Геометрический смысл производной и дифференциала

Возьмём две точки на кривой у=f(x): М₀(х₀,у₀) и М(х₀+,f(x₀)+). Пусть (.)М движется к фиксированной точке, тогда секущая ММ₀поворачивается вокруг М₀стараясь занять предельное положение касательной.

Предельное положение секущей ММ₀при М→М₀наз.касательной к данной кривой в (.) М₀, гдеMD-,M₀D-,M₀Т – касательная.- приращение ординаты кривой.

Т.е. производная в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к кривой в точке.

Дифференциал: найдёмADизAM₀D.

Геометрический смысл дифференциала – приращение ординаты касательной.

Механический (физический) смысл производной

Пусть материальная (.) движется прямолинейно и неравномерно S=S(t). Пусть к моменту времениt₀точка прошла путь ч/з время. Пройдём путьS₁, S=S₁-S₀=,, .Т.е. скорость есть производная пути по времени.

Основные правила вычисление производной

1.) Постоянный сомножитель можно выносить за знак производной и дифференциала:

и

2.) Если ф-цииuиv дифференцируемы в (.) х₀, то их алгебраическая суммадифференцируема в (.) х₀, причём её производная, а её дифференциал.

3.) Если ф-цииuиv дифференцируемы в (.) х₀, то их произведениедифференцируемо в (.) х₀, причём производная произведения находится по формуле:, а дифференциал.

Док-во:

Дадим х₀приращение, тогда обе ф-цииuиv получат приращение, а ф-ция получит приращение=

Разделим полученное равенство на :.

Перейдём к пределу при

, т.к.правая часть, то:

.

Найдём дифференциал: ч.т.д.

4.) Если ф-цииuиv дифференцируемы в (.) х₀, то их частноедифференцируемо в (.) х₀, причём производная частного находится по формуле:, а дифференциал

Ф-ция fставит в соответствие числу х число у, а ф-ция φ – числу у числоz. Говорят, что ф-цияhестьсложная ф-ция, составленная из ф-ций φ иf, и пишут:h(х)=φ(f(x)).

Пусть дана ф-ция у=φ(t), гдеt=f(x). Если ф-цияt=f(x) дифференцируема в (.) х₀, а ф-ция у=φ(t) - дифференцируема в (.)t₀=f(х₀), то сложная ф-ция у=φ(f(x)) дифференцируема в (.) х₀, причём её производная,t- промежуточная переменная, х- независимая переменная.

Пр: y=cost, где t=x²-3x

Неявной ф-цией у от х наз. ф-ция, представленная уравнением:F(x,y)=0.

Т:ПустьF(x,y) и обе её частные производныеи- непрерывные ф-ции, причём≠0, тогда ф-ция имеет производную :

Задание ф-ции системой: наз.параметрическим заданием ф-ции.

Пусть ф-ция задана параметрически, тогда выполняются 2 условия:

1] х=φ(t)- непрерывна на [a,b]дифференцируема внутри него;

2] у=ψ(t)- непрерывна на [a,b]дифференцируема внутри него, тогда.

МЕТОДИКА 7.Тема: «Правила вычисления производных»

Данная тема изучается в 10 классе (по учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» под ред. Алимова Ш.А.) и в 11 классе (по учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» под ред. Колмогорова А.Н.). На изучение данной темы отводится 2-3 часа.

Ранее изученный материал, необходимый для изучения данной темы: приращение функции, понятие производной. Применение: исследование функций с помощью производной для построения графиков, производная сложной функции, в физике и т.д.

Материал темы. Правила дифференцирования:

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (C·f(x))'=C·f'(x)

3. Производная произведения: (f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

4. Производная частного:

В учебниках Башмакова и Колмогорова все эти формулы выводятся, каждый шаг объясняется. Учебник Алимова содержит доказательства только двух первых формул, но к каждой формуле есть по 1-2 примера.

В учебнике Колмогорова рассматривается формула производной сложной функции (гл 2, §16):

f(g(x))' = f '(g(x))·g'(x)

Сначала автор дает определение сложной функции, затем выводит формулу и приводит несколько примеров нахождения производной сложных функций. Алимов решил упростить данный раздел, заменив формулу сложной функции на ее частный случай – линейную замену аргумента:

(f(kx + b))' = kf '(kx + b)

Эта формула гораздо менее емкая, зато ее доказательство короче и менее абстрактно. Башмаков же включил в учебник обе формулы.

Цели изучения:

• Обучающие: научить уметь обосновывать и применять правила вычисления производных.

• Развивающие: развивать самостоятельность учащихся, способность к самоорганизации, готовность к сотрудничеству.

• Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, культуру общения.

Виды самостоятельных работ с точки зрения организации процесса обучения:

1. фронтальная – учащиеся выполняют одно и то же задание;

2. групповая – для выполнения учебных заданий учащиеся разбиваются на группы (3-6 человек);

3. парная – 2 человека;

4. индивидуальная – каждый ученик выполняет отдельное задание.

Дидактические материалы

Вариант 1

1. Найдите производную функции:

а) f(x)=2x⁷+4; б) f(x)= .

2. Вычислите производную функции f(x)=2x²+x³в точках2; 4; х; х-3.

3. Решите неравенство f'(x)≤0, еслиf(x)=4x+2x².

4. Найдите производную функции f(x)=50x⁵+5x⁵⁰в точкаххи-1.

5. Решите уравнение f'(x)=0и неравенстваf'(x)>0иf'(x)<0для функции:

а) f(x)=x²+3x-3; б)f(x)=.

Вариант 2

1. Найдите производную функции:

а) f(x)=x⁵-2; б)f(x)= .

2. Вычислите производную функции f(x)=3x+4x³в точках1; 1,5; х; х+2.

3. Решите неравенство f'(x)>0, еслиf(x)=6x-3x².

4. Найдите производную функции f(x)=100x¹⁰-10x¹⁰⁰в точкаххи1.

5. Решите уравнение f'(x)=0и неравенстваf'(x)>0иf'(x)<0для функции:

а) f(x)=x²-3x+1; б)f(x)=.

Тема урока «Правила вычисления производных»

Цели урока:

• Обучающие: формировать умение применять правила вычисления производных при решении задач.

• Развивающие: развивать самостоятельность учащихся, способность к самоорганизации, готовность к сотрудничеству.

• Воспитательные: содействовать развитию у учащихся чувства ответственности за личную и коллективную деятельность, содействовать учащимся в осознании ценности совместной деятельности.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Работа в группах.

Все учащиеся класса разбиваются на 3 группы по своим учебным способностям. Группа № 1 получает карточки с I вариантом; № 2 – со II вариантом; № 3 – с III вариантом.

В классе стоят столы. За стол № 1 садятся ученики, у которых будут все 3 варианта. И так за каждый собирается группа из 3 человек с разными вариантами с I по III. Каждый ученик в течение 15 минут работает самостоятельно с карточкой своего варианта. После выполнения работы ученики перемещаются так, чтобы за столом №1 собрались ученики, у которых был I вариант, за столом № 2 – II вариант и т.д.

На каждый стол выдается конверт, в котором находятся ответы к данному варианту и контрольный лист с критериями оценок. Учащимся отводится время (5-7 минут) для проверки своего решения, разбора в группе своих ошибок и их исправления, выставления оценок.

Примеры карточек по вариантам

Вариант №1	1. Найдите f'(x), если f(x)=(1+2x)(2x-1).	1. Вычислите производную функции f(x)=2x2+x3в точках2; 4; х; х-3.	1. Решите неравенство f'(x)≤0, еслиf(x)=4x+2x2.
Вариант №2	2. Найдите производную функции: а) f(x)=2x7+4; б)f(x)= .	2. Найдите g'(-1), еслиg(x)=(x-1).	2. Решите уравнение f'(x)=0, еслиf(x)=2x3-3x2+1.
Вариант №3	3. Найдите производную функции: а) f(x)=x7+2x5--1; б) f(x)=.	3. Найдите производную функции f(x)=в точкахx и t4.	3. Решите уравнение f'(x)=0и неравенстваf'(x)>0иf'(x)<0, если: а) f(x)=3x3-x; б) f(x)=.

Билет № 8. «Ряды».

Возьмём бесконечную числовую послед-ть х₁, х₂, …, x_n,…. Члены данной послед-ти соединим знаком «+», тогда получим выражение (*) х₁+х₂+ …+x_n+…. =, которое наз.числовым рядом.

Составим послед-ть частичных сумм ряда:

Суммой ряда наз. конечный предел послед-тей частичных сумм : , тогда равенство (*) наз.сходящимся, в противном случаи ряд (*) расходящийся (если предел не или равен)

(Необходимый признак сходимости) Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.- сх-сяили.

Док-во:

Т.к. ряд сх-ся, то конечный предел.

ч.т.д.

Следствие: если общий член не стремится к нулю, то ряд -расходится.

Признаки сравнения числовых рядов (достаточные признаки):

Т1:Пусть даны два ряда: (1)и (2), тогда из сходимости ряда (2)сходимость ряда (1) и из расходимости ряда (1)расходимость ряда (2).

Т2:Пусть даны два ряда: (1)и (2), тогда если, то оба ряда ведут себя одинаково: сходятся или расходятся.

Т3: (признак Д’Аламбера) Пусть дан ряд, если предел отношения последнего члена к предыдущему есть числоq, то приq<1 – ряд сходится,q>1 – расходится,q=1 – ряд ответа не даёт.

Док-во: Н/р, рассмотрим приq>1начиная с некоторого номераn₀все члены послед-ти. Члены ряда возрастают,ряд расходится.

Т4: (радикальный признак Коши) Пусть дан ряд, если предел, тоc<1 – ряд сходится,c>1- расходится,c=1 – признак ответа не имеет.

Т5: (интегральный признак Коши) Пусть дан ряд,и ф-цияf(x) - такова, что для неё выполняются следующие условия:1)f(x)>0;2)f(x) – строго убывает для;3)f(x) – непрерывна для;4)f(n)=a_n, тогда поведение ряда совпадает с поведением несобственного интеграла.

Пусть дан знакочередующийся ряд(1), т.е. такой, в котором два соседних члена имеют противоположные знаки:.

Т Лейбница:Пусть в ряде (1) члены по модулю убываюти предел общего члена равен нулю , то ряд (1) будет сходится (S>0,S<a₁). (эту теор. м/о использовать для приближённых вычислений)

Док-во:Рассмотрим суммы ряда (1) с чётными индексами:

- ограничена сверху.

Докажем, что послед-ть частичных сумм - монотонно возрастает:

монотонно возрастает, а на основании теор. (если послед-ть монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет верхний предел):.

Докажем, что послед-ть частичных сумм с нечётными индексами имеет тот же самый предел:

+ряд (1) сходится.

Пр: , т.е.- гармонический ряд.сходимость по Лейб

Ряд(2)наз.знакопеременным, если среди его членов имеются «+» и «-», а знакочередующийся ряд явл-ся для него частным случаем.

Т:Если знакопеременный ряд (2) таков, что ряд(3)составлен из модулей его членов – сходится, то и ряд (2) тоже сходится.

Знакопеременный ряд (2) наз. абсолютно сходящимся, если он сходится, и ряд по модулю (3) тоже сходится, и обратно, если сходится ряд (3), то ряд (2) наз.абсолютно сходящимся.

Знакопеременный ряд (2) наз. условно сходящимся, если он сходится, а ряд по модулю (3) расходится.

Пр: ,- знакопеременный ряд,=сравним его с- сходящийся, по Т-1 сравнения:данный ряд абсолютно сх-ся.

(п3) сх-ся, составим ряд из модулей членов этого ряда- расх-сядан. ряд условно сх-ся.

МЕТОДИКА 8. 1) Логико-математический анализ темы

Логико-математический анализ темы: Геометрическая прогрессия (по учебнику Алгебра 9 класс под ред. Ш.А Алимова, Ю.М.Колягина)

Основные математические понятия.

Числовая последовательность b₁,b₂, … ,b_n, … называетсягеометрической прогрессией, если для всех натуральныхnвыполняется равенствоb_n+1 =b_nq,

где b_n≠ 0,q– некоторое число, не равное нулю.

Число qназываетсязнаменателем геометрической прогрессии.

Если все члены прогрессии положительны, то b_n= √b_n-1 b_n+1, т.е. каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название«геометрическая прогрессия».

b_n = b₁q^n-1– формулаn– члена геометрической прогрессии.

Сумма nпервых членов геометрической прогрессии со знаменателемq≠1 равна

S_n = b₁(1- qⁿ)

1-q

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессииназывается число, к которому стремится сумма ее первыхnчленов приn→∞.

S = b₁

1-q

Основные предложения темы:

1) определение геометрической прогрессии.

2) Сумма nпервых членов геометрической прогрессии.

3)Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Ранее изученный материал	Теоретический материал темы	Применение изученного материала
- арифметическая прогрессия; - Числовая последовательность; - Степень с рациональным показателем.	Сумма nпервых членов геометрической прогрессии ↑ Основные понятия геометрической прогрессии ↑ Геометрическая прогрессия ↓ Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия	- в алгебре; в физике; - в математическом анализе.