9.5. Метод совмещения плоскостей

Этот метод является частным случаем метода вращения вокруг линии уровня. В качестве оси вращения выбирается линия пересече­ния плоскости, в которой лежит та или иная фигура, с одной из плос­костей проекций. Иначе говоря, осью вращения служит горизонталь­ный или фронтальный след плоскости. При этом каждая точка, при­надлежащая рассматриваемой фигуре, при вращении перемещается в плоскости, перпендикулярной к следу той плоскости, в которой она лежит. Например, плоскость , заданную своими следами и , не­обходимо совместить с горизонтальной плоскостью проекций П₁ (рис. 9.7).

Для решения поставленной задачи берут на фронтальном следе плоскостипроизвольную точку 1₂ и находят ее горизонтальную проекцию 1, которая лежит на оси х. Далее из точки 1₁ проводят луч, перпендикулярный к горизонтальному следу плоскости (любаяточка при вращении должна перемещаться в плоскости, перпендику­лярной к оси поворота). На нем находят совмещенное положение точ­ки 1 — точку 1₀, как точку пересечения луча с дугой окружности радиусом . Точка 1₀ принадлежит одновременно и плоскости П₁ и новому (совмещенному) положению плоскости . Через точку 1₀ проводят новый фронтальный след ₀ плоскости . Следы ₁ и ₀ ха­рактеризуют новое (совмещенное) положение плоскости .

9.6. Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит сущность преобразования ортогональных проек­ций способом замены плоскостей проекций?

2. Сколько замен плоскостей проекций и в какой последователь­ности необходимо выполнить, чтобы перевести отрезок прямой обще­го положения в отрезок прямой частного положения?

3. Сколько замен плоскостей проекций и в какой последователь­ности необходимо выполнить, чтобы определить натуральную вели­чину плоской фигуры?

4. В чем заключается способ вращения вокруг проецирующейоси?

5. В каких плоскостях перемещается точка, вращаемая вокруг оси, перпендикулярной к плоскостям П₁ и П₂?

3. Сущность способа плоскопараллельного перемещения.

3. Что представляет собой преобразование чертежа способом вра­щения вокруг линии уровня?

4. В чем заключается преобразование чертежа способом совмеще­ния?

9.7. Примеры решения задач

Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанны­ми методами.

9.7.1 Задание: определить натуральную величину треугольника общего положения ABC, заданного проекциями вершин A₁ B₁ C₁ и А₂В₂С₂ (рис. 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к П_1.

1) Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.9).

Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет в пространстве параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невоз­можно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей про­екций получают плоскость треугольника ABC, перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.

Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плос­костей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоско­стей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). За­тем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции тре­угольника A₁B₁C₁ проводят ось x₁ новой системы плоскостей проек­ций П₁/П₄ перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонта­ли h₁. В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к но­вой плоскости проекций П₄.

На линиях проекционной связи в новой системе откладывают ко­ординаты z точек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П₁/П₂. При соединении новых проекций А₄, B₄, С₄ полу­чают прямую линию, в которую спроецировалась плоскость тре­угольника ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П₁ - угол . Начертеже это угол между осью x₁ и проекцией С₄А₄В₄.

Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П₅, парал­лельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x₂ проводят парал­лельно С₄А₄В₄ на произвольном расстоянии. Получают новую систе­му П₄/П₅. Полученный треугольник А₅В₅С₅ и есть искомая натураль­ная величина треугольника ABC.

2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси

(рис. 9.10).

Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют враще­ние так, чтобы плоскость треугольника ABC преобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плос­костей проекций. Для этого на фронтальной проекции чертежа прово­дят горизонталь h₂ через точку А₂. Затем строят горизонтальную про­екцию h₁ горизонтали h через точки A₁ и 1₁ Через точку 1 проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендику­лярна к П₁. На фронтальной проекции через вершины А₂ и В₂ прово­дят горизонтальные плоскости уровня ₂ и ₂. Вершина С принадле­жит плоскости П₁ поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П₁. На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i₁ поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П₂ она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что h'₁ займет новое положение - перпендикулярно к оси х. При этом на фронтальной проекции точка А₂ перемещается по следу плоскости ₂ до пересечения с линией связи, проведенной через точку a'₁. На гори­зонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С во­круг оси так, чтобы . На фронтальной проекциивершина В перемещается по следу плоскости ₂, а вершина С - по оси х. Соединив новое положение всех вершин треугольника ABC, получают проекцию А'₂В'₂С'₂, сливающуюся в линию. Этим достига­ют проецирующего положения треугольника ABC. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к П₁ - .

На втором этапе проводят ось i` через вершину С так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом С'<sub>2</sub> = /'<sub>2</sub>, а горизонтальная проекция i'<sub>1</sub> пройдет через проекцию С'<sub>1</sub>. Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки А'<sub>2</sub> и В'<sub>1</sub>, вокруг i`₂ = С'₂ до совмещения с осью х, при этом горизонтальные проекции B'₁ и A'₁ будут перемещаться в горизонтально проецирующихся плоскостях уровня иP₁ и займут новое положение В"₁, и А"₁ вершина С оста­нется на месте. Соединив новые точки между собой, получают тре­угольник ABC в натуральную величину.

3) Решение методом плоскопараллельного перемещения (рис. 9.11).

Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразовывают чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендику­лярна к одной из плоскостей проекций, т.е. должна в себе содержать прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Для этого проводят в

плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция А₂1₂ // х, а горизонтальная — A₁1₁). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости П₁. В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проек­ций П₁, А принадлежит плоскости , а В — плоскости А.

Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь h₁ треугольника не станет перпендикулярна к фрон­тальной плоскости проекций П₂. Для этого на произвольном расстоя­нии от оси х вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника A₁B₁C₁ с условием, что П₂, а значит х. При этом вер­шины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение - А'₂В'₂С'₂. Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. пер­пендикулярного к плоскости П₂.

На втором этапе, чтобы получить натуральную величину тре­угольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольника А'₂В'₂С'₂ располагают на произвольном расстоянии от оси х параллельно плоскости П₁. При этом вершины А, В и С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости , Т, Р. По следам этих плоскостей будутперемещаться горизонтальные проекции вершин А'₁ В'₁ С'₁. От но­вого положения фронтальной проекции А"₂В"₂С"2 проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются (,T₁,P₁), и получают точки А"₁ В"₁ C"₁. Соединив эти точки между собой, получают тре­угольник ABC в натуральную величину.

4) Решение методом вращения вокруг линии уровня (рис. 9.12).

Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плос­кость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг го­ризонтали, в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят го­ризонталь h, фронтальная проекция которой будет параллельна оси х. Отмечают точку 1₂ и находят ее горизонтальную проекцию 1₁. Пря­мая A₁1₁ является горизонтальной проекцией h₁ горизонтали h. Во­круг горизонтали будут вращаться точки В и С. Для определения ра­диуса вращения точки С на горизонтальной проекции проводят перпендикуляр C₁O₁ A₁1₁ точка О₁, является центром вращения точ­ки С.

Для определения натуральной величины радиуса вращения строят прямоугольный треугольник, в котором O₁C₁ - один из катетов. Вто­рой катет - разность координат отрезка О₂С₂, взятого с фронталь­ной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза O₁C₀ - нату­ральная величина радиуса вращения.

На продолжении перпендикуляра O₁C₁ откладывают |R_Bp.| и полу­чают новое положение вершины С после вращения — С₀. Вторая вер­шина В₀ получается пересечением луча C₀1₁ и перпендикуляра к горизонтальной проекции h₁ проведенного через точку b₁.

Треугольник A₁B₀C₀ есть искомая натуральная величина тре­угольника ABC.

5) Решение методом совмещения (рис. 9.13).

Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости , которой принадлежит треугольникABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь и находят го­ризонтальный след этой фронтали – N₁. По условию задачи верши­на С треугольника принадлежит горизонтальной плоскости проек­ций П₁. Тогда горизонтальный след плоскости проводят через точки n₁ и C₁. Соединив эти две точки и продлив отрезок до пересе­чения с осью х, находят точку схода следов . Учитывая свойство, что все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу, фронтальный след ₂ плоскости проводят через точку парал­лельно фронтали .

Для нахождения натуральной величины треугольника ABC необ­ходимо построить совмещенное положение плоскости с горизон­тальной плоскостью проекций П₁. Для этого через вершину А прово­дят горизонталь h₁. На фронтальном следе ₂ фиксируют точку 2₂. Ее горизонтальная проекция - точка 2₁. Точка 2 вращается в плоскости, перпендикулярной к горизонтальному следу плоскости . Поэтому,чтобы построить точку 2 в совмещенном положении 2₀, проводят из 2₁ перпендикуляр к горизонтальному следу , а из центрадугу ок­ружности радиусом до пересечения с направлением перпендику­ляра. Соединив с 2₀, получают совмещенное положение фронталь­ного следа - Далее через точку 2_о проводят горизонталь h_a в совме­щенном положении. На этой горизонтали находят точку А₀, проведя перпендикуляр из точки a₁ к горизонтальному следу .

По такой же схеме строят совмещенное положение точки В₀. Со­вмещенное положение точки С совпадает с ее горизонтальной проек­цией С₁ т.е. . Соединив построенные точки, получают тре­угольник А₀В₀С₀ - это и есть натуральная величина треугольника ABC.