9) Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матрична форма запису лінійної системи.

Системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) називають систему виду:

(2.1)

де     , () – невідомі;, () – вільні члени системи;, () – коефіцієнти системи.

В матричному вигляді рівняння (2.1) прийме вигляд:

,

де     ={} – вектор невідомих;={} – вектор

вільних членів; ={} – матриця коефіцієнтів СЛАР.

Розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь (2.1) називають вектор , координати якого {} при підстановці у систему, що розв’язують, перетворюють кожне рівняння системи в тотожність .

10)Метод Крамера

Цим методом можна розв’язувати системи n лінійних рівнянь з n невідомими. Для спрощення, розглянемо систему трьох рівнянь з трьома невідомими

(6)

Введемо наступні позначення:

–визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих.

- визначник, який ми одержали із визначника Δ заміною першого стовпця на стовпець вільних членів

- заміна другого стовпця на стовпець вільних членів.

- заміна третього стовпця на стовпець вільних членів.

Невідомі x₁ , x₂ , x₃ знаходяться за, так званими, формулами Крамера:

Записані формули використовуються для систем трьох рівнянь з трьома невідомими (систем виду (6)). Якщо ж система складається з двох рівнянь з двома невідомими, то формули Крамера будуть мати вигляд:

Якщо система має більше трьох невідомих, то розв’язувати її за допомогою формул Крамера недоцільно (наприклад, при n = 4 потрібно обчислити п’ять визначників четвертого порядку).

УВАГА!

Методом Крамера можна розв’язувати системи лінійних рівнянь, які задовольняють трьом умовам:

1) система повинна бути неоднорідною;

2) кількість рівнянь повинна дорівнювати кількості невідомих;

3) визначник Δ не повинен дорівнювати нулю.

11)Матричний метод

Далі (для спрощення) розглянемо систему (6).

Запишемо її в матричному вигляді

A⋅ X = B, (7)

–матриця складена із коефіцієнтів при невідомих системи (6), розміром [3×3] .

–матриця-стовпець невідомих – матриця розміром [3×1]

–матриця-стовпець вільних членів – матриця розміром [3×1] .

Помітимо, що три умови, які ми розглянули в §6.1 мають місце і тут.

Знайдемо X із рівняння (7). Для цього помножимо рівняння (7) на A−1 зліва:

Тобто зміст матричного методу полягає в тому, що, (див.(8)), спочатку знаходиться обернена матриця A⁻¹ , а потім обчислюється добуток матриці A⁻¹ на стовпець вільних членів В. Зазначимо, що матриці A⁻¹ і В можна перемножать, оскільки як вони узгоджені.

12)Поняття вектору. Лінійні операції над векторами.

Геометричним вектором називатимемо напрямлений відрізок у тривимірному просторі.

Два геометричних вектори називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину та напрямок – тобто лежать на паралельних прямих. Нуль-вектором називають вектор 0 , який має нульову довжину та невизначений напрямок.

Протилежним вектором до вектора a називають вектор - a, такий що a + (- a) = 0.

Вектори a та b називаються колінеарними (позначається цей факт так: a ⇕ b ), якщо вони лежать на паралельних прямих

Лінійні операції над векторами

Сума двох векторів:

Різниця двох векторів

Множення вектора на скаляр(число ):,

Властивості лінійних операцій над векторами:

13)Скалярний добутком двох векторів a и b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними.

Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні.

Властивості:

1. Скалярний добуток підлягає перемістивному закону, тобто для любих векторіві.

2. Скалярний добуток підлягає сполучному закону відносно скалярного множника, тобто  для будь-яких  векторівіі будь-якого числа.

3. Скалярний добуток підлягає розподільному закону, тобто для будь-яких векторів ,,.

4. Скалярний квадрат вектора рівний квадрату його модуля. Домножимо скалярно вектор на вектор:

 

5. якщо, навпаки,, якщоі.