Непосредственные следствия из аксиом

Теорема1. Вероятность невозможного события равна нулю:.

Теорема2.Если событие влечёт за собой событие, то:

.

Теорема3.Вероятность случайного события не превосходит единицы:

.

Доказательство. Поскольку, то по предыдущей теореме. ▄

Теорема 4.Для вероятности противоположного события

.

Доказательство.По свойствам операций над событиями (п. 2.3):

.

23.Теорема5 (теорема сложения). Для любых двух событий и:

. (5)

24. Схема равновозможных исходов

Теорема.Пусть события удовлетворяют трем условиям:

1) события попарно несовместны: при;

2) события равновероятны: ;

3) в результате испытания одно из событий обязательно наступает: .

Тогда для вероятности события

() справедлива формула:

.

Алгоритм реализации схемы равновозможных исходов

Пример 1.Испытание: из урны, содержащей 5 белых и 7 чёрных (перемешанных) шаров, наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым.

Решение.Событие— извлечённый шар является белым. Отвечаем последовательно на вопросы алгоритма.

1. Отдельный исход испытания заключается в извлечении одного из имеющихся в урне шаров.

2. Поскольку извлекается ровно один шар, то разные исходы попарно несовместны.

3. Поскольку шары одинаковы по форме , то все исходы равновероятны.

4. Общее число возможных исходов равно количеству шаров в урне: .

5. Исход испытания благоприятствует событию , когда извлечён один из пяти белых шаров

6. Число благоприятных исходов .

7. .

Пример 2.Испытание: два раза бросается монета. Найти вероятность того, что герб выпадет хотя бы один раз.

Решение.Событие— в паре выпавших сторон хотя бы один раз встречается герб. Отвечаем последовательно на вопросы алгоритма.

1. При однократном бросании монеты могут быть два равновероятных (в силу симметрии монеты) исхода: выпадение герба (Г) и выпадение решетки (Р). Поэтому для испытания, состоящего из двух последовательных бросаний, отдельный исход можно обозначить парой из двух символов, каждый из которых может принимать значения «Г» или «Р»: (Г Г); (Р Р); (Г Р); (Р Г).

2. Разные исходы попарно несовместны, поскольку различаются результатом, по крайней мере, одного бросания.

3. Поскольку монета предполагается симметричной, и результаты отдельных бросаний друг на друга не влияют, то все исходы равновероятны.

4. Общее число возможных исходов равно количеству пар: .

5. Благоприятный исход имеет место, если в паре символов хотя бы один раз встречается «Г»: (Г Г); (Г Р); (Р Г).

6. Число благоприятных исходов (число таких пар) .

7. .

Пример 3.После семи бросаний монеты герб выпал ровно четыре раза. Найти вероятность того, что герб выпал при первых четырех бросаниях.

Решение.Номера успешных испытаний с выпадением герба по условию принимают четыре каких-либо значения из совокупности. Выбрать четыре номера из семи можноспособами, так что общее число исходов. Лишь один исход является благоприятным, — когда успешны бросания с номерами; таким образом,, и искомая вероятность равна.

Эмпирический закон больших чисел

Как показывает практика, прибольшомчисле испытанийотносительная частота устойчиво колеблется вокруг теоретической вероятности.

Это почерпнутое из практики положение носит название эмпирического закона больших чисел. Оно является в некотором смысле таким же законом природы, как, например, закон всемирного тяготения, хотя, в отличие от последнего, не выражается в виде формулы, является «качественным».

В частности, события, имеющие малую теоретическую вероятность, и на самом деле происходят редко(каждый, кто пытался выиграть в лотерее автомобиль, может вспомнить, как часто это ему удавалось).