Часть II. Задачи
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
Меню |
Назад Вперёд |
6.2.Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
369.Найдите общее решение дифференциального уравнения. В соответствующих случаях укажите частное решение:
1) |
|
− ( |
+ ) = 0, (1) = 2; |
[Решение] [Ответ] |
|||||||||||||
2) |
′ = |
|
|
ln |
|
, |
|
(1) = 1; |
[Решение] [Ответ] |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||
( − cos ) + cos = 0; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
( 2 + + 2) − 2 = 0; |
[Ответ] |
|||||||||||||||
|
′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
|
|
|
(1 + ln − ln ); |
[Ответ] |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
6) |
( + 2 ) + ( 2 − 2) = 0; |
[Ответ] |
|||||||||||||||
7) |
′ = − 2 − 2√ |
|
; |
[Ответ] |
|||||||||||||
− 2 |
|||||||||||||||||
8) |
′ = |
|
|
|
− |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9) |
′ = − / + |
|
, (1) = 0; |
[Ответ] |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
(√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10) |
|
− ) + = 0; |
[Ответ] |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
11) |
′ = |
|
+ 2 − / |
; |
[Ответ] |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
12) |
( + 2 + 1) + (3 − 2 ) = 0; |
[Решение] [Ответ] |
|||||||||||||||
13) |
( − 2) + ( − 2 + 1) = 0; |
[Ответ] |
|||||||||||||||
Часть II. Задачи
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
Меню Назад Вперёд
14) |
(6 + − 1) |
|
+ (4 |
+ − 2) = 0; |
[Ответ] |
||||||||||||||||||||||||
15) |
(3 |
− |
7 |
− |
|
3) |
′ + 7 |
− |
3 |
− |
7 = 0 |
; |
[Ответ] |
||||||||||||||||
16) |
′ |
= 2 |
( + − 1) |
2 |
. |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
370. |
Найдите общее решение дифференциального уравнения. В соответ- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
ствующих случаях укажите частное решение: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
1) |
′ |
− = ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Решение] [Ответ] |
||||||||||||||
2) |
′ = + ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
3) |
′ |
+ 2 = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||
4) |
′ |
+ = 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||
5) |
2 ′ = 2 + ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Решение] [Ответ] |
||||||||||||||||||
6) |
′ |
+ |
|
3 |
= |
|
2 |
, |
|
(1) = 1; |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7) |
′ + ( + 1) = 3 2 − , |
(1) = 0; |
[Ответ] |
||||||||||||||||||||||||||
8) |
2 ′ |
+ 2 = ln , |
(1) = 2; |
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||||||||||||
9) |
′ |
− 3 = 4 , |
|
(1) = ; |
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||||||||||
10) |
′ |
+ = √ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11) |
′ |
+ tg = sin 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12) |
′ |
+ |
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13) |
( + 2) + = 0; |
|
|
|
|
|
[Решение] [Ответ] |
||||||||||||||||||||||
14) |
′ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Часть II. Задачи
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
Меню |
′ sin − cos = 1, ( |
4 ) |
= √2 |
|
Назад Вперёд |
||||||
15) |
; |
[Ответ] |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16) |
+ (4 ln − 2 − ) = 0; |
|
[Ответ] |
||||||||
17) |
( ′ + )( 2 + 1) = − , (0) = 1; |
|
[Ответ] |
||||||||
18) |
′ + |
2 |
2 = 3 2√4 |
|
, (1) = 1; |
|
[Ответ] |
||||
3 |
|
||||||||||
|
|
||||||||||
19) |
′ − |
ln = − ; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||
20) |
′ + |
= 2. |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||
371.Модель роста в условиях конкурентного рынка имеет вид
′ = ( ) ,
где ( ) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени , ( ) — цена реализованной продукции, — норма инвестиций, — норма аселерации. Найдите выражение для объема реализованной продукции = ( ), если известно, что кривая спроса ( ) задается уравнением ( ) = 2 − , = 2, = 0, 5, (0) = 0, 5.
[Решение] [Ответ]
372.Доход ( ), полученный к моменту времени некоторой отраслью, является суммой инвестиций ( ) и величины потребления ( ), т.е.
( ) = ( ) + ( ).
Пусть скорость увеличения дохода пропорциональна величине инвестиций, т.е.
′( ) = ( ),
где — коэффициент капиталоемкости прироста дохода. Найдите функцию дохода ( ), если известно, что величина потребления за-
дается функцией = 2 , = 1 |
, (0) = 2. |
[Решение] [Ответ] |
2 |
|
|
Часть II. Задачи
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
Меню |
Назад Вперёд |
373.Пусть сумма руб. положена в банк под % годовых. Если начисление процентов осуществляется непрерывно, то закон изменения суммы( ) описывается дифференциальным уравнением
′ = 100 .
Через какое время сумма вклада удвоится, если = 10?
[Решение] [Ответ]
Часть II. Задачи
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.3. Линейные уравнения второго порядка
Меню |
Назад Вперёд |
6.3.Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
374.Найдите общее решение однородных дифференциальных уравнений:
1) |
′′ − 5 ′ + 4 = 0; |
[Решение] [Ответ] |
2) |
′′ − 6 ′ + 9 = 0; |
[Решение] [Ответ] |
3) |
′′ + 8 ′ + 25 = 0; |
[Решение] [Ответ] |
4) |
′′ − 3 ′ − 4 = 0; |
[Ответ] |
5) |
′′ + 4 ′ + 4 = 0; |
[Ответ] |
6) |
′′ − 2 ′ + 2 = 0; |
[Ответ] |
7) |
′′ − 5 ′ + 6 = 0; |
[Ответ] |
8) |
′′ − 9 = 0; |
[Ответ] |
9) |
′′ + 4 ′ = 0; |
[Ответ] |
10) |
′′ + 2 ′ + 5 = 0; |
[Ответ] |
11) |
′′ − = 0; |
[Ответ] |
12) |
′′ + = 0; |
[Ответ] |
13) |
′′ − 7 ′ + 10 = 0; |
[Ответ] |
14) |
′′ + 10 ′ + 25 = 0; |
[Ответ] |
15) |
′′ + 6 ′ + 10 = 0; |
[Ответ] |
16) |
′′′ − 6 ′′ + 11 ′ − 6 = 0; |
[Ответ] |
Часть II. Задачи
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.3. Линейные уравнения второго порядка
Меню |
|
|
Назад Вперёд |
17) |
′′′ − 8 = 0; |
[Ответ] |
|
18) |
(4) |
+ 13 ′′ + 36 = 0; |
[Ответ] |
19) |
(4) |
− 16 = 0. |
[Ответ] |
375. |
Решите уравнение Эйлера: |
|
|
1) |
2 ′′ + 2 ′ − 6 = 0; |
[Решение] [Ответ] |
|
2) |
2 ′′ + 3 ′ + = 0; |
[Ответ] |
|
3) |
′′ |
+ ′ = 0; |
[Ответ] |
4) |
′′ |
+ 4 ′ + 2 = 0; |
[Ответ] |
5) |
(2 + 1)2 ′′ − 2(2 + 1) ′ + 4 = 0; |
[Решение] [Ответ] |
|
6) |
( + 2)2 ′′ + 3( + 2) ′ − 3 = 0. |
[Ответ] |
|
376.Проинтегрируйте уравнения методом вариации произвольных постоянных:
1) |
′′ |
+ |
4 = |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
[Решение] [Ответ] |
||
cos 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
′′ |
− |
2 ′ + |
= |
2 |
+ 2 + 2 |
; |
[Ответ] |
|||||||
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
3) |
′′ |
|
= 4√ + |
|
1 |
|
; |
|
[Ответ] |
||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) |
′′ |
+ |
= tg ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||
5) |
′′ + |
2 ′ + = |
− |
; |
|
[Ответ] |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
′′ |
+ = |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Часть II. Задачи
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.3. Линейные уравнения второго порядка
Меню |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
7) |
′′ − 2 = 4 2 2 ; |
[Ответ] |
|||||||||||
8) |
′′ + = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
[Ответ] |
|
cos 2 √ |
|
|
|||||||||||
cos 2 |
|||||||||||||
9) |
′′ − ′ |
= |
√ |
2 |
|
|
|
; |
[Ответ] |
||||
|
|
|
|||||||||||
1 − |
|
2 |
|||||||||||
|
′′′ + ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10) |
= tg . |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||
377. |
Проинтегрируйте уравнения со специальной правой частью: |
||||||||||||
1) |
′′ + 2 ′ + = ; |
[Решение] [Ответ] |
|||||||||||
2) |
′′ + ′ |
− 2 = 6 2; |
[Ответ] |
||||||||||
3) |
′′ − 3 ′ + 2 = 10 − ; |
[Ответ] |
|||||||||||
4) |
′′ + 4 ′ − 5 = 1; |
[Ответ] |
|||||||||||
5) |
2 ′′ − ′ − = 4 2 ; |
[Ответ] |
|||||||||||
6) |
′′ + 3 ′ − 4 = ( + 1) ; |
[Решение] [Ответ] |
|||||||||||
7) |
′′ + 2 ′ + = ( + 3) − ; |
[Ответ] |
|||||||||||
8) |
2 ′′ + 3 ′ + = (1 − 2 ) − ; |
[Ответ] |
|||||||||||
9) |
′′ + 4 ′ + 4 = (1 − 4 ) −2 ; |
[Ответ] |
|||||||||||
10) |
′′ − 5 ′ + 6 = 13 sin 3 ; |
[Решение] [Ответ] |
|||||||||||
11) |
′′ − 7 ′ + 6 = sin ; |
[Ответ] |
|||||||||||
12) |
′′ + 4 = 3 sin 2 ; |
[Ответ] |
|||||||||||
13) |
′′ + = cos ; |
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||
14) |
′′ + 9 = |
5 |
sin 3 + cos 3 ; |
[Ответ] |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Часть II. Задачи
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.3. Линейные уравнения второго порядка
Меню Назад Вперёд
15) |
′′ − 2 ′ + 5 = cos 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) |
5 ′′ − 6 ′ + 5 = 5 |
sin |
|
; |
|
|
[Ответ] |
|||||||
5 |
|
|
||||||||||||
17) |
′′ − ′ = 2 |
− 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|
18) |
′′ + = |
+ sin ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|
19) |
′′ − 3 ′ + 2 = sin sin 2 ; |
|
1 |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
20) |
′′ + ′ = cos2 + + 2 + |
. |
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
378. |
Решите задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
′′ − 4 ′ + 3 = 0, (0) = 6, ′(0) = 10; |
|
|
[Решение] [Ответ] |
||||||||||
2) |
′′ − 6 ′ + 9 = 0, (0) = 0, ′(0) = 1; |
|
|
[Ответ] |
||||||||||
3) |
′′ + 4 ′ = 0, (0) = 7, ′(0) = 8; |
|
|
[Ответ] |
||||||||||
4) |
4 ′′ + 4 ′ + = 0, (0) = 2, ′(0) = 0; |
|
|
[Ответ] |
||||||||||
5) |
′′ − 4 ′ + 5 = 2 2 , (0) = 2, ′(0) = 3; |
|
|
[Ответ] |
||||||||||
6) |
′′ − 6 ′ + 9 = 2 − |
+ 3, |
4 |
, ′(0) = |
1 |
; |
[Ответ] |
|||||||
(0) = |
|
|
||||||||||||
3 |
27 |
|||||||||||||
7) |
′′ + 4 = 4(cos 2 + sin 2 ), ( ) = , ′( ) = 2 ; |
[Ответ] |
||||||||||||
8) |
′′ + 4 ′ + 4 = 3 −2 , (0) = 0, ′(0) = 0; |
|
|
[Ответ] |
||||||||||
9) |
′′ + = , ( |
2 ) = 1, ′ ( |
2 ) = 0; |
|
|
[Ответ] |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10) |
′′ − 3 ′ + 2 = 2 3 , (0) = 0, ′(0) = 0. |
|
|
[Ответ] |
||||||||||
Часть II. Задачи
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.3. Линейные уравнения второго порядка
Меню |
Назад Вперёд |
379.Рассмотрим экономическую модель паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены зависит от величины запаса. Если спрос и предложение являются линейными функциями цены, т.е.
= + , |
= + , |
а есть постоянная, определяющая скорость реакции (т.е. изменения цены при изменении запасов товара), то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением
2 + ( − ) = ( − ).
Найдите закон изменения цены во времени, при условии < 0,> 0, > 0. [Решение] [Ответ]