Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

4∫

tdt

= −2∫

+ 2∫

= 2(t +1)

−1

+ 2arctgt +C

(t +1)

+1)

(t +1)

Возвращаясь к старой переменной, получим

∫

tg x

sin x(1 + cos x) dx =

+ x +C

sin x +1

Ответ: ∫ tg x

sin x(1 + cos x) dx =

+ x +C .

sin x +

Пример 3. Вычислить:

(4.76)

∫x3 1 + x5

Решение: Если перепишем (4.76) в виде

∫x−1 (1 + x5 )−

dx ,

(4.77)

то заметим, что под интегралом в (4.77) стоит дифференциальный бином

(см. пункт 4.7), причем m=-1, n=5, p = −

m +1

= 0 - целое число. Для

вычисления интеграла (4.77) делаем подстановку (4.52).

Итак имеем

1+x5 = t3 ,

(1+x5) −

= t-1, x = (t3 -1)

dx =

(t3

- 1) −

t2 dt .

(4.78)

Тогда (4.77) с учетом (4.78) принимает вид

∫(t

−

−1

−

∫

tdt

(4.79)

−1)

5 t

−1)

5 t

dt =

(t −1)(t

+t +1)

Функция

под

интегралом

в (4.79)

представляет

(t −1)(t 2

+t +1)

собой правильную рациональную дробь, которую можем представить в виде суммы простейших правильных рациональных дробей методом Лагранжа в виде

141

t	=	A	+	Bt + D	.
(t −1)(t 2 +t +1)		t −1
				t 2 +t +1

Для определения пока неизвестных коэффициентов A, B, D получим систему уравнений

t 2		A + B = 0,
t			=1,
t		A − B + D	=1,
t	0
t		A − D = 0.

Отсюда А =								1			, В = −			1		, D =			1		и интеграл (4.79) принимает вид
Отсюда А =							3				, В = −		3			, D =			3		и интеграл (4.79) принимает вид
							3						3						3
		1	∫	dt	−	1	∫			(t		−1)dt	=			1	ln	t −1		−		1	∫			tdt				+	1	∫				dt					=
		1		dt		1				(t		−1)dt				1						1				tdt					1					dt
	5			t −1		5			t		2	+t +1			5							5					2				5							2
	5			t −1		5			t			+t +1			5							5				1			3		5					1				3
																								t +				+					t	+					+
																								t +				+	4				t	+		2			+	4
																										2			4							2				4
=	1 ln t −1 −				1		ln t 2					+t +1 +					3 arctg				2t +1				+C =			1	ln	(t −1)2				1	+			3 arctg				2t +1	+C ,
	5				10										5								3					10		t 2 +t +				1			5					3

где t = 3 1+ x5 .

Ответ: ∫

5 =

(3 1+x5 −1)2

arctg

23 1+x5 +1

+C.

)

1+x

x 1+x

( 1+x

Пример 4. Вычислить:

(

)

x −1 dx

, x≠0.

(4.80)

∫x2

2x2

−2x +1

Решение: Так как квадратный трехчлен 2x2 – 2x + 1 не имеет действительных корней (D = -4 < 0) и коэффициент при x2 положительное число (2 > 0), то для вычисления (4.80) можно пользоваться первой подстановкой Эйлера (4.54).

Имеем

		2x2 − 2x +1 = t − 2x ,		x =		t 2 −1		,
		2x2 − 2x +1 = t − 2x ,		x =	2( 2t −		1)	,
					2( 2t −		1)
dx =	2t 2	−2t + 2 dt ,	2x2 − 2x +1 =	2t 2		− 2t +	2 .		(4.81)
	2(	2t −1)2		2(		2t −1)
			142

Тогда с учетом (4.81) интеграл (4.80) принимает вид

∫

(x −1)dx

= 2∫

t 2

− 2 2t +1

dt .

(4.82)

− 2x +1

(t −1)

(t +1)

Для вычисления (4.82) разложим подынтегральную правильную рациональную дробь на простые правильные рациональные дроби с неопределенными коэффициентами в виде

t 2 − 2 2t +1

(4.83)

(t −1)2 (t +1)2

t −

(t −1)2

t +

(t +1)2

Приведя правую часть (4.83) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t справа и слева в знаменателях (4.83), получим следующую систему линейных уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D.

A + E = 0,

t 2

− E + D =1,

A + B

(4.84)

− A + 2B − E − 2D

= −2 2,

+ D =1.

− A + B + E

Решая систему (4.84), получим А = E = 0, В =

1 −

D =

1 + 2

Тогда вместо интеграла (4.82) будем иметь

2∫

t 2

− 2

2t +1

dt = (1

− 2)∫

+ (1 + 2)∫

+C =

+1)

−1)

+1)

= −1 −

−

1 + 2

+C = 2

2 −t

+C ,

(4.85)

t −1

t +1

t 2 −1

где

- производная постоянная . Взяв

2 +С, где

С – производная

постоянная , и переходя в (4.85) к переменной x, окончательно получим

2	2 −t		+ 2	+C =	2x2 − 2x +1	+C.
	t 2	−1			x

143

Ответ: ∫			(x −1)dx			=	2x2 − 2x +1	+C.
	x	2	2x	2	−2x −1		x

Тест

Вычислить неопределенные интегралы.

1. ∫

2x −

arcsin x

, -1<x<1.

1 − x

а)

−ln

1 − x2

−

2 (arcsin x)3

+c ;

б) ln|1-x2|+c;

в)

(arcsin x)3

+c ;

г) -

x+c/

2. ∫

xdx

, x>0.

+43

а)

966

x −192arctg

+ x ;

б)

+c ;

−8 x +966

x −192arctg

в) 6 x5 −8 x +c ;

г)

arctg

+c .

3. ∫(x2ex + ln 2 x)dx , x>0.

а) ex(x2-2x+2)+c; б) lnx(lnx-2)+c; в) xlnx+c;

г) ex(x2-2x+2)+xlnx(lnx-2)+2x+c.

4. ∫x3ch3xdx .

а)	x	3	+	2x		+c ;
					sh3x
	3			9

144

б)

sh3x −

+c;

в)

sh3x −

sh3x

+c ;

г)

sh3x +c .

∫

−4 sin x +

3cos x

а)

+c ;

2 − tg

б)

+c;

в) tg

+c;

г)

−

+c .

∫

(sin 2 x +2cos2 x)

а)

−

tgx

;

(

)

4 tg

2x +2

б)

arctg tgx +c ;

в)

;

tg2x +2

г)

−

(

tgx

)

arctg tgx +c .

4 tg

2x +2

7. ∫

, x≠0, x≠-1.

1 − x

(

)

а) 15x2 +5x −1 +c ; 4x2 1 + x

б)	1	+	1 ln	1 + x −1	+c ;
	1 + x			1 + x +1
			8

145

в)	15x2 +5x −2	+	15 ln	1 + x −1	+c ;
	4x2 1 + x			1 + x +1
			8

г) x12 + ln 11 ++ xx −+11 +c ;

8. ∫ x3 + x4 dx , x>0.

а)

(x + x

)

−

1 +2x

x + x

+ 1 + x

+c ;

8 ln x

б)

(x + x2 )3 −

x + x2

+c ;

в)

ln x + 1 + x +c ;

1 +2x

2 + 1 ln x + 1 + x +c .

г)

−

x + x

9. ∫(xx4 9−dx1)2 , x≠±1.

а)

2x6 −3x2

−1

+c ;

x4 −1

б)

2x6 −3x2

−1

+c ;

x4 −1

в) 18 ln|x2-1|+c;

г) 3ln|x2+1|+c.

10. ∫				xdx			, x<1 U x>3.
10. ∫	(		2	)		2	, x<1 U x>3.
		x		−3x +2	x		−4x +3

а) ∫ d F ( x ) = F ( x ) + C ;

б) arcsin x 1−2 +c ;

в)	x2 −4x +3		+c ;
в)	x −1		+c ;
	x −1

г)	x2 −4x	+3	−arcsin	1	+c .
г)	x −1		−arcsin	x −2	+c .
	x −1			x −2

146

Раздел V. Определенный интеграл и его применение

5.1. Определение определенного интеграла

Рассмотрим геометрическую задачу вычисления площади криволинейной трапеции и покажем, как при ее решении приходим к понятию определенного интеграла.

Пусть на плоскости X0Y имеем криволинейную трапецию ABCD, ограниченную кривой y=f(x), определенной и непрерывной при x [a;b], и двумя прямыми x=a и x=b (см.рис.5.1).

y=f(x)

B
B
A		D
0 x =a	x1 x2 xi xi+1	x =b	x
0		n

Рис. 5.1.

Разделим основание AB этой трапеции на n частей произвольным образом(разбиение Т) и проведем ординаты соответствующих точек деления

x0=a<x1<x2<...<xi<xi+1<...<xn=b.

Точки x0, x1, x2,..., xi, xi+1,...,xn называются точками разбиения T. Возьмем i-тую элементарную трапецию и заменим ее

приближенно прямоугольником с основанием ∆xi=xi+1-xi и высотой f(ξi), где ξi абсцисса произвольной точки из сегмента [xi;xi+1]. Тогда площадь i-той трапеции приближенно равна площади i- того прямоугольника, т.е. Si≈f(ξi) ∆xi. Если суммировать площади всех элементарных прямоугольников (i=1,2,...,n), то получим приближенную площадь криволинейной трапеции ABCD в виде

S ABCD	n
S ABCD	∑ f (ξi ) ∆xi	(5.1)

i=1

147

Очевидно, что точное значение криволинейной площади SABCD получим, если в (5.1) перейдем к пределу, когда max ∆xi→0 (n→∞), т.е.

S ABCD = lim ∑ f (ξ)∆x . (5.2)

max ∆xi →0i i=1

Последнее, как покажем ниже, по определению и есть

определенный интеграл от функции f(x) в пределах от a до b ( ∫f(x)dx ).

Определение 5.1. Сумма вида	a
Определение 5.1. Сумма вида
n
I(xi,ξi)= ∑ f (ξi )∆xi =f(ξ1)∆x1+f(ξ2)∆x2+...+f(ξn)∆xn	(5.3)
i=1

называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению Т сегмента [a;b] и данному выбору промежуточных точек ξi на частичных сегментах [xi-1,xi].

Определение 5.2. Конечный предел интегральных сумм функции f(x) при стремлении к нулю max ∆xi называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается так

b	n
∫f(x)dx = maxlim∆xi →0	∑f(ξ)∆xi .	(5.4)
a	i=1

5.2. Верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу и их свойства

Пусть функция f(x) определена и ограничена на сегменте [a;b] и для этого сегмента имеем разбиение Т a=x0<x1<x2<...<xi-1<xi<...<xn.

Предположим, что Мi является точной верхней гранью, а mi - точной нижней гранью функции f(x) на i-ом элементарном сегменте [xi-1, xi] (см. рис. 5.2. для случая непрерывной функции f(x)).

148

M i	y=f(x)

m i

xi-1

Рис. 5.2.

Определение 5.2. Суммы вида

n
S=M1∆x1+M2∆x2+...+Mn∆xn= ∑M i ∆xi ,
i=1
n
s=m1∆x1+m2∆x2+...+mn∆xn= ∑mi ∆xi ,	(5.5.)

i=1

называются, соответственно верхней и нижней интегральными суммами Дарбу функции f(x) для данного разбиения Т сегмента [a,b].

Как видно из рисунка 5.2, верхняя сумма Дарбу S равна площади ступенчатой фигуры, которая содержит криволинейную трапецию, а нижняя сумма Дарбу s равна площади ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеции.

Ниже приведем основные свойства сумм Дарбу (5.5.) без доказательства.

1. Для любого фиксированного разбиения Т сегмента [a,b] и для любого ε>0 промежуточные точки ξi на сегменте [xi-1; xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi,ξi} будет удовлетворять неравенствам

0≤S-J{xi, ξi}<ε, (5.6)

или

0≤ J{xi, ξi}-s<ε,

(5.7)

149

2. Если разбиение Т′ сегмента [a,b] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения Т этого сегмента, то верхняя сумма Дарбу S′ разбиения Т′ не больше верхней суммы S разбиения Т, а нижняя сумма Дарбу s′ разбиения Т′ не меньше нижней суммы Дарбу s разбиения Т, т.е.

s≤s′, S≤S′. (5.8)

3. Если Т′ и Т′′ любые два разбиения сегмента [a,b], то нижняя сумма Дарбу одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму Дарбу другого, т.е.

s′≤S′′, s′′≤S′

(5.9)

4. Множество {S} верхних сумм Дарбу данной функции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [a,b] ограничено снизу, а множество {s} нижних сумм Дарбу ограничено сверху.

5.3. Интегрируемость функций. Свойства определенного интеграла

Определение 5.2. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b], если существует определенный интеграл от

функции f(x) по сегменту [a,b] (т.е. существует ∫f(x)dx ).

Теорема 5.1 (необходимое и достаточное условие интегрируемости).

Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], что

S-s≤ε		(5.10)
	mzxlim∆xi →0(S − s)= 0 .

Заметим, что условие (5.10) можно записать и в другой форме. Пусть Mi=sup{f(x)} и mi=inf{f(x)} являются точными верхней и нижней гранями функции f(x) на сегменте [xi-1,xi]. Так как Mi-mi≥0 то величина ωi=Mi-mi, называется колебанием функции f(x) на сегменте [xi-1,xi], не отрицательно, т.е. ωi≥0. Тогда согласно (5.5) имеем

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025276 Кб1Master St.Module(1).doc
#
01.03.202551 Кб3Matan exam1.docx
#
01.03.2025197 Кб0matan exam2.docx
#
01.05.20251 Мб0matan_-_ekzamen.docx
#
02.04.20154 Мб24matan_2.doc
#
14.03.20164 Мб16matan.pdf
#
27.09.2019120 Кб2matanal_1 (1).docx
#
02.04.2015400 Кб105Matem_logika_V_13_V_18.pdf
#
14.03.2016396 Кб16matematic.pdf
#
01.07.20252 Мб0Matematika.docx
#
14.03.2016283 Кб41materialovadenie_metodicheskie_ukazaniya_k_sem.pdf