Тема 5. Дифференциальное исчисление

5.1. Вычисление производных

5.1.1.Вопросы для самостоятельного изучения

5.1.1.1.Производная функции

Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения

приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

Обозначения производной: y′, y′x , f ′(x), dydx .

Таким образом,

58

Уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x) в точке

M (x0 , y0 ) имеет вид:

y − y0 = f ′(x0 ) (x − x0 ) ,

5.1.1.4. Правила и формулы дифференцирования

Правила дифференцирования. Если u = u(x) , v = v(x) – дифференцируе-

мые функции, то имеют место формулы:

Производная постоянной равна нулю, то есть C′ = 0 ;

(u ± v)′ = u′ ± v′;

(u v)′ = u′ v + u v′;

(Cu)′ = Cu′, где C – постоянная;

Переменная u называется промежуточной, а x – независимой. Функции y = f (u), u = g(x) называются звеньями сложной функции. Сложную функ-

цию записывают в виде y = f [g(x)].

Если y = f (u), u = g(x) – дифференцируемые функции, то сложная функ-

ция y = f [g(x)] также дифференцируема и

y′x = yu′ u′x (правило цепочки).

5.1.1.7.1. Логарифмическое дифференцирование

1)Функция y = f (x) логарифмируется по основанию e

ln y = ln f (x) ;

60

2) находятся производные левой и правой частей полученного равенства по переменной x с учетом того, что y – это функция x

1y y′ = (ln f (x))′;

3) из последнего равенства выражается производная y′

y′ = y (ln f (x))′ = f (x) (ln f (x))′.

Выражение 1y y′ = yy′ называют логарифмической производной.

5.1.1.8. Производные высших порядков

Рассмотрим функцию y = f (x) . Ее производная y′ также является функ-

цией переменной x . Следовательно, ее также можно дифференцировать, то есть находить производную (y′)′. Эта производная называется второй произ-

водной и обозначается y′′, f ′′(x) , d 2 y . Итак, dx2

y′′ = (y′)′.

Вторая производная y′′ называется также производной второго порядка,

а производная y′ – первой производной или производной первого порядка.

Аналогично, производная от второй производной (y′′)′ называется треть-

ей производной или производной третьего порядка y′′′ = (y′′)′ и обозначается

В общем случае, производная n-го порядка – это производная от производной (n – 1)-го порядка

y(n) = (y(n−1) )′.

61