Основные понятия регрессионного анализа Парная регрессия
В силу многочисленных связей между экономическими показателями важной практической задачей является получение количественной оценки наличия взаимосвязей и их направление ; выделение факторов , влияние которых на результативный признак является наиболее существенными.Для ее решения применяются методы корреляционного анализа
Связь между показателем Y и фактором X с учетом возможных отклонений определим в виде:
(1)
где а и в - неизвестные параметры регрессии,
- случайная
переменная, характеризующая отклонения
опытных точек от линии регрессии.
Уравнение парной регрессии
(2)
будет оценкой модели (1).
Для определения связи между величинами Х и У используется коэффициент корреляции:
(3)
Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции.
Выборочный коэффициент корреляции, расчитанный по выборочным данным, есть точечной оценкой коэффициента корреляции, и в свою очередь, есть случайной величиной. Поэтому целесообразно сделать проверку гипотезы об отсутствии корреляционной связи. Для этого проверяется нулевая гипотеза
:
(4)
и альтернативная гипотеза
:
(5)
Предположим, что двухмерная случайная величина распределена по нормальному закону. Для выборки вычисляется t-статистика
(6)
которая имеет
распределение Стьюдента с df=
степенями свободы. Для заданной
вероятностиp
и степеней свободы k
находят табличное значение
-статистики.
Если
,
то с заданной надежностьюp
гипотезу об отсутствии корреляционной
связи между случайными величинами (X,Y)
следует отвергнуть и принять альтернативную
гипотезу
о наличии зависимости между этими
случайными величинами.
Величину
называютвыборочным
коэффициентом детерминации. Для
парной линейной регрессии коэффициент
детерминации равен квадрату коэффициента
корреляции. Используют также индекс
корреляции (ρ)
.
Надежные границы
индекса корреляции определяются через
оценки среднеквадратичного отклонения
:
, 
.
(7)
Стандартное
отклонение углового коэффициента в
и его доверительный интервал определяются
по формуле
,
где
,
(8)
- значение функции
Стьюдента, которое определяется по
заданным значениям вероятности и числом
степеней свободы.
Стандартное
отклонение свободного члена и
его доверительный интервал определяются
по формуле
,
где
.
(9)
Доверительный
интервал регрессии
определяется по формуле
,
где
(10)
Отметим, что
наилучшие приближения с заданной
надежностью следует ожидать в окрестности
точки
.
Надежная зона увеличивается при отдалении
X от значения
.
Прогноз и его доверительные интервалы.
Прогнозирование,
которое базируется на сохранении общей
тенденции развития явлений во времени,
можно свести к набору аналитических
выражений вида
по данными за прошлые периоды времени
и экстраполяции добытых зависимостей
на будущие периоды.
Для нахождения
доверительных интервалов прогноза,заменим
его точечной оценкой S.Тогда границы
надежных интервалов индивидуальных
прогнозных значений будут иметь вид:
,
где
(11)