Лабораторная работа № 6 измерение моментов инерции. Теорема штейнера

Цель работы: научиться измерять моменты инерции твёрдых тел экспериментально.

Оборудование: установка ЛКМ-3 (поворотный стол, пружины (2 шт.), нити, набор твёрдых тел, измерительная система ИСМ-5).

Краткие теоретические сведения

Момент инерции тела в данной работе определяется из основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Динамическими характеристиками вращательного движения тела является момент инерции тела относительно оси, момент силы относительно оси, момент импульса тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела относительно оси

П усть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.6.1), которую будем называть осью (прямая OO может быть и вне тела). Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) массами , находящиеся от оси на расстоянии соответственно.

Моментом инерции материальной точки относительно оси (OO) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

. (6.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (OO) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

. (6.2)

Как видно момент инерции тела есть величина аддитивная – момент инерции всего тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

.

Измеряется момент инерции в кгм². Так как

, (6.3)

где  – плотность вещества, – объем i - го участка, то

,

или, переходя к бесконечно малым элементам,

. (6.4)

Формулу (6.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает

,

где т - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычислении МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I_c относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

. (6.5)

Момент силы относительно оси

Пусть на тело действует сила F. Примем для простоты, что сила F лежит в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис.6.2,а), которую назовем осью (например, это ось вращения тела). На рис. 6.2,а А - точка приложения силы F, - точка пересечения оси с плоскостью, в которой лежит сила; r- радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно точки О'; O'B = b - плечо силы. Плечом силы относительно оси называется наименьшее расстояние от оси до прямой, на которой лежит вектор силы F (длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой).

Моментом силы относительно оси называется векторная величина, определяемая равенством

. (6.6)

Модуль этого вектора . Иногда, поэтому говорят, что момент силы относительно оси – это произведение силы на ее плечо.

Если сила F направлена произвольно, то ее можно разложить на две составляющие; и (рис.6.2,б), т.е. + , где - составляющая, направленная параллельно оси ОО, а лежит в плоскости, перпендикулярной оси. В этом случае под моментом силы F относительно оси OO понимают вектор

. (6.7)

В соответствии с выражениями (6.6) и (6.7) вектор М направлен вдоль оси (см. рис.6.2, а,б).