4x2 + y2 + 9z2 − 4xy +12xz − 6yz −14 = 0 ;

6)5x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy + 2xz − 4yz + 6x − 6y − 4 = 0 ;

7)8x2 +10y2 + 2z2 − 8xy − 8yz − 7x + 7 y − 7z = 0 ;

8)2x2 + 2y2 + 4xy + 4xz − 4yz + 4x − 4y − 3 = 0 ;

9)4x2 + 3y2 + 4xy − 4xz −1421y − 6 = 0 ;

10)8x2 + 4y2 + 5z2 + 2xz − 5x + 5y −10z + 6 = 0 .

5.Выяснить какие поверхности определяются следующими уравнениями:

1)6x2 − 2y2 + 4z2 + 8yz + 5y − 4 = 0 ;

2)4x2 + y2 + 4xz + 4yz + 242x − 442z −14 = 0 ;

3)x2 + 3y2 + z2 + 4xy − 8xz − 4yz −10 = 0 ;

4)x2 + 3y2 + z2 − 2xz + 42x − 6y − 3 = 0 ;

347

5)4x2 + 3z2 − 4yz + 6x − 5z + 94 = 0 ;

6)− y2 + 2xy + 2yz − 6x + 6z − 4 = 0 ;

7)6x2 − 2y2 + 6z2 + 4xz + 4y + 4 = 0 ;

8)y2 − 8xy + 4yz + x + 2z − 4 = 0 ;

9)x2 − 20y2 + 8z2 + 24xz + 40x + 40y − 52 = 0 ;

10)10x2 − 20y2 +12z2 +16xy + 817x + 417 y + 24z + 39 = 0 .

6.Определить канонические уравнения поверхностей:

1)3x2 − 3y2 + 4z2 + 8xy +105x − 8z +19 = 0 ;

2)14xz +14yz + x − y − 62 = 0 ;

3)6x2 + 5y2 + 7z2 − 4xy + 4xz + 21x + 6z + 21 = 0 ;

4)x2 + y2 + z2 + 4xy + 62x + 2z − 4 = 0 ;

5)2xy − 6xz + 85x − 10 = 0 ;

6)x2 + y2 + z2 + 8xy + 6z = 0 ;

7)3x2 + 3y2 + 3z2 + 4yz + 6x +102z −15 = 0 ;

8)2x2 +10y2 − 2z2 + 6xy + 310x −1210y +135 = 0 ;

9)2z2 +16xz − 8yz −125x + 65y −1 = 0 ;

10)3x2 + 3y2 + 4z2 + 8xy + 72x + 72y −16z + 23 = 0 .

Применение пакета «Mathematica 5.0» для решения типовых задач главы 4 «Линейная алгебра»

Пример 1. Определить собственные значения и собственные

векторы матрицы	æ 0		2	1	ö
векторы матрицы	s = ç	2	0	0	÷ .
	ç	-2	0	0	÷
	è	-2	0	0	ø

Для решения этой задачи составим программу

348

g = (2;8;-10) по этому базису.

Щелкнув правой кнопкой мыши на набранной ячейке, выбираем команду Расчет ячеек. Получим

Таким образом, собственные

значения

матрицы

s : λ1 = -

,(0;

-1;2) . □

λ2 = 2,λ3

= 0 ; собственные векторы:

;-1;1÷

,ç

;-1;1÷

Пример 2. Построить по системе линейно независимых

векторов

a = (3;2;1),b = (1;1;1),c = (0;2;3) ортонормированный

базис

найти разложение вектора Составим программу, описывающую процесс ортогонализации:

В результате получим

349

Тогда искомый ортогональный базис имеет вид

æ	3		1				ö		æ		2		4		1 ö	æ		1			1						ö
æ	3		1		2		ö		æ	-	2		4		1 ö	æ	-	1		;-	1					2	ö	,
ç		;		;		÷		,				;		;		,ç							;				÷

									ç						÷
ç	14		14		7	÷			ç		21		21		÷	ç		6			6				3		÷
è	14		14		7	ø			è		21		21		21 ø	è		6			6				3		ø
а координаты вектора g в полученном базисе ççæ -3																															÷÷ö . □
																								2	;6			3	;-5
																								2				3		6
																						7						7		6
																			è			7						7		ø

Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму Q(x, y, z) = 2x2 + 2y2 + 5z2 + 4xy + 2xz + 2yz .

Составим программу

350

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3835 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202563 Кб4Март 2017.docx
#
14.04.201961 Кб7Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192 Мб64Мат Моделирование (конспект).doc
#
01.04.20252 Мб6МАТ.АН_1КУРС_3,4ГРУППА_ПИЦЕВИЧ.docx
#
01.03.202565 Кб3матан 1-13.docx
#
18.02.20163 Мб126Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164 Мб138Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161 Мб70Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
01.07.2025526 Кб0Материал к госэкзамену для заочников.doc
#
01.05.2025108 Кб1материал к кср налоговое.docx