Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

Сравнивая выражения (12.6) и (12.4), видим, что спектральная

плотность выходного сигнала равна Y(e j ) H(e j )X (e j ) . Полу-

ченное выражение составляет основу спектрального метода анализа ЛИС-цепей.

Предположим, что импульсная характеристика некоторой цепи

Вычисление каждого значения выходного сигнала требует учета текущего и N 1 предшествующих отсчетов входного сигнала и

может быть выполнено цепью, структурная схема которой показана на рис. 12.2. Такие цепи называются трансверсальными, или

цепями с конечной импульсной характеристикой (КИХ-цепями).

h[0]

z-1

x[n–1] h[1]

z–1

x[n–2] h[2]

z–1

x[n–N–1] h[N–1]

Рис. 12.2. Структура цепи с конечной импульсной характеристикой

Комплексная частотная характеристика КИХ-цепи имеет вид полинома порядка N 1 относительно e j :

Таким образом, КИХ-цепь умножает спектральную плотность входной последовательности на полином. Другой важный для

практики класс дискретных ЛИС-цепей составляют цепи, которые не умножают, а делят спектральную плотность входной последовательности на полином некоторого порядка M 1 относительно

y[n] bx[n] a1y[n 1] a2 y[n 2] ... aM 1y[n M 1] ,

структура которой показана на рис. 12.3.

b

z–1

a1

z–1 a2

z–1

aM 1

Рис. 12.3. Структура рекурсивной цепи

Обычно к ЛИС-цепям предъявляется требование устойчивости. Напомним, что линейная цепь называется устойчивой, если

5 Отметим, что трансверсальные цепи иногда называют нерекурсивными.

отклик на воздействие, ограниченное по модулю, также ограничен.

Для устойчивости ЛИС-цепи необходимо и достаточно, чтобы ее импульсная характеристика была абсолютно суммируемой, т.е.

выполнялось условие [5, 19]

Очевидно, для импульсных характеристик конечной длины это условие выполняется всегда, поэтому КИХ-цепи всегда устойчивы. Рекурсивные цепи могут быть неустойчивыми из-за наличия обратных связей. Анализ устойчивости ЛИС-цепей основан на использовании z -преобразования, которое формально может быть

получено из преобразования Фурье (12.1) заменой величины e j на комплексное переменное z :

n

z -Преобразование может сходиться для одних значений комплексного переменного z и расходиться для других. Множество точек комплексной z -плоскости, в которых z -преобразование сходится, называется областью сходимости. Для абсолютно суммируемой импульсной характеристики область сходимости ее z -преобразования содержит единичную окружность. Если цепь является каузальной (физически реализуемой), то она устойчива в том и только в том случае, если все полюсы ее передаточной функции

H (z) h[n]z n

n 0

по модулю меньше единицы, т.е. находятся внутри единичной окружности.

Самый широкий класс ЛИС-цепей конечного порядка6 образуют цепи, структура которых может быть сведена к каскадному соединению трансверсальной и рекурсивной частей, что соответствует разностному уравнению вида

y[n] b0x[n] b1x[n 1] ... bN 1x[n N 1]a1y[n 1] a2 y[n 2] ... aM 1y[n M 1]

6 ЛИС-цепи бесконечного порядка, очевидно, нереализуемы и представляют ограниченный интерес.

откуда следует выражение для КЧХ дробно-рационального вида

В общем случае ЛИС-цепь конечного порядка с КЧХ вида (12.11) имеет бесконечно длинную импульсную характеристику (БИХ), но если полином-числитель делится на знаменатель без остатка, то результатом деления оказывается полином и импульсная характеристика имеет конечную длину (таковы, например, КИХфильтры на основе частотной выборки, см. ниже).

12.3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Выражение (12.1) позволяет в принципе найти спектральную плотность последовательности бесконечной длины, но для этого должно быть известно ее описание в виде замкнутого выражения (формулы). В практике цифровой обработки сигналов чаще требуется вычислять спектральную плотность сигнала, заданного своими отсчетами (естественно, отсчетов может быть лишь конечное

количество N ). Тогда спектральная плотность согласно (12.1) имеет форму полинома порядка N 1 :

Известно, что для однозначного задания полинома порядка m относительно комплексного переменного достаточно задать его значения в (m 1) точках комплексной плоскости, тогда полином

может быть восстановлен при помощи интерполяционной формулы Лагранжа (см., например, [19]). Следовательно, для однозначного определения спектральной плотности сигнала длины N достаточно найти значения преобразования Фурье в N различных точках, которые можно выбрать произвольно. С точки зрения простоты

n 0

Это выражение носит название дискретного преобразования Фурье

(ДПФ). Обратное ДПФ определяется выражением

делы, при этом левые части (12.12) и (12.13) определяют N -перио- дические последовательности. Таким образом, ДПФ связывает как последовательности конечной длины, так и периодические последовательности. Эта двойственность должна учитываться при применении ДПФ (см., например, п. 12.4.1).

Дискретное преобразование Фурье представляет собой не только инструмент анализа, но и алгоритм ЦОС. На его основе может быть

12.4. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Основное назначение дискретных ЛИС-цепей заключается в фильтрации дискретных сигналов, т.е. в избирательном воздействии на амплитуды и начальные фазы гармонических составляющих различных частот. Это фактически означает, что любая ЛИС-цепь

представляет собой фильтр. Однако интерес представляет построение фильтров с заданными наперед частотно-избирательными и

фазовыми свойствами. Построить (синтезировать) фильтр – значит найти его разностное уравнение (т.е. алгоритм вычисления выходного сигнала по известному входному) и/или структурную схему. Таким образом, под синтезом цифрового фильтра (ЦФ) обычно понимается построение дискретной ЛИС-цепи с КЧХ заданной формы. При решении задачи синтеза обычно не делают различия между дискретными и цифровым цепями, хотя, строго говоря, дискретная ЛИС-цепь становится цифровой в результате квантования коэффициентов ее разностного уравнения7.

Ранее было показано, что ЛИС-цепь конечного порядка имеет в

общем случае КЧХ дробно-рационального вида (12.11), поэтому, очевидно, задача синтеза ЦФ сводится к аппроксимации желаемой

КЧХ функцией дробно-рационального вида, так как зная эту функцию, легко составить структурную схему цепи или записать разностное уравнение вида (12.10). Указанная аппроксимация сравнительно легко выполняется для КИХ-цепей, когда дробнорациональная функция вырождается в полином, и представляет собой непростую задачу для общего случая. Поэтому методы синтеза ЦФ с конечными и бесконечными импульсными характеристиками совершенно различны.

12.4.1. МЕТОДЫ СИНТЕЗА КИХ-ФИЛЬТРОВ

Фильтры с конечной импульсной характеристикой имеют перед БИХ-фильтрами ряд преимуществ. Во-первых, КИХ-фильт- ры всегда устойчивы. Во-вторых, только КИХ-фильтр может иметь строго линейную фазочастотную характеристику [5, 19] (фильтр с линейной ФЧХ не искажает формы сигнала, если его спектр лежит в полосе частот, где амплитудно-частотная характеристика постоянна; при этом сигнал лишь задерживается на время, пропорциональное крутизне ФЧХ). Наконец, для КИХ-фильтров наиболее

7 При этом квантуются также отсчеты сигнала, в результате чего цепь перестает быть линейной.

просто решается задача аппроксимации КЧХ желаемого вида реализуемой функцией (тригонометрическим полиномом). Однако КИХ-фильтры имеют существенный недостаток по сравнению с БИХ-фильтрами: для обеспечения сравнимых частотноизбирательных свойств, в частности крутизны АЧХ в переходной полосе частот, требуется КИХ-фильтр в десятки раз более высокого порядка, чем БИХ-фильтр. На практике в зависимости от конкретных обстоятельств применяются фильтры обоих типов. Ниже вкратце рассматриваются методы синтеза КИХ-фильтров.

Метод взвешивания (метод функций окна)

КЧХ трансверсального дискретного фильтра представляет собой тригонометрический полином, т.е. функцию вида

Здесь не предполагается каузальность фильтра; если каузальность необходима, ее легко можно обеспечить умножением (12.14) на

фазовый множитель e jM . Если желаемая КЧХ имеет вид Hж (e j ) , то синтез КИХ-фильтра состоит в нахождении тригоно-

метрического полинома, близкого в каком-то смысле к Hж (e j ) .

Обычно в качестве критерия близости выбирается среднеквадратическая ошибка аппроксимации

H (e j ) Hж (e j ) 2 d ,

тогда наилучшая аппроксимация обеспечивается, если коэффициентами полинома (12.14) являются коэффициенты разложения желаемой КЧХ в ряд Фурье

Эти коэффициенты представляют собой отсчеты импульсной характеристики КИХ-фильтра, в общем случае некаузального. После соответствующей задержки получается импульсная характеристи-

ка каузального фильтра h[n] bn M , n 0, N 1 , где N 2M 1 .

Поскольку всякая ЛИС-цепь однозначно определяется своей импульсной характеристикой, на этом синтез КИХ-фильтра можно было бы считать законченным. Однако если желаемая КЧХ раз-

рывна (например, как часто бывает на практике, требуется АЧХ прямоугольной формы), получаемая КЧХ, как сумма усеченного ряда Фурье (12.14), содержит гиббсовские осцилляции. Поэтому применяют дополнительное умножение импульсной характеристики на весовую последовательность («окно») подходящей формы. Причина явления Гиббса, как отмечалось в разд. 2, заключается в слишком медленном убывании коэффициентов фурье-разложения разрывной функции, поэтому все применяемые окна убывают от середины к краям [5, 19]. Для достижения приемлемых избирательных свойств длина импульсной характеристики, определяющая объем вычислений, на практике составляет обычно несколько сотен.

Кроме метода взвешивания, иногда применяют другой способ борьбы с гиббсовскими осцилляциями. На этапе формулирования

требований к фильтру вводят переходную полосу, в которой задают закон непрерывного изменения АЧХ (например, линейный за-

кон) [5]. Тогда ряд Фурье сходится равномерно и явление Гиббса отсутствует. Это не означает, что исчезает неравномерность АЧХ, просто осцилляции теперь убывают по амплитуде с увеличением порядка фильтра.

Следует также упомянуть машинные методы синтеза КИХфильтров на основе численной оптимизации. При этом подбором коэффициентов КИХ-фильтра минимизируется взвешенная среднеквадратическая ошибка

где q( ) – весовая функция, позволяющая управлять относитель-

ной значимостью ошибок на разных участках частотной оси, или максимальная взвешенная погрешность

Эти методы позволяют получить меньшие погрешности аппроксимации по сравнению с описанным выше методом оконного взвешивания, но их анализ значительно сложнее [5].

Метод частотной выборки

Метод синтеза фильтров с конечной импульсной характеристикой, получивший название метода частотной выборки, основан на задании значений желаемой КЧХ в точках, расположенных равно-

мерно на 1-окружности и соответствующих точкам частотной оси (отсюда название метода) и аппроксимации КЧХ интерполяционным полиномом Лагранжа [5]. Этот метод приводит к построению структуры, содержащей трансверсальную и рекурсивную части, которой, тем не менее, соответствует конечная импульсная характеристика (см. разд. 12.2). Благодаря наличию рекурсии такие фильтры при реализации требуют меньшего числа операций по сравнению с рассмотренными выше КИХ-фильтрами и оказываются предпочтительными.

Метод быстрой свертки

Фильтрация сигналов может быть выполнена в частотной области путем вычисления спектральной плотности входного сигнала, умножения ее на КЧХ фильтра и выполнения обратного преобразования Фурье (на практике для входного сигнала, который

представляет собой реализацию случайного процесса, можно вычислить только дискретное преобразование Фурье). Этот на пер-

вый взгляд сложный способ нахождения выходного сигнала оказывается на практике более эффективным в вычислительном отношении, чем прямое вычисление свертки, благодаря существованию алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Метод КИХ-фильтрации на основе БПФ получил название метода быстрой свертки.

При его реализации необходимо учитывать следующие два обстоятельства. Первое состоит в том, что дискретное преобразование Фурье обладает двойственностью – оно соответствует как последовательностям конечной длины, так и периодическим последовательностям. По этой причине перемножение коэффициентов ДПФ двух последовательностей (входного сигнала и импульсной характеристики) соответствует не обычной (апериодической), а так называемой циклической (круговой) свертке. Убедимся, что это действительно так.

Пусть x[n] и h[n] – периодические последовательности с периодом N . Их циклическая свертка определяется выражением

N 1

y[n] x[m]h[n m] .

m 0

ДПФ результирующей последовательности

фрагментов длины N согласно (12.12).

При выводе (12.16) учтен тот факт, что сумма в круглых скобках во второй строке равна H[k] независимо от m в силу перио-

дичности суммируемых членов: при различных m суммируются одни и те же N слагаемых в разном порядке. Таким образом, видно, что циклическая свертка (или свертка периодических последовательностей) соответствует поточечному произведению ДПФспектров последовательностей. При фильтрации же должна выполняться обычная апериодическая свертка, определяемая выра-

жением (12.5).

Преодолеть эту трудность можно следующим образом. Преобразование Фурье последовательности длины N дает полином (от-

носительно e j ) степени N 1 . Полагая, что x[n] и h[n] – после-

довательности длины N , видим, что произведение их фурье-обра- зов есть полином степени 2(N 1) . Но при поточечном

перемножении ДПФ-спектров, имеющих по N отсчетов, получается всего N результирующих отсчетов, что соответствует полиному всего лишь (N 1) -й степени. Единственный способ получе-

ния правильного результата умножения двух полиномов состоит в том, чтобы точек вычисления ДПФ «хватило» для представления результата. Иначе говоря, если используется N -точечное ДПФ, то

степень результирующего полинома должна быть не выше (N 1) .

Это, в свою очередь, означает, что сумма длин последовательностей x[n] и h[n] (обозначим их M и L ) должна удовлетворять

очевидному соотношению M 1 L 1 N 1 (или M L 1 N ). Для того чтобы можно было для последовательности x[n] длины

M N получить N отсчетов ДПФ, следует перед вычислением ДПФ последовательность x[n] дополнить N M нулевыми отсче-

тами (и то же проделать с другой последовательностью). Тогда ре-