Основные теоремы о пределах последовательностей

1. Последовательность может иметь только один предел.

2. Последовательность, имеющая конечный предел, ограниченная; последовательность, имеющая бесконечный предел, неограниченная.

3. Необходимый и достаточный признак существования предела последовательности. Для того, чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы при задании любого как угодно малого положительного числа можно было указать такой ее член , что любые два члена, стоящие после , будут отличаться друг от друга на число, меньшее , т. е.

при и .

5.6. Понятие предела функции

● Функция при имеет предел А: , если при приближении к соответствующие значения функции подходят как угодно близко к числу А. При значениях функция может не принимать значение А и вообще может быть не определена.

Точная формулировка. , если задав произвольное как угодно малое , можно указать такое число , что при любых значени- ях х в промежутке (кроме, может быть, значения ) соответствующие значения будут находиться в промежутке , т. е. как только , так .

Признак Коши. Для того чтобы функция имела предел при , необходимо и достаточно, чтобы для любых двух значений аргумента и из области задания функции и достаточно близких к , соответствующие значения функции и были сколь угодно близки между собой. Из формулировки теоремы следует, что как только и так выполняется условие .

Основные теоремы о пределах

1) Предел постоянной величины С равен этой величине: .

2) Если и – числа, то

3)

4) если

5)

6) Монотонная ограниченная функция имеет конечный предел при

любом значении х.

7) Если и и ,

то .

Следствие. Чтобы вычислить предел, нужно заменить переменную величину ее предельным значением.

Примеры.

•

•

5.7. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

● Переменная величина α называется бесконечно малой при если Обозначение бесконечно малой:

● Переменная величина β называется бесконечно большой при если Обозначение бесконечно большой:

● Величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой. Следовательно, если то

Если и – бесконечно малые величины при и то они называются эквивалентными и обозначаются так:

при

Эквивалентные бесконечно малые при

● Если и – бесконечно большие величины при или и то они называются эквивалентными и обозначаются так: при .

Замечания.

1) Многочлен n-ой степени при является бесконечно большой величиной эквивалентной старшей степени с соответствующим коэффициентом:

при .

2) Если – const, то

3) Если – const, то

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел: