Ðèñ. 5

Знаходимо коефiцi¹нти Фур'¹ задано¨ функцi¨. За формулами (3.1.4) ма¹мо:

=1 2(−1)kπ − (−1)kπ = (−1)k .

πk k k

Ряд Фур'¹ функцi¨ f(x) ма¹ вигляд

Графiк двадцято¨ частинно¨ суми ряду зображено на рис. 6.

41

Ðèñ. 6

В точках x = (2n −1)π сума ряду Фур'¹ набува¹ значення f(−π) + f(π) = 3π .

2 2

У всiх iнших точках сума ряду ¹ неперервною функцi¹ю, ¨¨ графiк збiга¹ться з графiком 2π-перiодичного продовження функцi¨ f(x).

Iз ряду Фур'¹ функцi¨ f(x) отриму¹мо результат, який приверта¹ до себе увагу, а саме: оскiльки в точцi x = 0 сума ряду Фур'¹ неперервна, то

звiдки знаходимо суму числового ряду

k=1

П р и к л а д 2. Розкласти в ряд Фур'¹ функцiю f(x) = | sin x|.

Р о з в ' я з а н н я. Функцiя ¹ неперервною, ма¹ кусково-неперервну похiдну, перiодична з основним перiодом 2l = π.

Ðèñ. 7

Знаходимо, що l = π2 , розклад здiйсню¹ться за системою функцiй:

1, cos kπxl = cos 2kx, sin kπxl = sin 2kx, k = 1, 2, . . . .

Îñêiëüêè f(−x) = f(x), òî

bk = 0, k = 1, 2, . . . ,

42

00

Ряд Фур'¹ збiга¹ться до функцi¨ f(x) рiвномiрно i ма¹ вигляд

k=1

П р и к л а д 3. Функцiю f(x) = x(2 − x), 0 6 x 6 2 розкласти в ряд Фур'¹ за

синусами. Побудувати графiк суми ряду Фур'¹.

Р о з в ' я з а н н я. Оскiльки розклад здiйсню¹ться за синусами, то продовжимо функцiю на промiжок (−2; 0) як функцiю непарну, тобто побуду¹мо функцiю

f (x) за правилом: f (x) = f(x) при x [0, 2], для x (−2, 0) покладемо f (x) = −f(−x) = −(−x(2 − (−x)) = x(2 + x). Тепер ма¹мо непарну функцiю f (x), визначену на промiжку (−l, l], l = 2. Продовжимо ¨¨ на всю вiсь з

ïåðiîäîì 2l = 4. Графiк продовження задано¨ функцi¨ зображено на рис. 8.

Ðèñ. 8

Оскiльки продовжена функцiя ¹ неперервною, то ¨¨ графiк i графiк суми ¨¨ ряду Фур'¹ не вiдрiзняються.

Перш, нiж приступити до обчислення коефiцi¹нтiв Фур'¹, дослiдимо функцiю f (x). Неважко бачити, що вона ма¹ неперервну похiдну

i f 0(−2) = f 0(2). ¨ друга похiдна ¹ кусково-неперервною:

i, очевидно, задовольня¹ умови Дiрiхле. Отже, за теоремою 24 коефiцi¹нти

Ôóð'¹ bn функцi¨ f(x) при розкладi ¨¨ в ряд Фур'¹ за синусами кратних дуг спадають як n13 , êîëè n → ∞.

43

Перекону¹мося, що так воно i ¹:

Запишемо ряд Фур'¹ задано¨ функцi¨:

k=1

44

Завдання до роздiлу

Розкласти в ряд Фур'¹ функцi¨, заданi графiками:

45

46

Бiблiографiчний список

[1]Дороговцев, А. Я. Математичний аналiз, ч. 1 / А. . Дороговцев. К.: Либiдь, 1993.

[2]Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1 / Л. Д. Кудрявцев. M.: Высшая школа, 1981. 687 с.

[3]Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2 / Л. Д. Кудрявцев. M.: Высшая школа, 1981. 584 с.

[4]Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2 / Н. С. Пискунов. M.: Наука, 1970. 576 с.

[5]Смирнов, В. И. Курс высшей математики. Т. II / В. И. Смирнов. M.: Наука, 1974. 656 с.

[6]Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. M.: Наука, 1964. 463 с.

[7]Шипач¼в, В. С. Высшая математика / В. С. Шипач¼в. M.: Высшая школа, 1990. 479 с.

47

Çìiñò

2.1.Границя послiдовностi функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.Функцiональнi ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.Дi¨ над рiвномiрно збiжними рядами . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.Степеневi ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.Деякi прийоми розкладу функцiй в степеневi ряди . . . . . 28

2.7.Приклади застосування рядiв до наближених обчислень . . 30 Завдання до роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

48

49