вибирають з умови

Якщо ряд не ¹ знакозмiнним, то треба оцiнити залишковий член формули Тейлора. У формi Лагранжа вiн ма¹ вигляд

rn(x) = f(n+1)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)n+1, 0 < θ < 1.

ßêùî ì๠ìiñöå îöiíêà |f(n+1)(x0 + θ(x − x0))| 6 M, äå M деяке число, то число n кiлькiсть врахованих членiв ряду, визначають з умови:

|rn(x)| 6 M|x − x0|n+1 < ε.

(n + 1)!

√

П р и к л а д 1. Обчислити 10 1000 ç òî÷íiñòþ äî ε = 0, 001. Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ.

У даному розкладi можна обмежитися першими двома членами, оскiльки аб- солютна величина залишку r1(x), äå x = −1283 , не перевищу¹ задано¨ точностi:

31

У даному прикладi можна обмежитися першими трьома доданками: ряд ¹ знакоперемiжним, абсолютна величина четвертого доданка менша потрiбно¨ то-

Завдання до роздiлу

Знайти область збiжностi функцiонального ряду:

32

33

Òåìà 3

Ðÿäè Ôóð'¹

3.1. Поняття ряду Фур'¹

Означення 14. Ðÿä âèäó

k=1

34

Помножимо рiвнiсть (3.1.3) почергово на кожну з функцiй (3.1.2) i про-

iнтегру¹мо ¨¨ в межах вiд −π äî π. Враховуючи, що рiвномiрно збiжний ряд можна почленно iнтегрувати i що функцi¨ (3.1.2) ортогональнi на

ïðîìiæêó [−π, π], отрима¹мо рiвностi:

Отже, якщо ряд (3.1.1) рiвномiрно збiга¹ться до функцi¨ f(x), то його коефiцi¹нти обчислюються за формулами:

Нехай тепер функцiя f(x), визначена на промiжку [−π, π], ¹ кусковонеперервною1. Тодi iнтеграли в (3.1.4) iснують.

Числа ak i bk (3.1.4) називають коефiцi¹нтами

∞

f(x) a20 + X ak cos kx + bk sin kx.

k=1

1Функцiя f(x) назива¹ться кусково-неперервною на промiжку [a, b], якщо вона ма¹ на цьому промiжку скiнченну кiлькiсть точок розриву першого роду.

35

3.2.Подання функцi¨ рядом Фур'¹

Висунемо до функцi¨ f(x) бiльш жорсткi умови, а саме припустимо, що функцiя ¹ кусково-диференцiйовною на промiжку [−π, π].

Означення 17. Функцiю f(x) називають кусково-диференцiйовною на промiжку [a, b], ÿêùî ïðîìiæîê [a, b] можна розбити на скiнченну

ïðîìiæêó [x1, x2] функцiя матиме неперервну похiдну. Функцiя матиме неперервну похiдну на промiжку [x2, b] за умови замiни ¨¨ значення f(x2) значенням f(x2 + 0).

кусково-диференцiйовною: функцiя не ма¹ похiдно¨ в точцi x = 0, а ¨¨ одностороннi похiднi в цiй точцi нескiнченнi.

Для кусково-диференцiйовних перiодичних функцiй справджу¹ться теорема:

Теорема 22 (теорема розкладання). Якщо функцiя f(x) ç ïåðiîäîì

2π кусково-диференцiйовна на промiжку [−π, π], то ¨¨ ряд Фур'¹ в кож- íié òî÷öi x = x0 çáiãà¹òüñÿ i ì๠ñóìó

36

функцi¨ f(x), яких вона набува¹ поза промiжком [−π, π] (якщо, безумовно, вона там визначена), не мають.

3.3.Розклад в ряд Фур'¹ парних i непарних функцiй

bk = 0, k = 1, 2, . . . , f(x) a20 +

2◦. Äëÿ í å ï à ð í î

Z

2 bk = π

0

f(x)

3◦. Якщо функцiя f(x) визначена лише на промiжку [0, π], òî ¨¨ ìî-

жна продовжити на промiжок [−π, 0) д о в i л ь н о iз збереженням кусково¨ диференцiйовностi i обчислити ¨¨ коефiцi¹нти Фур'¹ за формулами (3.1.4).

Якщо для x [−π, 0) покласти f(x) = f(−x), то отрима¹мо розклад 1◦ за косинусами.

Якщо для x [−π, 0) покласти f(x) = −f(−x), то отрима¹мо розклад 2◦ за синусами.

3.4.Випадок довiльного промiжку

Якщо функцiя задана на промiжку [−l, l], то ¨¨ ряд Фур'¹ ма¹ вигляд

38

Якщо функцiя задана на довiльному промiжку [a, b], òî ¨¨ ðÿä Ôóð'¹

39

3.5.Поведiнка коефiцi¹нтiв Фур'¹

Вiдповiдь на питання щодо швидкостi спадання коефiцi¹нтiв Фур'¹ да¹ така теорема ([5], с. 494):

Теорема 24. Якщо перiодична неперервна функцiя f(x) ма¹ неперервнi похiднi до (k−1)-го порядку включно, а похiдна k-го порядку задовольня¹

умови Дiрiхле, то коефiцi¹нти an, bn функцi¨ f(x) будуть порядку не нижче 1

nk+1 , тобто матимуть оцiнку

äå M деяке додатне число.

Çà ó â à æ å í í ÿ 1. ßêùî ïîõiäíà k-го порядку функцi¨ f(x) ¹ ê ó ñ ê î -

âо - н е п е р е р в н о ю функцi¹ю i задовольня¹ умови Дiрiхле, то для членiв однi¹¨ з послiдовностей {an} i {bn} (або й для обох послiдовностей)

у (3.5.1) викону¹ться рiвнiсть, тобто у цьому випадку an àáî bn (àáî é

n.

3.6.Приклади розкладу функцiй в ряд Фур'¹

П р и к л а д 1. Розкласти в ряд Фур'¹ функцiю

f(x) =

−2x, ÿêùî − π < x 6 0; x, ÿêùî 0 < x 6 π

íà ïðîìiæêó [−π, π].

Р о з в ' я з а н н я. Функцiя ¹ кусково-неперервною i ма¹ кусково-неперервну похiдну. Вона розклада¹ться в ряд Фур'¹. Графiк 2π-перiодичного продовження

функцi¨ f(x) зображено на рис. 5.

40