Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

зультат их циклической свертки, полученный применением БПФ, совпадает с результатом апериодической свертки.

Второе обстоятельство, которое должно учитываться при реализации КИХ-фильтрации методом быстрой свертки, относится к фильтрации последовательностей большой (в частности, бесконечной) длины. Если длина входной последовательности велика (сотни тысяч отсчетов и более), что типично для обработки сигналов, применяемых в радиотехнике и связи, то необходимое основание БПФ (число вычисляемых отсчетов) оказывается слишком большим, что влечет высокие требования к объему оперативной памяти вычислителя БПФ, а также приводит к большой задержке результирующего сигнала (результат может быть получен не ранее, чем поступит последний отсчет входной последовательности, плюс время, необходимое для вычисления прямого БПФ, умножения и обратного БПФ). Для того чтобы снизить требования к памяти и уменьшить задержку, применяют так называемое секционирование свертки [5].

Пусть h[n] – импульсная характеристика фильтра, имеющая длину M , а x[n] – сигнальная последовательность бесконечной длины. Представим x[n] в виде

Нетрудно видеть, что таким образом входная последовательность разбивается (секционируется) на совокупность неперекрывающихся примыкающих друг к другу сегментов длиной L отсчетов каждый.

В силу билинейности свертки (линейности по каждому из операндов)

Как видно из полученного выражения, свертка последовательности бесконечной длины с конечной импульсной характеристикой может быть точно заменена бесконечной суммой сверток сегментов фиксированной длины с этой же ИХ. Каждая частичная свертка

требует для своего вычисления (L M 1) -точечного БПФ. По-

скольку L выбирается произвольно, секционирование позволяет реализовать КИХ-фильтрацию длинных (потенциально – беско-

344 12. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

нечно длинных) последовательностей; при этом результат yk [n] фильтрации сегмента xk [n] появляется с задержкой, определяемой

временем прямого и обратного БПФ и умножения, но эта задержка теперь отсчитывается от момента окончания сегмента, а не всей последовательности.

Заметим, что результат каждой частичной свертки имеет длину (L M 1) , а следуют секции с относительным сдвигом L . Таким

образом, результаты частичных сверток yk [n] суммируются с перекрытием носителей kL n (k 1)L M 1. Этот метод секцио-

нирования свертки известен как метод перекрытия с суммировани-

ем (overlap-add method) [5].

Альтернативный метод перекрытия с накоплением (overlapsave method) заключается в том, что перекрываются сегменты

входной последовательности. Последовательность x[n] разбивается на секции xk [n] длиной (L M 1) , причем последние (M 1)

отсчетов каждой секции перекрываются с таким же количеством первых отсчетов следующей секции ( M – по-прежнему длина импульсной характеристики, L выбирается произвольно). Каждая

секция подвергается БПФ с основанием (L M 1) . Импульсная

характеристика длиной M дополняется нулями до основания БПФ. Результат фильтрации (циклической свертки) содержит всего

(L M 1) отсчетов, из которых последние (M 1) отсчетов –

«ошибочные», не совпадающие с результатом апериодической

свертки, а остальные L отсчетов являются «правильными». Суммируются результаты циклических частичных сверток после отбрасывания «ошибочных» отсчетов, т. е. секции выходной последовательности длиной L следуют друг за другом без перекрытия.

12.4.2.СИНТЕЗ БИХ-ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ

Сравнение БИХ-фильтров с КИХ-фильтрами показывает, что для получения примерно одинаковых частотно-избирательных свойств (имеется в виду крутизна спада АЧХ) КИХ-фильтр должен иметь в 10…20 раз более высокий порядок. Это вполне объяснимо, так как известно, что быстро изменяющиеся сигналы имеют широкий спектр, а благодаря двойственности (дуализму) времени и частоты отсюда следует, что круто изменяющейся функции частоты (АЧХ) должна соответствовать функция времени (импульсная характеристика) большой длительности. Но для КИХ-фильтра поря-

док – это количество отсчетов импульсной характеристики минус 1, в то время как БИХ-фильтр даже первого порядка имеет импульсную характеристику бесконечной длительности. Таким образом, в тех случаях, когда вид фазочастотной характеристики не играет определяющей роли для практического применения разрабатываемого фильтра, следует использовать БИХ-фильтр, так как при этом получается существенный выигрыш в быстродействии (или в аппаратурных затратах на реализацию) фильтра. То обстоятельство, что не всякий БИХ-фильтр оказывается устойчивым, не представляет такой заметной опасности, как может показаться на первый взгляд. Во-первых, устойчивость может быть проверена (и обеспечена) на этапе проектирования цифрового фильтра; во-вторых, характеристики цифровых фильтров не подвержены дрейфу с течением времени и при изменении внешних условий, следовательно, устойчивый фильтр останется устойчивым в течение всего времени работы (конечно, нужно учитывать возможность выхода аппаратуры из строя в результате катастрофического отказа; при этом может возникнуть неустойчивость). Следует также отметить, что в цифровых БИХ-фильтрах могут возникать незатухающие паразитные колебания (так называемые предельные циклы) вследствие своеобразного нарушения устойчивости при округлении дробных чисел; подробнее см. [5].

Наиболее широко применяются методы синтеза цифровых БИХ-фильтров, основанные на так называемой аналого-цифровой трансформации, т.е. на преобразовании аналогового фильтра с

требуемыми характеристиками в цифровой (дискретный) фильтр. Это объясняется, во-первых, трудностью решения задачи прямой аппроксимации желаемых характеристик дробно-рациональными передаточными функциями и, во-вторых, наличием развитой тео-

рии синтеза аналоговых фильтров и простотой преобразования аналоговых фильтров-прототипов в дискретные фильтры.

В качестве фильтров-прототипов наиболее часто применяются аналоговые фильтры Баттерворта, Чебышѐва, Золотарева – Кауэра (эллиптические) и Бесселя. Фильтры Баттерворта имеют при заданном порядке максимально гладкую АЧХ. Фильтры Чебышѐва имеют АЧХ, пульсирующую в полосе пропускания (фильтры I рода) или в полосе заграждения (фильтры II рода). АЧХ эллиптического фильтра пульсирует как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения и имеет поэтому максимальную крутизну спада. Все перечисленные фильтры характеризуются заметной нелинейностью фазочастотной характеристики. Фильтр Бесселя имеет ФЧХ, близкую к линейной в полосе пропускания.

346 12. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Аналоговые фильтры принято описывать передаточными функциями, которые связаны с импульсными характеристиками преобразованием Лапласа [8]. Преобразование Лапласа связывает аналоговый сигнал x(t) с его образом (изображением) в виде

функции X ( p) комплексного переменного p . Мнимая ось комплексной p -плоскости представляет собой ось частот в описании

аналогового сигнала. Аналогичную роль в описании дискретных сигналов играет единичная окружность z -плоскости.

Аналого-цифровая трансформация состоит в установлении связи комплексных переменных p и z . Выразив p в виде функции

p f (z) и подставив в выражение передаточной функции Ha ( p)

аналогового фильтра-прототипа, мы получили бы функцию комплексного переменного z , имеющую смысл передаточной функции H (z) дискретного фильтра. Трудность состоит в том, что, во-

первых, мнимая ось p -плоскости имеет бесконечную, а единичная

окружность z -плоскости – конечную длину 2π. Во-вторых, реализуемы только ЛИС-цепи конечного порядка, поэтому подстановка

p f (z) в дробно-рациональную функцию Ha ( p) должна давать также дробно-рациональную функцию.

Поскольку на единичной окружности z e j , а при дискрети-

которые не являются дробно-рациональными. Различные способы преодоления этой трудности лежат в основе двух рассмотренных ниже методов аналого-цифровой трансформации.

Метод инвариантности импульсной характеристики.

Передаточная функция произвольного аналогового фильтра (с сосредоточенными параметрами) имеет вид дробно-рациональной

функции комплексного переменного p . Такая функция может быть представлена в виде суммы дробей

где pk , k 1, N – полюсы передаточной функции, а коэффициенты Ak определяются из условия равенства числителя передаточной функции Ha ( p) и числителя правой части после приведения ее к

общему знаменателю. (Здесь мы рассматриваем лишь практически важный случай, когда степень числителя Ha ( p) меньше степени

знаменателя, а все корни знаменателя некратные.)

Ввиду линейности преобразования Лапласа импульсная характеристика такого фильтра имеет вид суммы экспоненциальных

функция Хевисайда, определяемая выражением (2.1).

Очевидно, для того чтобы импульсная характеристика затухала со временем (т. е. фильтр был устойчивым), необходимо и достаточно, чтобы все полюсы были расположены в p -плоскости слева

от мнимой оси.

Метод аналого-цифровой трансформации, известный под на-

званием метода инвариантности импульсной характеристики, ос-

нован на прямом применении теоремы отсчетов (теоремы Котельникова). Рассматривая импульсную характеристику аналогового фильтра-прототипа как функцию времени (сигнал), можно заменить ее последовательностью отсчетов, выбранных с достаточно

где rk epkTd – полюсы передаточной функции цифрового фильтра,

1, n 0, u[n]

0, n 0.

Из полученного выражения видно, что при дискретизации импульсной характеристики каузального аналогового фильтра с дробно-рациональной передаточной функцией получается сумма каузальных экспоненциальных последовательностей, следовательно, реализуемому аналоговому фильтру соответствует реализуемый цифровой фильтр. Кроме того, полюсы цифрового фильтра связаны с полюсами фильтра-прототипа соотношением

( Re{pk} 0 ) соответствует устойчивый цифровой фильтр того же

ина этом аналого-цифровая трансформация заканчивается, так как зная передаточную функцию, легко составить структурную схему

иразностное уравнение цифрового фильтра.

Поскольку импульсная характеристика цифрового фильтра есть продукт дискретизации импульсной характеристики аналогового фильтра, КЧХ цифрового фильтра связана с КЧХ аналогового фильтра соотношением (см. разд. 2.11)

прототипа не финитна, а это всегда так для фильтров конечного порядка, то неизбежно наложение (суммирование) «хвостов» сдви-

нутых копий Ha ( ) , и, как следствие, искажение формы получае-

мой КЧХ дискретного фильтра по отношению к КЧХ фильтрапрототипа. Этот эффект ограничивает практическое применение метода инвариантности импульсной характеристики в основном задачами синтеза цифровых фильтров нижних частот.

Метод билинейного преобразования основан на аппроксимации выражения (12.18), позволяющей сохранить дробную рациональность передаточной функции. Подставив разложение функции логарифма в ряд, ограниченное первым слагаемым, получим

Это выражение дробно-рационально относительно z 1 , поэтому после его подстановки в дробно-рациональную передаточную

функцию Ha ( p) аналогового прототипа получается снова дробно-

рациональная, а следовательно, реализуемая передаточная функция H (z) цифрового фильтра.

Выясним, как располагаются в z -плоскости полюсы передаточной функции H (z) , если полюсы передаточной функции про-

Чтобы выяснить, в какое множество z -плоскости отображается мнимая ось p -плоскости (ось частоты), подставим в это выраже-

ние j вместо p , тогда получим выражение для образа мнимой оси p -плоскости при отображении, описываемом выражением

(12.21):

Числитель и знаменатель этой дроби суть комплексно-сопря- женные числа, поэтому модуль дроби равен единице при всех . Это означает, что мнимая ось p -плоскости отображается преобра-

зованием (12.21) на единичную окружность z -плоскости. Но переменная – это частота, соответствующая описанию аналогового фильтра; роль частотной оси для цифровых цепей играет

350 12. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

следовательно, связь «аналоговой» и «цифровой» частот при билинейном преобразовании описывается выражениями

аналоговая частотная ось (бесконечной длины) отображается на

единичную окружность (длины 2 ), причем это отображение однократно в отличие от (12.19), и вследствие этого различные участки оси испытывают различное «сжатие» при отображении на

ось (единичную окружность). Это необходимо учитывать при проектировании цифровых фильтров на этапе определения требований к частотам среза фильтров-прототипов.

Заслуживает внимания вопрос, насколько вредна нелинейная трансформация частотной оси с точки зрения задачи синтеза цифровых фильтров. Очевидно, что при проектировании фильтров с желаемыми АЧХ кусочно-постоянного вида указанная нелинейность трансформации частотной оси не влияет на качество цифрового фильтра, так как приводит лишь к необходимости на этапе построения аналогового фильтра-прототипа учитывать последующее изменение характерных частот фильтра (граничных частот) при билинейном преобразовании. Если же требуется построить фильтр, не являющийся типовым (ФНЧ, ФВЧ, полосовым или режекторным), то в общем случае нелинейность отображения частотной оси приводит к искажению формы АЧХ. Например, интегрирующий аналоговый фильтр имеет амплитудно-частотную характеристику гипербо-

лического вида 1/ и при билинейном преобразовании не приводит к интегрирующему цифровому фильтру.

Для того чтобы устойчивый аналоговый фильтр трансформировался в устойчивый же цифровой фильтр, требуется, чтобы при

билинейном преобразовании левая полуплоскость p -плоскости отображалась внутрь единичной окружности. Разлагая p на мни-

мую и вещественную части, получим для билинейного преобразо-

вания (12.21)

z2 Re pTd j Im pTd . 2 Re pTd j Im pTd

Поскольку мнимые части числителя и знаменателя одинаковы, модуль дроби будет меньше 1, если Re pTd 0 . Тогда любой

полюс функции Ha ( p) , лежащий слева от мнимой оси, отобража-

ности. Это означает, что устойчивый аналоговый фильтр трансформируется преобразованием (12.20) в устойчивый дискретный фильтр.

Итак, установлено, что билинейное преобразование трансформирует устойчивый реализуемый аналоговый фильтр в устойчивый реализуемый цифровой фильтр. При этом вследствие однократности отображения частотной оси на 1-окружность отсутствует наложение «хвостов» КЧХ, что является достоинством билинейного преобразования. К недостаткам следует отнести то, что не сохраняются ни импульсная, ни фазочастотная характеристики фильтра (точнее говоря, импульсная и фазочастотная характеристики дискретного фильтра могут сильно отличаться по форме от соответствующих характеристик прототипа).

Порядок расчета цифрового фильтра методом билинейного преобразования состоит в следующем:

1)определение характерных частот ЦФ и пересчет их в частоты аналогового фильтра в соответствии с (12.22);

2)синтез аналогового фильтра, удовлетворяющего заданным условиям;

3)подстановка формулы (12.20) билинейного преобразования в

выражение Ha ( p) передаточной функции фильтра-прототипа.

Реализация цифровых фильтров (и других алгоритмов цифровой обработки сигналов) возможна на различной элементной базе. Выбор конкретного воплощения алгоритма ЦОС производится разработчиком с учетом различных показателей, к которым относятся стоимость, массогабаритные характеристики, энергопотребление, быстродействие и т.п. В каждом конкретном случае один или несколько показателей играют наиболее важную роль в выборе способа реализации. Например, в системах подвижной радиосвязи главными показателями являются быстродействие (обработка должна выполняться в реальном времени) и массогабаритные характеристики, при этом желательно обеспечить малое энергопотребление и умеренную цену мобильной станции. Устройство обработки сигналов в таких системах работает по жестким алгоритмам, которые не изменяются в течение всего срока эксплуатации изделия; точность представления данных (разрядность) должна быть достаточна для обеспечения комфортности восприятия речи (разборчивости и возможности узнавания собеседника) и является поэтому сравнительно невысокой. В системах обработки геофизической информации, напротив, обработка в реальном времени не требуется, массогабаритные характеристики не играют доминирующей роли, однако на передний план выступают точ-

ность представления данных и гибкость реализуемых алгоритмов. Поэтому в таких системах обработка сигналов реализуется обычно на универсальных цифровых вычислительных машинах. В системах реального времени (например, в подвижной радиосвязи), когда на обработку отсчета сигнала отводится временной интервал, равный шагу дискретизации, как правило, используются специализированные цифровые устройства, называемые цифровыми сигнальными процессорами (ЦСП). Следует отметить, что в последнее время в устройствах цифровой обработки сигналов широкое рас-

пространение получили программируемые логические интеграль-

ные схемы (ПЛИС). ПЛИС представляет собой интегральную схему сверхвысокой степени интеграции, содержащую на кристалле порядка 1 миллиона логических вентилей, которые могут быть программным путем соединены в логическую структуру, реализующую заданный алгоритм цифровой обработки сигналов аппаратным способом. Таким образом, ПЛИС сочетают в себе преимущества аппаратной реализации алгоритмов (главное из которых – быстродействие) с достоинствами программируемых устройств.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.В чем состоят преимущества цифровой обработки сигналов перед аналоговой?

2.В чем заключается отличие дискретных и цифровых сигналов?

3.Могут ли быть неустойчивыми трансверсальные цепи? рекурсивные цепи?

4.На чем основан синтез цифровых фильтров методом инвари-

антности импульсной характеристики? методом билинейного преобразования?

5. Зачем применяются окна при синтезе цифровых фильтров?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Требуется построить «гребенку» фильтров для частотного разделения аналоговых сигналов, занимающих полосы частот

(0...800 Гц), (1000...1800 Гц) и (2000...2800 Гц). Выберите частоту дискретизации и рассчитайте граничные частоты цифровых фильтров. Постройте график АЧХ фильтров (качественно).

2. На основании данных предыдущего упражнения рассчитайте граничные частоты аналоговых фильтров-прототипов для последующего синтеза ЦФ методом билинейного преобразования. Постройте качественный график АЧХ фильтров-прототипов.