7.5. Взаимное пересечение поверхностей

Многие детали представляют собой сочетание различных элементов геометрических тел. В ряде случаев необходимо точное построение линий пересечения этих поверхностей.

Построение линий пересечения поверхностей осуществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей.

Данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью и определяются линии пересечения каждой из данной поверхностей со вспомогательной. Если эти линии пересекаются (или касаются), то полученные точки пересечения (или касания) принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их линии пересечения.

Если в качестве вспомогательных секущих поверхностей используются плоскости, то способ построения называется способом вспомогательных плоскостей. Если используются сферы - способом вспомогательных сфер.

Каким бы способом не производилось построение линии пересечения поверхностей, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения двух поверхностей, также как и у линии пересечения поверхности с плоскостью, различают точки опорные и случайные. В первую очередь определяют опорные точки, так как они позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где между ними следует находить случайные точки, необходимые для более точного построения линии пересечения поверхностей.

7.5.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей

Сущность способа вспомогательных секущих плоскостей заключается в том, что для построения точек принадлежащих линии пересечения, вводится ряд вспомогательных секущих плоскостей, которые пересекали бы обе поверхности по графически простым линиям (окружностям и прямым). В пересечении контуров полученных сечений находят общие для двух поверхностей точки. Этот способ применяется как при взаимном пересечении кривых поверхностей, так и при пересечении кривых поверхностей с многогранниками.

Линия пересечения кривых поверхностей в общем случае будет пространственной кривой. При пересечении кривой поверхности с многогранником в каждой грани получается своя плоская кривая. Кривые, лежащие в смежных гранях, пересекаются на ребрах.

Задача: Построить линию пересечения конуса вращения с полусферой (рис.7.16).

Решение:

Для решения задачи могут быть использованы вспомогательные горизонтальные плоскости уровня, пересекающие обе поверхности по окружностям. С помощью таких плоскостей можно построить любое число произвольных точек.

Рис. 7.16. Пересечение конуса вращения с полусферой

Для того чтобы определить границы, в которых можно перемещать вспомогательные секущие плоскости и получать точки линии пересечения, необходимо определить верхнюю и нижнюю опорные точки. Плоскость Р – плоскость симметрии данных поверхностей (параллельная плоскости V) пересекает поверхности по их главным меридианам. Точки пересечения этих меридианов являются верхней А (А_v, А_н) и нижней В (В_v, В_н) точками линии пересечения.

Любая из горизонтальных плоскостей уровня, расположенных между этими точками, например, плоскость Q (Q_v) может быть использована для получения пары линии пересечения (точка С).