1.2.4. Основні закони і тотожності алгебри логіки
Для перетворення функцій в АЛ використовується ряд законів і тотожностей, основні з яких без доказу наведені нижче.
Комутативні переміщувальні закони для диз’юнкції і кон’юнкції:
, (11)
. (12)
Дистрибутивні (розподільні) закони:
, (15)
. (16)
Закон інверсії:
. (17)
Закони повторення:
, (18)
. (19)
Закони заперечення:
, (20)
. (21)
Закон подвійного заперечення
. (22)
Закони поглинання:
, (23)
. (24)
Правила для операцій з константами:
, (25)
, (26)
, (27)
, (28)
, (29)
. (30)
Закон склеювання
. (31)
Додаткові тотожності:
або
,
(32)
. (33)
1.2.5. Реалізація фал на контактах реле та інтегральних логічних елементах
Використання контактних схем для реалізації основних логічних функцій і побудова цих функцій на безконтактних елементах наведені в табл. 1.3.
Таблиця 1.3
Реалізація і позначення основних логічних операцій
Реалізуюча ФАЛ і логічна операція |
Позначення для реалізації |
|
на контактах реле |
на безконтактних елементах |
|
Інверсія
«НІ»,
|
|
|
Кон’юнкція
«І»,
|
|
|
Диз’юнкція
«АБО»,
|
|
|
Заперечення
кон’юнкції «І-НІ»,
|
|
|
Заперечення
диз’юнкції «АБО-НІ»,
|
|
|
Застосування АЛ для аналізу і синтезу комбінаційних схем пояснює рис. 1.2.
Рис. 1.2. Комбінаційні схеми: а – контактна схема, що мінімізується; б, в – контактна і безконтактна схеми, отримані після мінімізації
Функція
вмикання лампочки
,
що реалізується наведеною на рис. 1.2.
схемою, може бути записана таким чином:
. (34)
Застосовуючи до даної функції закони і тотожності АЛ здійснюємо її мінімізацію:
(35)
1.3. Порядок виконання роботи
1.3.1. Вивчити за даними методичними вказівками і літературою, що рекомендується, основні положення алгебри логіки.
1.3.2. Представити ФАЛ, вибрану з табл. 1.4 відповідно до варіанта, в диз'юнктивній і кон’юнктивній довершених нормальних формах.
1.3.3. Побудувати реалізуючу дану функцію релейно-контактну схему.
1.3.4. Задати обрану функцію табличним, координатним, графічним і цифровим способами.
1.3.5. Використовуючи основні закони і тотожності АЛ, провести мінімізацію ФАЛ, що розглядається.
1.3.6. Побудувати схеми, що реалізують дану функцію на контактах реле і логічних елементах, використовуючи для позначення операції: «І», «АБО», «НІ», «АБО-НІ», «І-НІ».
1.3.7. Зібрати кожну з отриманих схем на лабораторному стенді і перевірити відповідність реалізованих ними ФАЛ початковій таблиці істинності.
1.4. Зміст звіту
Звіт повинен містити:
найменування і мету роботи;
доповнені висновками і коментарями результати виконання завдань, передбачених пунктами 1.3.2–1.3.7.
Таблиця 1.4
Варіанти фал
Аргументи |
Варіанти, що визначають ФАЛ |
||||||||||||||||||
a |
b |
c |
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
f5 |
f6 |
f7 |
f8 |
f9 |
f10 |
f11 |
f12 |
f13 |
f14 |
f15 |
f16 |
f17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Лабораторна робота № 2
МІНІМІЗАЦІЯ ФУНКЦІЙ АЛГЕБРИ ЛОГІКИ МЕТОДОМ КАРТ КАРНО
2.1. Мета роботи
Метою роботи є вивчення методу мінімізації ФАЛ, заснований на використанні карт Карно і оволодіння навиками побудови комбінаційних схем в різних функціональних базисах.
2.2. Теоретична частина
2.2.1. Функціонально повні системи ФАЛ, базис і його вибір
Будуючи логічні схеми, доцільно скоротити кількість різних елементів, що при цьому використовуються. Вибір логічних елементів зводиться до відшукання функціонально повного набору ФАЛ, що описує будь-які логічні схеми. Система ФАЛ називається функціонально повною, якщо за допомогою функцій, що входять в цю систему, застосовуючи операції суперпозиції і підстановки, можна отримати будь-яку ФАЛ.
В АЛ існує 5 «чудових» класів функцій, які мають важливу властивість, яка полягає в тому, що будь-яка ФАЛ, отримана з функцій даного класу за допомогою операцій суперпозиції і підстановки, обов'язково буде належати до того ж класу. Це функції, які мають такі властивості: збереження константи нуль; збереження константи одиниці; монотонність; лінійність і самоподвійність.
Функціями, що зберігають константу нуль (одиницю), називаються ФАЛ завжди рівні нулю (одиниці) на нульовому (одиничному) наборі аргументів.
Лінійними є ФАЛ, які можуть бути зображені поліномом першого ступеня, вигляду
, (1)
де
– константи, які дорівнюють нулю або
одиниці.
Монотонними називаються ФАЛ, що не зменшуються за будь-якого зростання аргументів.
Самоподвійними називаються ФАЛ, які на двох протилежних наборах аргументів приймають протилежні значення.
Приналежність кожної функції двох змінних до того або іншого класу відзначено в табл. 2.1 знаком «+».
Таблиця 2.1