12.4. Функциональные и степенные ряды

12.4.1. Область сходимости. Интервал сходимости

● Область сходимости функционального ряда – это множество тех значений х, при которых функциональный ряд обращается в числовой сходящийся ряд.

● Область сходимости степенного ряда (согласно теореме Абеля) вырождается в интервал, который называется интервалом сходимости.

● Чтобы найти область (интервал), сходимости, нужно решить относительно х одно из неравенств:

или

Замечание. Необходимо дополнительно исследовать на сходимость на концах области (интервала) сходимости числовые ряды, которые получаются из функционального (степенного) ряда.

12.4.2. Равномерная и неравномерная сходимость

По определению предела числовой последовательности ряд

сходится в данной области, если, как бы мало ни было число , можно указать такое целое число N, что при всех выполняется неравенство . В этом случае для функциональных рядов могут представляться два случая:

1. Можно найти число N, общее для всех значений х, входящих в область сходимости ряда, в этом случае записанный выше ряд называется равномерно сходящимся в данной области.

2. Такого общего числа N для всех х, лежащих в области сходимости, нет: каково бы ни было n, найдется в области сходимости такое число х, что . В этом случае в данной области ряд сходится неравномерно.

Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости ряда

Ряд равномерно сходится в данной области, если существует такой сходящийся числовой ряд положительных членов, что для всех значений х, лежащих в этой области, имеет место неравенство: . В этом случае числовой ряд называется можорантой функционального ряда .

Пример. Ряд – равномерно сходящийся в любой области, т. к. числовой ряд – абсолютно сходящийся и .

(Числовой ряд – сходящийся ряд Дирихле).

12.5. Ряды Тейлора

12.5.1. Необходимое условие разложения функции в ряд тейлора

(по степеням где – фиксированная точка). Если непрерывная функция бесконечное число раз дифференцируема в окрестности точки , то она может быть представлена в виде ряда Тейлора:

12.5.2. Достаточное условие разложения функции в ряд тейлора

называется достаточным условием сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции и заключается в следующем. Чтобы ряд Тейлора сходился к порождающей его функции т. е. сумма ряда Тейлора совпадала с данной функцией: достаточно, чтобы где остаточный член и (форма Лагранжа).