matan

где i , j , k есть единичные векторы осей 0х, 0у, 0z.

Заметим, что с учетом (3.31) (3.30) можно переписать в виде

где ϕ есть угол между векторами l0 и gradu . Так как | l0 |=1, то

Далее рассмотрим дифференцируемую функцию z=f(x,y) двух независимых переменных, которая описывает некоторую поверхность в декартовой прямолинейной системе координат.

Определение 3.14. Плоскость π, проходящая через точку М0(x0,y0,z0) поверхности z=f(x,y), называется касательной плоскостью в этой точке, если угол ψ между этой плоскостью и секущей М0М, где M(x,y,z) любая точка на поверхности z=f(x,y), стремится к нулю, когда

M→M0 (рис. 3.2).

z

h M

ψ

0

y

x

Рис. 3.2.

Можно показать, что из условия дифференцируемости функции z=f(x,y) в точке М0 вытекает существование касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке М0, уравнение которой имеет вид

101

где Z, X, Y являются текущими координатами касательной плоскости.

Определение 3.15. Нормалью n к поверхности z=f(x,y) в точке М0(x0,y0,z0) называется нормальный (перпендикулярный) вектор

Из курса аналитической геометрии следует, что уравнение нормали к поверхности z=f(x,y) в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:

где Z, X, Y являются текущими координатами нормали.

3.7. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

Пусть функция двух независимых переменных U=U(x,y) дважды дифференцируема точке M(x,y). Дифференциал первого порядка этой функции, как нам известно, выражается формулой

Очевидно, что dU также является функцией переменных х, у и dх, dу. Вычислить дифференциал от dU, то есть дифференциал второго порядка d(dU)=d2U.

Теперь согласно (3.11) и с учетом того, что d2x=0, d2y=0 (x и у независимые переменные и dx=const, dy=const), а смешанные

102

производные второго порядка равны (функция U(x,y) дважды дифференцируема) последнее выражение можно преобразовать к виду

Заметим, что (3.36) можно записать в символическом виде:

Если функция U=U(x1, x2, ..., xm) m независимых переменных n раз дифференцируема в точке M(x1, x2, ..., xm), то дифференциал этой функции порядка n вычисляется по формуле:

Символические записи вычисления дифференциалов второго порядка (3.37) и порядка n (3.38) означают, что мы раскрываем скобки по биному Ньютона, взяв dx1, dx2, ..., dxm в соответствующих степенях, а частные производные от U(x,y) соответствующих порядков. Например,

если U=U(x,y) то

Теперь рассмотрим функцию m переменных U=U(x1, x2, ..., xm), где в свою очередь переменные x1, x2, ..., xm зависят еще от k переменных

x1=x1(t1,t2,...,tk), x2=x2(t1,t2,...,tk), ..., xm=xm(t1,t2,...,tk).

Так как в этом случае dx1, dx2, ..., dxm не являются непостоянными числами, то дифференциалы высших порядков от функции U(x1,x2,...,xm) будут отличаться от дифференциалов высших порядков функции U(x1,x2,...,xm) в случае независимых переменных x1,x2,...,xm.

Например, если U=U(x,y) и x=x(t1,t2) и y=y(t1,t2), то

103

3.8. Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Теорема 3.6. Если функция U=U(M)=U(x1, x2, ..., xm) m

переменных n+1 раз дифференцируема в некоторой ε окрестности точки

M0(x10, x20, ..., xm0), то полное приращение ∆U=U(M)-U(M0) этой функции для произвольной точки М из указанной ε окрестности точки

где N Есть некоторая зависящая от M(x1, x2, ...,xm) точка указанной ε окрестности точки М0, а дифференциалы dxi (i=1,2,...,m), входящие в

(3.40), равны xi-xi0.

Разложение (3.40) называется формулой Тейлора для функции U=U(M) с центром в точке М0.

Пример. Функцию z=xy разложить по формуле Тейлора вокруг точки (1;1), ограничиваясь членами да второго порядка включительно.

Решение. Согласно (3.40) имеем

Учитывая, что

(3.41) можно преобразовать к виду z=1+(x-1)+(x-1)(y-1).

104

В пункте 3.9 мы занимались отысканием локальных экстремумов функции нескольких переменных, аргументы которой не связаны никакими дополнительными условиями. Но часто встречаются задачи, где нужно искать экстремумы функции, аргументы которой удовлетворяют условиям связи. Экстремумы такого рода называются условными экстремумами.

Пусть имеем функцию двух переменных U=U(x,y). Нужно найти экстремумы этой функции при условии связи

ϕ(x,y)=0, (3.46)

то есть нужно исследовать функцию U=U(x,y) на условный экстремум. Можно показать, что отыскание условного экстремума можно

свести к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа

ψ(x,y)=U(x,y)+λϕ(x,y), (3.47)

где λ - неопределенный множитель Лагранжа.

Пользуясь необходимым условием экстремума (3.43) и условием связи (3.46), имеем

Решая систему уравнений (3.48) относительно трех переменных x, y, z, найдем λ и точки возможного экстремума. Далее с помощью условий (3.45) исследуем каждую стационарную точку на экстремум.

Пример. Найти экстремум функции U=x2+y2 (параболоид вращения) при условии, что х и у удовлетворяют уравнению связи х+у- 1=0 (прямая).

Другими словами, мы должны искать экстремум функции не на всей плоскости х0у, а на прямой х+у=1 (рис. 3.3).

107

z

x

Рис. 3.3.

Решение. Функция Лагранжа имеет вид

ψ(x,y)=x2+y2+λ(x+y+1).

Согласно (3.48)

x+y=1.

Решая систему (3.49), получим

хэ= 12 , уэ= 12 , λ=-1.

Далее остается с помощью достаточных условий (3.45) исследовать функцию ψ(x,y)=x2+y2-x-y+1 на локальный экстремум в точке ( 12 , 12 ).

Имеем

108

что означает существование экстремума функции ψ(х,у) в точке ( 12 , 12 ).

в точке ( 12 , 12 ) имеет минимум, а функция U=x2+y2 в точке ( 12 , 12 ) имеет условный минимум, причем Umin= 14 + 14 = 12 .

В заключение этого пункта отметим, что наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области ищем так: находим максимумы и минимумы этой функции в данной области, определяем значения этой функции на границах области и в конечном счете среди максимумов, минимумов и значений на границах выбираем наибольшее и наименьшее значения.

109

Примеры

Пример 1. Пусть z=exy и x=U+V, y=U-V.

Найти: d2z.

Решение: Согласно (3.39.) имеем

Так как x = U+V, y = U-V, то

dx = ∂∂Ux dU + ∂∂Vx dV = dU + dV ,

d 2 x = d(dx) = d(dU + dV ) = d 2U + d 2V = 0, d 2 y = d(dy) = d(dU − dV ) = d 2U − d 2V = 0.

Подставляя (3.52) в (3.51), после несложных преобразований получим d 2 z = 2eU 2 −V 2 [(2U 2 +1)dU 2 − 4UVdUdV +(2V 2 −1)dV 2 ].

Ответ: d 2 z = 2eU 2 −V 2 [(2U 2 +1)dU 2 − 4UVdUdV +(2V 2 −1)dV 2 ]

Пример 2. Пусть дана поверхность (параболоид вращения) уравнением z=x2+y2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке М(1,2,5).

110