1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій

Сформулюємо теорему додавання ймовірностей несумісних подій.

Теорема 1. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

.

Дійсно, нехай - загальне число всіх можливих елементарних результатів випробувань,– число результатів, що сприяють появі події А,– число результатів, що сприяють появі події В. Тоді число результатів, що сприяють появі або А, або В, дорівнює.

Отже, , і теорема доведена.

Наслідок. Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій, байдуже, якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

.

Дійсно, взявши для простоти та позначивши, маємо:

.

Наприклад. Нехай ймовірність того, що завтра буде сонячно, дорівнює 0,4, що похмуро – 0,3; ймовірність випадання снігу – 0,2, а дощу – 0,1. Потрібно знайти ймовірність того, що завтра не буде опадів.

Для розв’язання цієї задачі позначимо через А подію, яка полягає в тому, що завтра буде сонячно, а через В – похмуро. Згідно з вище доведеним, маємо: .

Теорема 2. Сума ймовірностей подій , які утворюють повну групу несумісних подій, дорівнює одиниці:

.

Дійсно, подія є достовірною. Тому. Оскільки подіїнесумісні, то

, що і доводить теорему 2.

Нагадуємо, що протилежним називаються дві єдино можливі події, які утворюють повну групу несумісних подій: та.

Із теореми 2 випливає, що сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

.

Прийнято позначати ,; отже,.

В теорії ймовірностей приймають такий “принцип практичної неможливості малоймовірних подій”: якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в єдиному випробуванні ця подія не з’явиться.

Досить малу ймовірність, при якій (в даній задачі) подію модна вважати практично неможливою, називають рівнем значущості. Рівень значущості, що дорівнює 0,01, називають однопроцентним, 0,02 – двохпроцентним, і т.д.

Якщо подія має ймовірність, близьку до нуля, то подіямає ймовірність, близьку до одиниці. Отже, якщо випадкова подія має ймовірність, дуже близьку до одиниці, практично можна вважати, що в одиничному випробуванні ця подія з’явиться.

2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

Розглянемо питання про ймовірність суми сумісних подій.

Нагадаємо, що дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої події в одному і тому ж випробуванні.

Має місце така теорема про ймовірність суми сумісних подій.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи.

Дійсно, подію можна представити як суму трьох несумісних подій:.Отже, згідно з наслідком з теореми 1, маємо:

.

Зауважимо, що події А та В можна представити, як суми двох несумісних подій: ,.

Тому ,.

Звідси знаходимо:

.

Таким чином, , і, остаточно,, що і потрібно було довести.

Зауважимо, що у випадку несумісних подій , і ми одержуємо теорему додавання ймовірностей несумісних подій (теорему 1). Відзначимо також, що події А та В можуть бути як незалежними, так і залежними.

Ми підійшли до питання про те, як знаходити – ймовірність добутку двох подій.