18)Обчислення об’єму паралелепіпеду, побудованого на трьох не компланарних векторах. Умова компланарності двох векторів.

Компланарними називають вектори, які лежать в паралельних площинах. Інакше кажучи, вектори компланарні, якщо при паралельному їх переносі і суміщенні початків вони лежать в одній площині. Очевидно, що два вектори завжди компланарні.

Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора a на векторний добуток векторів b і c.

Мішаний добуток векторів дорівнює визначнику матриці, побудованої з цих векторів.

Властивість 1. Модуль мішаного добутку трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, утвореного цими векторами.

Властивість 2. a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

Властивість 3. Якщо мішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори компланарні.

19)Різні типи рівнянь прямої на площині.

Якщо на площині довільно узята декартова система координат, то рівняння , де,та-будь-які числа, причомутаодночасно не дорівнюють нулю, єзагальним рівнянням прямої.

Загальне рівняння прямої приможна привести до виду-рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, де - кутовийкоефіцієнтякий дорівнює тангенсу кута, утвореного даноюпрямою та невід'ємним напрямом осі ОХ. ()

І випадок

ІІ випадок:

або

Якщо пряма перетинає осі ОХ і ОУ у точках з координатами,, то вона може бутизнайдена за допомогою формули рівняння прямої в відрізках.

Якщо пряма проходе через дві точки и, такі, щота, то її рівняння можна скласти за формулоюрівняння прямої що проходе через дві різні точки .

20)Відхилення та відстань точки від прямої

Для обчислення відстані та відхилення точки від прямої найзручніше використовувати нормальне рівняння прямої

1). Відстань точки M₀( x₀ ,y₀ ) від заданої прямої можна знайти за формулою

Отже, відстань точки від прямої дорівнює взятому за абсолютною величиною результату підстановки координат точки в нормальне рівнянняпрямої.

2). Відхилення точки від прямої обчислюється за формулою

На відміну від відстані d відхилення може бути як додатним, так і від’ємним. Якщо> 0 , то точка M₀

і початок координат лежать по один бік від прямої. Якщо < 0, то точка M₀ і початок координат лежать по різні боки від прямої.

21)Кут між прямими на площині.

    Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁,  y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

            Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА,  В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают.

            Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы  уравнений этих прямых.

22) Умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.

 Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями y = k₁x + B₁,          y = k₂x + B₂,     с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде A₁x + B₁y + C₁ = 0,   A₂x + B₂y + C₂ = 0,     (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

(9)

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

(10)

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.     (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.     (12)