Означення 9. Кажуть, що ряд (2.2.1) збiга¹ться в точцi x = x0,

∞

якщо вiдповiдний числовий ряд X un(x0) çáiãà¹òüñÿ.

n=1

Множину значень x, для яких ряд (2.2.1) збiга¹ться, називають областю збiжностi ряду (2.2.1).

Кажуть, що ряд (2.2.1) збiга¹ться в X абсолютно, якщо в X çáiãà-

∞

¹òüñÿ ðÿä X | un(x)|.

n=1

∞

Для знаходження областi збiжностi функцiонального ряду X un(x)

n=1

Р о з в ' я з а н н я. Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членiв заданого ряду, i застосу¹мо до нього ознаку Кошi:

Ðîçâ'ÿçó¹ìî íåðiâíiñòü p(x) < 1:

1 − x

< 1 | x − 1| < | x + 1|.

1 + x

Побуду¹мо графiки функцiй y = | x + 1| i y = | x − 1| (рис.3). Як бачимо, нерiвнiсть | x − 1| < | x + 1| викону-

¹òüñÿ ïðè âñiõ x > 0. Тобто на множинi x > 0

заданий ряд збiга¹ться абсолютно.

Межовою точкою областi збiжностi ряду ¹ то- чка x = 0. Дослiджу¹мо ряд на збiжнiсть при

x = 0. Ïðè x = 0 ìà¹ìî ðÿä

21

Кажуть, що ряд (2.2.1) рiвномiрно збiга¹ться на

множинi X, якщо послiдовнiсть його частинних сум збiга¹ться на X ðiâíîìiðíî.

Наведемо одну з ознак рiвномiрно¨ збiжностi функцiонального ряду:

Якщо члени функцiонального ряду (2.2.1) задовольняють в областi X нерiвностi

| un(x)| 6 cn (n = 1, 2, . . .),

äå cn члени деякого з б i ж н о г о числового ряду

òî ðÿä (2.2.1) çáiãà¹òüñÿ â X ð i â í î ì i ð í î.

Числовий ряд (C) називають мажорантою функцiонального ряду (2.2.1). Ознаку Вей¹рштрасса можна перефразувати так:

Якщо для функцiонального ряду iсну¹ збiжна мажоранта, то вiн збiга¹ться рiвномiрно.

Зауважимо, що ознака Вей¹рштрасса ¹ д о с т а т н ь о ю ознакою рiвномiрно¨ збiжностi i н е ¹ н е о б х i д н о ю. Можна навести приклади функцiональних рядiв, якi збiгаються рiвномiрно i для яких не iсну¹ збiжний мажоруючий ряд (докладнiше див. [2], c. 604 605).

2.3.Дi¨ над рiвномiрно збiжними рядами

Почленний перехiд до границi. Нехай X довiльна нескiнченна множина i нехай точка a така, що в будь-якому ¨¨ околi мiстяться точки множини X, сама точка a може i не належати множинi X.

Теорема 14. Нехай кожна з функцiй un(x) визначена на множинi X i ïðè x → a ма¹ скiнченну границю

lim un(x) = cn.

x→a

∞

ßêùî ðÿä X un(x) збiга¹ться на множинi X ð i â í î ì i ð í î, òîäi

1) çáiãà¹òüñÿn=1 ðÿä ∞

X

cn = C;

n=1

22

∞

2) ñóìà ðÿäó X un(x) = f(x) ì๠ïðè x → a границю, рiвну C

n=1

lim f(x) = C.

x→a

Тобто, якщо виконуються умови, наведенi в теоремi 14, то можна переходити до границi пiд знаком суми:

∞∞

XX

Почленне iнтегрування рядiв.

Теорема 15. Якщо функцi¨ un(x) (n = 1, 2, . . .) неперервнi на промiжку

Почленне диференцiювання рядiв.

Теорема 16. Якщо функцi¨ un(x) (n = 1, 2, . . .) неперервнi на промiжку [a, b] i мають на цьому промiжку неперервнi похiднi u0n(x) i ÿêùî ðÿäè

∞∞

XX

un(x) i u0n(x)

n=1 n=1

збiгаються на [a, b] ð i â í î ì i ð í î, òî

∞!0 ∞

XX

un(x) = u0n(x).

2.4.Степеневi ряди

Означення 11. Степеневими рядами називають ряди виду

n=0

23

òà

∞

X

a0 +a1(x−x0)+a2(x−x0)2 +· · ·+an(x−x0)n +· · · = an(x−x0)n. (2.4.2)

n=0

Числа a0, a1, a2, . . . , an, . . . називають коефiцi¹нтами степеневого ряду.

Розглянемо властивостi ряду (2.4.1), оскiльки ряд (2.4.2) замiною змiнно¨ x − x0 = t зводиться до виду (2.4.1).

Теорема 17 (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд

∞

X

anxn

n=0

çáiãà¹òüñÿ ïðè x = x0 6= 0, то вiн збiга¹ться, i притому а б с о л ю - т н о, при будь-якому x, для якого | x| < | x0|.

∞

Íàñëiäîê. Якщо степеневий ряд X anxn ðîçáiãà¹òüñÿ ïðè x = x0,

n=0

òî âií ðîçáiãà¹òüñÿ i ïðè âñiõ x, äëÿ ÿêèõ | x| > | x0|.

Означення 12. Невiд'¹мне число R (àáî R = +∞) òàêå, ùî ïðè âñiõ x, äëÿ ÿêèõ | x| < R, ðÿä (2.4.1) çáiãà¹òüñÿ, à ïðè âñiõ x, äëÿ ÿêèõ

| x| > R (ÿêùî R < +∞), ряд (2.4.1) розбiга¹ться, називають р а д i у - с о м з б i ж н о с т i ряду (2.4.1).

n=0

жностi R. На промiжку збiжностi, тобто при | x| < R, ряд збiга¹ться а б с о л ю т н о. На будь-якому промiжку | x| 6 r, äå r фiксоване i r < R, ðÿä çáiãà¹òüñÿ ð i â í î ì i ð í î.

Про збiжнiсть ряду на кiнцях промiжку збiжностi (−R, R) нiчого певного сказати не можна. ¨ дослiджують для кожного ряду окремо. Але

ÿêùî ðÿä çáiãà¹òüñÿ ïðè x = R (x = −R), то справджу¹ться твердження:

∞

Теорема 19 (друга теорема Абеля). Якщо степеневий ряд X anxn

n=0

збiга¹ться, хоча б умовно, при x = R, òî éîãî ñóìà f(x) â òî÷öi x = R неперервна злiва, тобто

24

Аналогiчний результат ма¹ мiсце, якщо степеневий ряд збiга¹ться на лiвому кiнцi промiжку збiжностi x = −R, при цьому сума ряду ¹ непе-

рервною в точцi x = −R iз правого боку:

Радiус збiжностi степеневого ряду можна знайти, скориставшись вiдомим прийомом пошуку областi збiжностi функцiонального ряду.

∞

ßêùî äî ðÿäó X anxn застосу¹мо ознаку Даламбера, то отрима¹мо

I в (2.4.3), i в (2.4.4) припуска¹ться, що вказанi в них границi i с н у - ю т ь. Якщо формули (2.4.3) i (2.4.4) виявляться незастосовними (якщо,

наприклад, ряд мiстить лише парнi або непарнi степенi змiнно¨ x), то можна скористатися формулою Адамара-Кошi (див. [2], с. 628-630)

Ðÿä çáiãà¹òüñÿ ïðè x (−∞, +∞).

25

Ðÿä çáiãà¹òüñÿ ïðè x (−2, 2), ïðè x = 2 i ïðè x = −2 ряд розбiга¹ться, оскiльки в цих точках не викону¹ться необхiдна умова збiжностi ряду.

∞ x2n+1

X

П р и к л а д 4. Розглянемо ряд n=1 n22n . Застосовувати до цього ряду формули (2.4.3) i (2.4.4) не можна: коефiцi¹нти цього степеневого ряду при пар-

них степенях змiнно¨ x дорiвнюють нулю; границi, вказанi в (2.4.3) i (2.4.4),

не iснують. Розглянемо цей ряд як функцiональний ряд iз загальним членом

x2n+1

n22n i застосу¹мо до нього ознаку Даламбера:

26

Почленне диференцiювання та iнтегрування степеневих рядiв.

Теорема 20. ßêùî R > 0 радiус збiжностi ряду

n=0

òî

1)функцiя f(x) ма¹ в iнтервалi (x0 −R, x0 +R) похiднi всiх порядкiв, ¨х знаходять почленним диференцiюванням ряду (2.4.6);

2)äëÿ будь-якого x (x0 − R, x0 + R)

тобто всерединi iнтервалу збiжностi степеневий ряд можна почленно iнтегрувати;

3) степеневi ряди, отриманi з ряду (2.4.6) почленним диференцiюванням або iнтегруванням, мають той самий радiус збiжностi, що i ряд

(2.4.6).

2.5.Ряд Тейлора

Означення 13. Нехай функцiя f(x) визначена в деякому околi точ-

називають рядом Тейлора функцi¨ f(x) â òî÷öi x0.

Ïðè x0 = 0 ряд Тейлора називають також рядом Маклорена.

Теорема 21. Нехай функцiя f(x) i всi ¨¨ похiднi обмеженi в с у к у п - н о с т i на iнтервалi (x0 −h, x0 +h), тобто iсну¹ така стала M > 0, ùî äëÿ âñiõ x (x0 − h, x0 + h) i âñiõ n = 0, 1, 2, . . . викону¹ться нерiвнiсть

| f(n)(x)| 6 M.

27

Необхiдно пам'ятати п'ять основних розкладiв:

IV. (1 + x)m = 1 + mx + m(m − 1)x2 + · · ·

2!

2.6.Деякi прийоми розкладу функцiй в степеневi ряди

28

Òîäi

5x − 12

П р и к л а д 2. Розкласти функцiю f(x) = x2 + 5x − 6 в ряд Маклорена. Р о з в ' я з а н н я. Розкладемо заданий дрiб у суму найпростiших дробiв:

Оскiльки крайнiй лiвий та крайнiй правий дроби в цiй низцi рiвностей однаковi i мають рiвнi знаменники, то i ¨хнi чисельники рiвнi:

5x − 12 = A(x − 1) + B(x + 6).

Нехай x = 1, òîäi −7 = B · 7, àáî B = −1. Якщо покладемо x = −6, то отрима¹мо рiвнiсть −42 = −7A, тобто A = 6. Отже, задана функцiя ма¹ вигляд

Спiльною областю збiжностi цих рядiв ¹ iнтервал −1 < x < 1. Знаходимо

розклад в ряд суми дробiв, враховуючи, що збiжнi ряди можна додавати по- членно:

29

Проiнтегру¹мо отриманий ряд в межах вiд 0 до x (−1 < x < 1):

Радiус збiжностi отриманого ряду R = 1. Зазначимо, що цей ряд збiга¹ться i на кiнцях iнтервалу збiжностi, тобто при x = ±1 (äèâ. [6], c. 26).

Отже, задана функцiя f(x) íà ïðîìiæêó x [−1; 1] ма¹ такий розклад:

П р и к л а д 4. Розкласти функцiю f(x) = sin2 x в ряд Маклорена. Р о з в ' я з а н н я.

2.7.Приклади застосування рядiв до наближених обчислень

Степеневi ряди мають рiзноманiтнi застосування. За ¨х допомогою з будь-якою заданою точнiстю обчислюють значення функцiй, знаходять наближенi значення визначених iнтегралiв, якi не виражаються через елементарнi функцi¨, або ¹ складними для ¨х обчислення. Значну роль вiдiграють степеневi ряди в наближених методах розв'язання диференцiальних рiвнянь.

При практичному обчисленнi виника¹ питання: скiльки треба взяти членiв розкладу функцi¨ в ряд Тейлора, щоб досягти задано¨ точностi розрахункiв?

Якщо отриманий числовий ряд ¹ знакоперемiжним, то можна скористатися ознакою Лейбнiца: залишок знакоперемiжного ряду за абсо-

лютною величиною не перевищу¹ першого вiдкинутого члена. Число n

30