Белокопытов Стат. методы

Произведение столбцов матрицы, равное +1, называется определяющим контрастом. Контраст помогает найти смешанные эффекты. Для того чтобы установить, какой эффект смешан с данным, нужно умножить обе части определяющего контраста на фактор, соответствующий эффекту.

Так, для полуреплики 23 1 с определяющим контрастом 1 Х1 Х2 Х3 имеем

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками линейных эффектов:

Эффект смешивания в принципе снижает точность оценок. Однако, поскольку мы считаем модель линейной и взаимодействия пренебрежимо малыми, то точность оценок будет достаточной.

П р и м е р 4.2. Необходимо спланировать эксперимент (табл. 4.6) с целью выбора оптимальных параметров устройства для получения максимального значения выходной характеристики у.

Р е ш е н и е. Для матрицы планирования выбираем полуреплику от ПФЭ 24, заданную генерирующим соотношением Х4 Х1 Х2 Х3 . Опреде-

ляющим контрастом является 1 Х1Х2 Х3 X 4 . Умножая определяющий

50

контраст последовательно на Х1 , Х2 , Х3 и Х4 , найдем совместно оценки линейных эффектов и взаимодействий:

Составляем таблицу матрицы планирования (табл. 4.7), в которую вносим результаты эксперимента. Коэффициенты bi рассчитываются по формулам, приведенным в п. 4.1:

b0 y j 10 9 15 25 26 14 5 20 /8 15;

N

и т. д.

Таким образом, аналитическое выражение для у принимает вид

y 15 1,5X1 4,75X 2 0,75X3 4,5X 4 0,75X1X 20,75X1X3 2X 2 X3.

51

Таблица 4.7

План эксперимента

Дальнейший анализ подобных выражений, их изменения (переход от кодированных факторов к натуральным), проведение новых экспериментов осуществляются в соответствии с порядком, изложенным для ПФЭ.

Задание

Для выполнения первого задания к целым значениям р (табл. 4.8)

необходимо прибавить последнюю цифру из номера зачетной книжки. Вариант второго задания определяется суммой двух последних цифр номера зачетной книжки студента.

1. Планирование полного факторного эксперимента. По условию за-

дачи (пример 4.1) и матрице планирования эксперимента (табл. 4.8) постройте математическую модель вида р р , .

Таблица 4.8

План эксперимента

52

2. Планирование дробного факторного эксперимента. В соответст-

вии со своим вариантом (табл. 4.9) составьте план эксперимента для построения линейной математической модели. Постройте систему оценок коэффициентов регрессии.

Таблица 4.9

53

Вопросы для самоконтроля

1.Что называется фактором, а что выходом или откликом системы?

2.В чем состоит математическая задача планирования эксперимента?

3.Какие точки поверхности отклика соответствуют оптимальному значению выхода?

4.Сформулируйте этапы решения задачи оптимизации.

5.Какие требования предъявляются к параметру оптимизации?

6.Какие требования предъявляются к диапазону и шагу варьирования факторов?

7.Как производится нормирование факторов?

8.Чему равны в относительных единицах верхние и нижние уровни факторов?

9.Чему равно необходимое число опытов при ПФЭ, если число уровней равно двум?

10.Чему должна быть равна сумма значений любого столбца матрицы планирования эксперимента?

11.Для чего проводится рандомизация опытов?

12.С использованием какого критерия проверяют воспроизводимость опытов?

13.Как проводится проверка на значимость коэффициентов уравнения регрессии?

14.На каком критерии основана проверка на адекватность уравнения регрессии экспериментальным данным?

15.Какой эксперимент называется дробным факторным или дробной репликой?

16.Чем ограничивается минимальное количество опытов ДФЭ?

17.Что показывает генерирующее соотношение?

18.Что называется определяющим контрастом?

19.Как называется реплика, имеющая наибольшую разрешающую способность?

54

5. ПОИСК ОПТИМАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

Задача оптимизации ставится таким образом: необходимо определить экспериментально координаты экстремальной точки ( х1опт , х2опт , …,

хnопт ) функции у = f( х1 , х2 , …, хn ), (рис. 5.1, а).

5.1. Поиск оптимальной области методом крутого восхождения

При традиционном эксперименте строят контурные сечения y=const поверхности отклика для двух факторов (рис. 5.1, б). Затем фиксируют один из факторов, например, х1 и двигаются из точки L вдоль оси х2 . Ко-

ординаты точки L выбирают из предварительных опытов. Движение по х2

продолжается до тех пор, пока не прекращается прирост у (рис. 5.1, б). В точке М с лучшим выходом фиксируется фактор х2 и начинается движе-

ние в направлении оси х1 . Такую стратегию отражает на рис. 5.1, б лома-

ная LMNR. Очевидно, что путь к экстремуму по ломаной LMNR не самый короткий. Известно, что движение по кратчайшему, наиболее крутому пути – это движение по градиенту перпендикулярно линиям у = const. На рис. 5.1, б показано пунктиром. Если описание поверхности отклика в общем случае у = f( х1 , х2 , …, хn ), то градиент функции

где i , j ,...,n – орты (или единичные векторы) координатных осей.

Предполагается, что функция f непрерывна, дифференцируема, однозначна и не имеет особых точек. Бокс и Уилсон предложили шаговый метод движения по поверхности отклика. В общем случае алгоритм метода Бокса – Уилсона следующий:

1.Проведение многофакторного эксперимента в окрестности некоторой точки.

2.Описание поверхности отклика с помощью регрессионной модели.

3.Вычисление оценки градиента в этой точке по результатам эксперимента и построенной модели.

55

4.Крутое восхождение в направлении оценки градиента в соответствии

свычисленнымшагомпокаждойкоординатефакторногопространства.

5.Нахождение оценки экстремума в этом направлении.

а

б

Рис. 5.1. Движение по поверхности отклика

В результате эксперимента в окрестности точки L получим локальное описание поверхности отклика линейным уравнением регрессии:

56

Как показали Бокс и Уилсон, коэффициенты этого уравнения имеют смысл частных производных функции отклика:

При постановке опытов для движения по градиенту от точки L величина шага по каждому фактору должна быть пропорциональна произведению коэффициента bi на интервал варьирования i bi xi . Довольно час-

то шаг i для некоторых факторов получается очень большим, т. к. интервал варьирования xi был достаточно велик, чтобы диапазон изменения yi

был в несколько раз (не менее 3–4) больше ошибки воспроизводимости. При корректировке шага поступают следующим образом: выбирают фактор, для которого произведение bi xi оказалось наибольшим по абсо-

лютной величине, и задают для него новый опытный или скорректированный шаг. Затем определяют коэффициент пропорциональности

Величину опытного шага по остальным факторам получают путем умножения величины теоретического шага на коэффициент пропорциональности.

После того как установлен шаг движения к области оптимальных значений целевой функции по каждой координате, необходимо выбрать способ движения.

Дело в том, что модель, с помощью которой определяются градиентное направление и шаг движения, справедлива только в том факторном пространстве, где проводится эксперимент и на основе данных которого была построена модель.

Движение же следует осуществлять за пределы описанного пространства, где модель можно считать адекватной с определенным допущением. Чем дальше удаляются от исследованной области, тем внимательнее следует проверять правильность движения к оптимуму, проводя дополнительные эксперименты. Нужно уточнить, каким образом проводить эксперименты, чтобы эффективность, достигаемаянапервомэтапеоптимизации, возросла.

На практике получили распространение два способа движения к оптимальной области. В первом случае после продвижения на один или несколько шагов по направлению к оптимуму проводят опыты по плану ПФЭ или ДФЭ. По результатам опыта строят модель, которая описывает новое факторное пространство.

57

Снова определяют градиентное направление и шаг движения в этом направлении. Затем осуществляют движение на один или несколько шагов в новом направлении, и алгоритм действий экспериментатора повторяется. Так, шаг за шагом достигаются все более высокие значения отклика

(рис. 5.2, а).

а

б

Рис. 5.2. Способы движения к оптимальной области с промежуточным построением поверхности отклика (а) и с проведением промежуточных одиночных опытов (б)

58

Об эффективности движения по градиенту можно судить по значению параметра оптимизации. Движение эффективно, если реализация опытов эксперимента приводит к улучшению параметра оптимизации по сравнению с наилучшим результатом в матрице откликов, по которой строилась модель.

П р и м е р 5.1. Пластичность алюминиевого сплава в наибольшей степени зависит от температуры и скорости деформации . В результате проведения ПФЭ была получены математическая модель вида р р ( , )

для последующей оптимизации параметров процесса пластической обработки по критерию максимальной пластичности. Условия эксперимента приведены в табл. 5.1.

Было получено уравнение регрессии вида

у 4,31 0,55X1 0,225X 2 .

Переходим к натуральным значениям факторов по формуле

Используем полученные уравнения для крутого восхождения по поверхности отклика и увеличения пластичности . Исходные данные и

реализация крутого восхождения представлены в табл. 5.2.

59