Пример решение задания 1.
Для восьми филиалов (Т = 8) за определенный год зафиксированы и представлены в таблице1 значения показателей: Y – годового товарооборота одного филиала (млн.грн.), Х2 – торговой площади (тыс. кв.м.). Х2 – среднедневная интенсивность потока покупателей (тыс. человек в день). Составить модель функциональной зависимости товарооборота одного филиала Y от указанных параметров и провести статистические оценки и тесты полученной модели. В частности:
Вычислить 1-МНК оценки:
Вектора коэффициентов
;Величины математического ожидания вектора регрессанда
;Вектора возмущений
;Дисперсии возмущений
.
II. Построить
оцененную ковариационную матрицу 
для 
.
III. Вычислить
оцененную дисперсию 
ошибки и стандартную ошибку прогноза
,
если задан вектор регрессоров Х1
в этом прогнозном периоде (табл.2) а
= 0,01.
IV. Вычислить
оцененную дисперсию ошибки 
и стандартную ошибку прогноза 
.
V. Найти 99% прогнозный интервал математического ожидания регресанда.
VI. Найти 99% прогнозный интервал индивидуального значения регресанда.
VII.
Вычислить коэффициент детерминации 
.
VIII. Проверить гипотезу о том, что «второй регрессор в генеральной совокупности не оказывает никакого влияния».
IX. Провести d – тест на автокорреляцию (а = 0,1).
Таблица 1.
|
№ п/п |
Значение Х12 |
Значение Х13 |
Значение Y1 |
|
1 |
1 |
3 |
3 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
3 |
1 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
3 |
|
5 |
2 |
4 |
3 |
|
6 |
3 |
3 |
4 |
|
7 |
2 |
2 |
5 |
|
8 |
3 |
1 |
4 |
Таблица 2.
|
№ п/п |
Значение Х1 |
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
|
3 |
2 |
Решение.
Ряды данных представим в таблице.
|
yt |
X11 |
X12 |
X13 |
|
3 |
1 |
1 |
3 |
|
2 |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
1 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
3 |
3 |
|
3 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
1 |
3 |
4 |
|
5 |
1 |
2 |
5 |
|
4 |
1 |
3 |
4 |
Составим модель:
Проведем статистические оценки модели. Для этого:
Найдем произведение матриц
.
*
=
II.
Найдем обратную матрицу
.
Для этого:
Вычислим определитель:
2.Найдем
алгебраические дополнения для каждого
элемента:
;
;
;
;
;
;
3. Составим союзную матрицу из соответствующих алгебраических дополнений деленных на величину определителя.
4. Транспонируем союзную матрицу (строки запишем столбцами).
В
результате получим обратную матрицу
.
Для проверки правильности нахождения
обратной матрицы
необходимо перемножить исходную
матрицу и обратную
.
Если в результате получится единичная
матрица, то обратная матрица найдена
верно.
Вычислим
вектор
:
*
=
Рассчитаем вектор регрессионных коэффициентов, оцененных методом 1-МНК:
Эмпирические
регрессионные коэффициенты интерпретируются
следующим образом. Если при прочих
равных условиях регрессор Х2
возрастает на единицу (уменьшается), то
оцененное значение регрессанда также
возрастает (уменьшается) на 0,57 (
).
Аналогично – если Х3
возрастает (уменьшается) на единицу,
то регрессор увеличивается (уменьшается)
на 0,09 (
).
Если значения обоих регрессоров равны
нулю, то значение регрессанда равно
.
Вектор
оценок регрессионных коэффициентов
можно
найти используя пакет
МS
Ехсеl.
Для этого необходимо:
1.
Найти транспонированную матрицу
по отношению к матрице
,
используя
в категории «Ссылки и массивы» встроенную
функцию ТРАНСП.
2.
Найти произведение матриц
,
используя встроенную математическую
функцию
МУМНОЖ.
3.
Найти обратную матрицу
,
используя
встроенную математическую функцию
МОБР.
4.
Найти произведение матриц
.
5. Найти
оценки вектора, перемножив матрицы
и
.
А также с использованием встроенной статистической функции ЛИНЕЙН.
Порядок нахождения оценок при этом следующий:
1. Отметить блок размером Р на 5 в котором будут находиться расчетные данные, где Р-число оцениваемых параметров.
2. Открыть диалоговое окно Мастер функций, выбираем функцию ЛИНЕЙН в поле категории СТАТИСТИЧЕСКИЕ и нажимаем кнопку Далее для перехода в следующее окно.
3. Во втором диалоговом окне вводим: в первую строку данные показателя, указав диапазон ячеек или имя блока данных: во вторую строку - блок данных факторов или имя этого блока; в третью - слово истина (или число 1), если есть свободный член в уравнении регрессии и слово ложъ (или 0). если его нет: в четвертую - слово истина (1). если необходимо найти дополнительную регрессионную статистику или ложь (0) если необходимо найти только парасертры уравнения и нажимаем слово Готово для получения расчетных параметров.
4. Для того, чтобы в блоке расчетных данных получить все расчетные данные, нажимаем клавишу F2, а затем Сtг1 + Shift + Еntег. При этом:
В первой строке будут находиться (справа налево) оценки параметров линейной регрессии.
Во второй строке (справа налево) находятся средние квадратичные отклонения оценок параметров.
В третьей строке в первой ячейке находится коэффициент детерминации,во второй ячейке - среднее квадратичное отклонение показателя у.
В четвертой строке в первой ячейке находится расчетное значение F -статистики, а во второй ячейке –df - число степеней свободы.
В пятой строке в первой ячейке находится сумма квадратов отклонений расчетных значений показателя у от его среднего значения, а во второй ячейке остаточная сумма квадратов.
Результат работы функции ЛИНЕЙН:
|
0,085616 |
0,568493 |
1,849315 |
|
0,396785 |
0,492151 |
1,454415 |
|
0,214155 |
1,08571 |
#Н/Д |
|
0,68129 |
5 |
#Н/Д |
|
1,606164 |
5,893836 |
#Н/Д |
Рассчитаем вектор регрессанда
Ŷ(линейн)
|
2,69 |
|
3,17 |
|
2,51 |
|
3,74 |
|
3,35 |
|
3,83 |
|
3,17 |
|
3,65 |
Вектор ошибок (возмущений) имеет вид:
Сумма ошибок равна нулю, следовательно, расчет выполнен верно.
1-МНК оценщик дисперсии
равен:
=
5,8976/5 = 1,17952
Оцененная ковариационная матрица
имеет вид:
|
2,117534 |
-0,53342 |
-0,37178 |
|
-0,53342 |
0,242466 |
0,008082 |
|
-0,37178 |
0,008082 |
0,157603 |
Элементы корреляционной матрицы можно также найти следующим образом:
1. Используя статистическую функцию СУММПРОИЗВ (столбец нормализованных данных i-го фактора; столбец нормализованных данных j-го фактора). Найдем элементы в i-той строке j-ом столбце корреляционной матрицы.
2. Используя последовательно встроенные функции ТРАНСП (блок матрицы) и МУМНОЖ (блок данных первой матрицы; блок данных второй матрицы) найдем корреляционную матрицу:
где
-
матрица нормализованных данных,
-
транспонированная
матрица.
3. Используя статистическую функцию КОРРЕЛ (блок данных i-го фактора: блок данных j-го фактора) - определяющую коэффициент корреляции между двумя однородными множествами данных, также можно найти все элементы корреляционной матрицы.
Вычислим оцененную дисперсию ошибки прогноза:
σе2 =ХtТ *∑β* Хt = 0,339452
Тогда соответствующая оцененная стандартная ошибка прогноза:
σе
=
=
= 0,582625
Вычислим дисперсию ошибки
σе( I )2 = σu2 + σе2 = 1,519452
и
как следствие, стандартную ошибку
:
σе( I ) = 1, 232661
Найдем 99% прогнозный интервал математического ожидания регрессанда. Для этого рассчитаем точечный прогноз регрессанда
:
Тогда
прогнозный интервал математического
ожидания при степени свободы
:
Нижняя граница:
ŷt – t(α, FG)*σе = 3,74 – 0,582625*4,032 =3,74 – 2,349144 = 1,390856 = 1,4
Верхняя граница:
ŷt + t(α, FG)*σе = 3,74 +0,582625*4,032 =3,74 + 2,349144 = 6,089144 = 6,1
Прогнозный интервал для индивидуального значения регрессанда.
Нижняя граница:
ŷt – t(α, FG)*σе( I ) = 3,74 – 1,232661*4,032 = 3,74 – 4,9701 = - 1,2301
Верхняя граница:
ŷt + t(α, FG)*σе( i ) = 3,74 + 1,232661*4,032 = 3,74 + 4,9701 = 8,7101
Вычислим коэффициент детерминации
:
R2 = 0,2142.
Таким образом, регрессионной функцией будет объяснено 21,42% суммы квадратов отклонений выборки регрессанда от средней или 21,42% вариации у объясняется вариацией факторов х.
Проверим гипотезу «второй регрессор в генеральной совокупности не оказывает никакого влияния».
Шаг
1.
Шаг
2. Пусть
.
Шаг
3. Найдем по таблице
Шаг 4. Вычислим
Шаг
5.
может быть отвергнута, если
Шаг 6. Так как нулевая гипотеза не может быть отвергнута, то второй регрессор не оказывает влияния на регрессанд.
Проведем d-тест на автокорреляцию.
Шаг
1.
Шаг
2.
по условию.
Шаг
3. Найдем табличные значения показателя
d
для
К= 3, Т= 8
Шаг 4. Вычислим:
d
=
Шаг 5. Так как 0,56 < d > 1,78, то это значит, что d статистика находится в области неопределенных решений.
Шаг
6. В силу принятых условий,будем считать,что
гипотеза
может
быть отклонена, т.е. автокорреляция
есть.