matan

(y1 y2 )(n ) = (f1 (x) f2 (x))(n ) = f1(n ) (x) f2 (x)+ nf1n −1 (x) f2| (x)+

Ниже приведены формулы для вычисления производной порядка n некоторых функций (вывод этих формул без труда может выполнить читатель).

y(n)=cos(x+n π2 ).

В заключение можно перейти к рассмотрению вопросу о дифференциалах высших порядков функции y=f(x).

Пусть, функция y=f(x) дифференцируема в некоторой ∆ окрестности точки х0, т.е. f(x) C′{(x0-∆, x0+∆)}. Тогда дифференциал функции y=f(x) первого порядка имеет вид dy=f′(x)dx и является функцией двух переменных х и dx.

Пусть далее y1=f′(x) C′{(x0-∆, x0+∆)} и dx имеет одно и то же фиксированное значение для (x0-∆, x0+∆). Тогда существует

дифференциал функции dy=f′(x)dx в точке х0., которой обозначим символом d(dy) и который определяется формулой:

d (dy)= d[f ' (x)dx] x=x0 = [f ' (x)dx]' x=x0 dx = f '' (x0 )dxδx = f '' (x0 )dx2 .

61

Определение 2.11. Будем говорить, что функция y=f(x) в точке х0 имеет локальный экстремум, если она в точке х0 имеет либо локальный максимум, либо локальный минимум (рис. 2.3).

y=f(x)

min

Рис. 2.3.

Теорема 2.8. (лемма Ферма) (достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке)

Если y=f(x) C′(x0) и f′(x0)>0(f′(x0)<0) то y=f(x) возрастает

(убывает) в точке х0.

Доказательство. Пусть f′(x0)<0 (случай f′(x0)>0 доказывается аналогично):

Согласно определению (2.1)

Последнее, по определению предела функции по Коши, означает, что

Положим ε=-f′(x0)>0. Тогда имеем

63

Таким образом получаем, что x Uδ(x0)

т.е. функция f(x) в точке х0 убывает.

Заметим, что положительность (отрицательность) производной f′(x0) не является необходимым условием возрастания (убывания) дифференцируемой в точке х0 функции у=f(x). Например, функция y=x3 возрастает в точке х0=, но y′(0)=0.

Теорема 2.9. (теорема Ферма) (необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции).

Если функция y=f(x) C′(x0) и имеет в этой точке локальный экстремум, то f′(x0)=0 (рис. 2.3.)

Дано: f(x) C′(x0).

Доказать: f′(x0)=0.

По условию теоремы существует f′(x0). Так как функция y=f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то она не может в этой точке не возрастать не убывать. Следовательно, по теореме 2.8 f′(x0) не может быть ни положительной, ни отрицательной, т.е. f′(x0)=0.

Теорема 2.10. (теорема Ролля или теорема о нуле производной). Если функция y=f(x) определена и непрерывна на сегменте [a;b],

дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и f(a)=f(b), то внутри сегмента найдется точка ξ, что f′(ξ)=0.

Дано: f(x) C([a,b]), f(x) C′((a,b)),

f(a)=f(b). (2.62) Доказать: ξ (a,b), а′(ξ)=0.

Так как по условию теоремы f(x) С[a,b], то по теореме Вейерштрассе (теорема 1.1.33) f(x) на [a,b] достигает своих точных верхней и нижней граней M и m. Может быть m=M и M>m. Рассмотрим эти два случая по отдельности.

1. m=M.

Тогда очевидно, что f(x)=m=M=const. Отсюда следует, что

64

f′(x)≡0 для х [a,b].

2. M>m

В этом случае согласно (2.62) хотя бы одно из двух значений m и M достигается во внутренней точке ξ на сегменте [a,b]. Но тогда в точке ξ функция f(x) имеет локальный экстремум и по теореме Ферма (теорема

2.9) f′(ξ)=0 (рис. 2.4).

2.10. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа). Обобщенная формула конечных приращений (теорема Коши)

Вэтом пункте теорему Лагранжа и теорему Коши сформулируем

всимволической форме.

Теорема 2.11. (теорема Лагранжа).

[(f(x) C[a,b]) ( x (a,b) f′(x)] [ ξ (a,b) : f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)] (2.63)

Доказательство. Рассматривая на (а,b) вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-f(a)- f(b)− f(a)(x −a) b −a

замечаем, что для нее выполнены все условия теоремы Ролля, т.е.: 1. F(x) C)[a,b])

3. F(a)=F(b)=0.

Тогда ξ (a,b) такая, что F′(ξ)=0, т.е.

F′(ξ)=f′(ξ)- f(b)− f(a)=0.

b −a

65

Из последнего следует, что

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a). (2.64)

Формула (2.64) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Если ее записать для сегмента [x0,x0+∆x], где x0 [a,b], x0+∆x [a,b], то получим формулу конечных приращений в другом виде

f(x0+∆x)-f(x0)=f′(ξ)∆x. (2.65)

где ξ (x0,x0+∆x).

Введя величину 0<θ<1 и имея ввиду, что ξ=х0+θ∆х, (2.65) можно переписать в виде

f(x0+∆x)-f(x0)=f′(x0+θ∆x)∆x (2.66)

Отметим также, что на рисунке 2.5 приведена геометрическая иллюстрация теоремы Лагранжа.

y

Рис. 2.5.

Теорема 2.12. (теорема Коши).

[(f(x) C([a,b])) (g(x) C([a,b])) ( x (a,b)( f′(x)) ( g′(x))

66

Заметим, что если производные функций f(x) и g(x) до порядка n-1 обладают теми же свойствами, что и функции f(x) и g(x), то правила Лопиталя можно применить n раз, т.е.

встречаются и неопределенности вида [0 ∞], [∞-∞], [1∞], [∞0], [00].Все эти неопределенности так или иначе сводятся к изученным выше двум неопределенностям, к которым можно применить правила Лопиталя.

68

и дальше можно применить первое правило Лопиталя.

т.е. имеем неопределенность вида [∞0]. Чтобы раскрыть ее, сначала рассмотрим предел натурального логарифма от f(x)g(x), т.е.

Отсюда видно, что мы приходим к неопределенности вида [0 ∞], которую умеем раскрыть с помощью правил Лопиталя. Аналогично поступаем и в случаях неопределенностей вида [1∞] и [00].

Примеры.

69

Тогда

−1

Отсюда lim y = e 3 .

x→0

2.12. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-Роша, Лагранжа, Коши и Пеано

В данном пункте мы будем затрагивать вопросы, связанные с представлением функции y=f(x) в виде сумм степенных функций (аппроксимация функции y=f(x) степенными функциями). На эти важные для практики вопросы дает ответ теорема Тейлора, которую приведем без доказательства.

Теорема 2.15. Если функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка n+1 (n любой фиксированной номер), х есть любое значение аргумента из указанной окрестности, р есть произвольное положительное число, то между точками а и х найдется точка ξ такая, что справедлива формула

Формула (2.71) называется формулой Тейлора с центром в точке а, а (2.72) называется остаточным членом в форме Шлемильха-Роша.

Ниже приведем и другие формы остаточного члена Rn+1(x) в формуле Тейлора.

1. Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:

R n +1 (x)= (x(−+a))n +1 f (n +1)[a + θ(x −a)], (2.73) n 1 !

70