Момент импульса тела относительно оси вращения

П усть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью . Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами , которые находятся от оси соответственно на расстояниях и вращаются по окружностям, имея линейные скорости Известно, что величина равная - есть импульс i-участка. Моментом импульса i-участка (материальной точки) относительно оси вращения называется вектор (точнее псевдовектор)

, (6.8)

где r_i – радиус-вектор, определяющий положение i - участка относительно оси.

Моментом импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор

(6.9)

модуль которого .

В соответствии с выражениями (6.8) и (6.9) векторы и направлены по оси вращения (рис.6.3). Легко показать, что момент импульса тела L относительно оси вращения и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношением

. (6.10)

Основной закон динамики для вращательного движения

В случае, если момент инерции тела в процессе вращения остается постоянным, «Основной закон...» читается так: момент силы (или результирующий момент сил, если их несколько), действующий на тело относительно оси вращения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение, с которым вращается тело:

. (6.11)

Порядок выполнения работы эксперименты с поворотным столом

Для получения колебательной системы через большой (R = 25 мм) шкив стола (шкив находится под плоскостью стола) перекидывается короткая нить (сложенная вдвое), концы которой посредством двух пружин прикрепляются к штырям на оси стойки справа от поворотного стола (штыри находятся на высоте ~ 11 см от основания стойки). Указатель измерения угла поворота («треугольник») совмещается с отметкой 0 на шкале шкива.

Установить на измерительной системе ИСМ-5 тумблеры: «0,1мс/мс/0,01мс» в положение «мс» (измерение времени с точностью 1 мс), «T» в положение «:2», «однокр/цикл» в положение «однокр» (таймер будет измерять период крутильных колебаний стола). Обнуление счетчика и подготовка его к измерению времени производится кнопкой «готов».

1. Момент инерции ненагруженного стола

Определите момент инерции ненагруженного стола методом «эталонного» тела. Используйте малые цилиндры. Радиус цилиндров R₀ = 24.0 мм масса m=m₁+m₂=1011 г.

Определите сначала период колебаний стола, не нагружая его (угол отклонения выбираем в пределах 20-30 градусов):

T₀ = мс.

Установите два цилиндра симметрично на расстоянии r = 100 мм от оси стола. Период колебаний стола с грузами:

Т = мс.

П р и м е ч а н и е. При проведении расчетов массы цилиндров и всех ниже предложенных тел удобно брать в граммах, но все остальные величины следует переводить в единицы системы СИ, т.е. миллисекунды в секунды, миллиметры в метры и т.д. Тогда получаемые значения моментов инерции будут получаться в г·м², что намного удобнее, ввиду того, что моменты инерции всех тел в настоящей работе достаточно малы.

Момент инерции цилиндров («эталон»)

I₁ = (m₁+m₂)·(r ² + R₀²/2) = г м².

Из соотношений:

I = Т ² k_парR ²/(4²);

I₀ = Т₀² k_парR ²/(4²);

I = I₀ + I₁;

Находим момент инерции I стола вместе с грузами

I = I₁ T²/(T² - ²) = г м²,

Момент инерции ненагруженного стола,

I₀ = I₁ T₀²/(T² - ²) = г м².

Значение жесткости пружин (при вычислении перевести I₁ в кг м²)

k_пар = 4²I₁/(R²(T² – T₀²)) = Н/м.