12.2.3. Стандартные числовые ряды с положительными членами

1. – расходящийся гармонический ряд;

2. –расходящийся ряд типа гармонического,

где р – действительные числа;

3. – ряд Дирихле: при сходится, при расходится.

12.2.4. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Пусть среди членов ряда есть как положительные, так и отрицательные и – ряд модулей (ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда). Тогда, если ряд модулей сходится, то сходится и данный знакопеременный ряд.

12.2.5. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов (теорема лейбница)

Если последовательность членов знакочередующегося ряда убывающая: и если то знакочередующийся ряд – сходится.

Следствие. Сумма сходящегося знакочередующегося ряда по абсолютной величине меньше первого члена. Остаток ряда по абсолютной величине меньше первого отбрасываемого члена.

Оценка остатка знакочередующегося ряда. Если в сходящемся знакочередующемся ряде ограничиться n первыми членами, то остаток будет по модулю меньше первого отбрасываемого члена. Следовательно, абсолютная величина погрешности, когда сумму сходящегося знакочередующегося ряда заменяют n-ой частичной суммой, не превосходит модуля того члена ряда, начиная с которого отбрасывают:

12.2.6. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

1. Если ряд модулей знакопеременного ряда сходится, то данный знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

2. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

12.3. Числовые ряды с комплексными членами

Пусть и – числовые последовательности, – мнимая единица, тогда – последовательность комплексных чисел, если .

Рассмотрим числовой ряд с комплексными членами

.

● Ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды из действительных частей и мнимых частей членов данного ряда. При этом, если А и В – соответственно сумма двух последних рядов, то сумма исходного ряда

Следствие. Если хотя бы один из рядов , – расходящийся числовой ряд, то расходится исходный ряд с комплексными членами .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Запишем данный ряд следующим образом:

Далее исследуем ряды вещественных и мнимых частей соответственно. Ряд, составленный из вещественных частей сходится, что следует из сравнения его членов с членами сходящегося ряда Дирихле Однако числовой ряд, составленный из мнимых частей членов данного ряда, расходится вместе с несобственным интегралом (интегральный признак Коши). Следовательно, данный ряд – расходящий.

● Ряд с комплексными членами сходится, если сходится ряд модулей его членов Как и в случае с действительными членами исходный ряд называется абсолютно сходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Составляем ряд модулей членов данного ряда:

К ряду модулей применим радикальный признак Коши:

Так как этот предел меньше единицы, то ряд модулей сходится. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.