1) И 2).

Решая первое уравнение, находим v как простейший частный интеграл этого уравнения:

, ,,

, ,,

, .

Таким образом, .

Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим u как общий интеграл этого уравнения:

, ,,,

, .

Таким образом, .

Общий интеграл данного уравнения примет вид:

.

Подставим заданные начальные условия , т.е.,в общее решение и найдемC:

, .

Таким образом, и частное решение или решение задачи Коши примет вид:

Проверка выполняется аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере.

Ответ: частное решение линейного уравнения .

Задание 3c. .

Данное уравнение является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим его методом Бернулли (методом подстановки). Полагаем , тогдаи данное уравнение преобразуется к виду:

,

Отсюда получаем два уравнения с разделяющимися переменными:

1) И 2).

Решая первое уравнение, находим v как простейший частный интеграл этого уравнения:

, ,,,

, ,,.

Таким образом, .

Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим u как общий интеграл этого уравнения:

, ,,

, .

Вычисляя интеграл стоящий справа отдельно, применяя формулу интегрирования по частям, получим

.

Возвращаясь к исходному уравнению, получим .

Общий интеграл данного уравнения примет вид:

.

Подставим заданные начальные условия , т.е.,в общее решение и найдемC:

.

Таким образом, и частное решение или решение задачи Коши примет вид:

Проверка выполняется аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере.

Ответ: частное решение линейного уравнения .

2.4. Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

,

где , называетсяуравнением в полных дифференциалах, т.е. левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции . Если это уравнение переписать в виде, то его общее решение определяется равенством. Функцияможет быть найдена по одной из формул:

или

,

где точка принадлежит области определения функций,.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Решение.

По условию имеем ,.

Проверим выполнение условия . Имеем,, т.е. условие выполнено, следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общий интеграл, где функциюможно найти по формуле

,

положив для простоты и. Выбор этих значений,допустим, так как функции,и их частные производные определены в этой точке. Тогда получим

Или окончательно получаем общий интеграл

3. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение

,

которое связывает независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Если уравнение второго порядка разрешено относительно старшей (второй) производной, то оно имеет вид:

. (15)

Функция называется решением уравнения (15), если при подстановке в (15) она обращает его в тождество.

Функция , зависящая от аргументаx и двух произвольных постоянных называется общим решением уравнения (15).

Если общее решение уравнения (15) получено в виде не разрешенном относительно искомой функции, то это соотношение называетсяобщим интегралом дифференциального уравнения.

Всякое решение уравнения (15), получающееся из общего решенияпри конкретных значениях произвольных постоянных, называетсячастным решением.