5.2. Некоторые классы функций

● Четные и нечетные функции

Рис. 25, а	Рис. 25, б
Функция называется четной, если для всех х из области определения. График чет-ной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 25, а)	Функция называется нечет-ной, если для всех х из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 25, б)

Прочие функции не являются ни четными, ни нечетными, т. е. . Их графики не симметричны ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

● Периодические функции

Функция называется периодической, если существует такое постоянное число , что в области определения функции. При этом наименьшее из таких чисел l называется периодом:

Так период функций и равен (рис. 26, а, 26, б). Период для функции и (рис. 26, в, 26, г).

● Монотонные функции

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале (а, b), принадлежащем области существования этой функции, если боль-шему значению аргумента х из этого интервале соответствует большее (мень-шее) значение функции. Это значит, что для возрастающей функции при значениях имеем неравенство (рис. 27, а), а в случае убывания – неравенству соответствует неравенство (27, б).

Рис. 27, а

Рис. 27, б

Е сли функция опре-деленная на интервале, является только возрастающей или только убывающей на этом интервале, то она называется монотонной на интервале.

Ф

Рис. 27, в

ункция называется кусочно-монотонной на интервале

(а, b), если на этом интервале существуют такие точки и , что, например, на интервалах и функция возрастающая, а на интервале функция убывающая (рис. 27, в).

● Ограниченные функции

Ф ункция , заданная на интервале (а, b), называется ограниченной на этом интервале, если существует такое число , что для всех х из данного интервала верно неравенство . Значит, график ограниченной функции лежит в полосе (рис. 28).

В

–М

области определения неограниченной функции существуют такие х, что для любого числа М будет верно неравенство: . На-пример, тригонометрические функции и ограничены на всей области их существова-ния и число М для них равно 1: и .

Н

Рис. 28

еограниченными являются функции и .

5.3. Основные элементарные функции

1. Степенная функция: , где α – действительное число.

2. Показательная функция: , где .

Показательная функция называется экспонентной

3. Логарифмическая функция: , . Функцию записывают в виде и называют натуральным логарифмом числа х.

4. Тригонометрические функции:

, ,

5. Обратные тригонометрические функции:

, ,

5.4. Графики некоторых функций

5.5. Последовательности и их пределы

● Числовой последовательностью называется конечное или бесконечное множество чисел , расположенных в определенном порядке одно за другим. Числа, входящие в последовательность, называются ее членами. Среди членов последовательности могут быть и одинаковые числа. Последовательность считается заданной, если известен закон (правило), по которому можно определить любой член последовательности. Этот закон является функцией натурального аргумента и записывается так: . Величина называется общим (n-ым) членом последовательности.

● Если для данной последовательности существует число А, к которому при увеличении n числа подходят как угодно близко, то такое число А называется пределом данной последовательности и обозначается .

Т очная формулировка.

Число А называется пределом числовой последовательности , если,

задавая произвольное, как угодно малое положительное число , можно указать в данной последовательности такое число , что все без исключения числа , где , будут по абсолютной величине отличаться от А меньше, чем на : для любого .

Случай, когда предел не существует вследствие того, что при увеличении n неограниченно возрастает по абсолютной величине, обозначается следующим образом: (предел равен бесконечности).