25. Условная вероятность

Определение.Пусть при проведениииспытаний число наступлений события(то есть событиявместе с событием) равно, причемнаступилораз.Условной относительной частотой события при условии наступления событияназывается отношение.

Обозначение условной относительной частоты: . Таким образом,.

Теорема.Для условной относительной частоты справедлива формула:

. (10)

Определение.Пусть. Условной вероятностью событияпри условии наступления событияназывается отношение:

. (11)

26. Теорема умножения

Теорема (умножения).Если (так что существует условная вероятность ), то для вероятности произведения событий справедлива формула:

. (12)

Доказательство.Достаточно в формуле (11) обе части равенства умножить на. ▄

27. Независимость событий

I. Независимость двух событий.

Определение.Событияиназываютсянезависимыми, если вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей:

. (14)

Таким образом, имеются две формы теоремы умножения:

1. Для произвольных событий:

.

2. Для независимыхсобытий:

.

Теорема (критерий независимости двух событий).Пусть . Для того, чтобы событияибыли независимы, необходимо и достаточно, чтобы условная вероятность событиясовпадала с его безусловной вероятностью:.

28.Теорема (независимость для противоположных событий).Если события инезависимы, то независимы также пары событий

и ,и,и.

Теорема (о независимости от и).Любое событиене зависит от достоверного события и от невозможного события.

Доказательство.1., так чтоинезависимы.

2. , так чтои независимы. ▄

II. Независимость событий в совокупности.

Для трех и более событий их взаимная независимость («независимость в совокупности») означает не только то, что любые два из них не влияют друг на друга (попарная независимость):

, (), (15)

но и что для любого подмножества из трех, четырех и т.д. событий этой совокупности вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

, (), (16)

, (), (17)

и т. д. вплоть до условия

. (18)

Недостаточность попарных соотношений (15) для справедливости совокупности равенств (16)–(18) показывает

Пример С.Н.Бернштейна. Испытание: наугад бросается игральная кость, имеющая форму правильного тетраэдра, четыре грани которого имеют, соответственно, белую, синюю, красную и тройную бело-сине-красную (полосатую) окраску.

Рассмотрим события: — на выпавшей грани присутствует белый цвет,— на выпавшей грани присутствует синий цвет,— на выпавшей грани присутствует красный цвет. По схеме равновозможных исходов легко убедиться, что. Далее, произведение любых двух из них означает выпадение полосатой грани, так что. Значит, условие (15) выполняется. В то же время, и условие (16) не выполняется.

30. Формула полной вероятности

Определение.Событияобразуютполную группу, если выполняются два условия: 1)в результате испытания одно из них обязательно наступает, то есть их сумма есть достоверное событие:; 2) события попарно несовместны, то естьпри.

Теорема.Пусть выполняются два условия:

1. События («гипотезы») образуют полную группу.

2. События имеют ненулевые вероятности:.

Тогда для всякого события справедлива формула:

,

или в краткой записи:

. (19)

31. Формулы Бейеса

Теорема.Пусть для событий («гипотез») и событиявыполняются три условия:

1. Гипотезы образуют полную группу.

2. Гипотезы имеют ненулевые вероятности:

.

3. .

Тогда при справедливы формулы:

или в краткой записи:

. (20)

32. Схема независимых испытаний Бернулли

Определение.Испытанияобразуют относительно исходапоследовательность независимых испытаний по схеме Бернулли, если выполняются два условия:

1. Исходы испытаний независимы в совокупности.

2. Вероятность исхода во всех испытаниях одинакова и равна.

Терминология: — успех,— вероятность успеха,— неудача,— вероятность неудачи.

Теорема (о вероятности числа успехов).Справедлива формула:

. (21)

(Здесь – число сочетаний изпо; см. п. 1.5).

33. Локальная теорема Лапласа

I. Дифференциальная функция Лапласа.

Определение. Дифференциальной функцией Лапласаназывается функция.

График дифференциальной функции Лапласа («колокол») приведен на рис. 10.

Рис. 10.

Свойства функции .

1.при всех.

2. —чётная функция, то есть. График функции симметричен относительно оси ординат.

3..

Стремление к нулю в последнем пределе достаточно быстрое. Так, с точностью до четырех знаков после запятой .

Для отыскания значений функции имеются таблицы и стандартные компьютерные программы.

II. Предельное равенство.

Введём для испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успехаобозначения:

, где – количество успехов (),.

Теорема. Пусть вероятность успеха в серии независимых испытаний по схеме Бернулли удовлетворяет условию. Тогда

. (24)

3.13. Интегральная теорема Лапласа

I. Интегральная функция Лапласа.

Определение. Интегральной функцией Лапласаназывается интеграл с переменным верхним пределом:

.

Для отыскания значений функции имеются таблицы и стандартные компьютерные программы.

График интегральной функции Лапласа приведен на рис. 11. Геометрически выражает площадь заштрихованной части криволинейной трапеции на рис. 12.

Рис. 11.

x

t

(x)

Рис. 12.

Свойства функции .

1.при всех .

2. – нечётная функция, то есть. График

функции симметричен относительно начала координат.

3. ; .

4. является производной для :.

5.Функция строго возрастает.

II. Предельное равенство.

Введём обозначение: — вероятность того, что в серии изиспытаний по схеме Бернулли число успеховлежит в пределах:.

Пусть, как и в п. 3.12: — количество испытаний по схеме Бернулли,— вероятность успеха,.

Теорема. Пусть для вероятности успеха в серии независимых испытаний по схеме Бернулли выполняется условие. Тогда для вероятности:

, (25)

или, учитывая определение функции:

. (26)