9.2. Метод ведущих факторов

В экономической жизни все взаимосвязано, но есть факторы, которые влияют сразу на все показатели. Таких факторов может быть несколько. Например, цены на энергоносители, недвижимость, кредиты и т. д. Рассмотрим один из таких ведущих факторов, не определяя пока его природу.

Пусть R- эффективностьi-ой ценной бумаги,F-ведущий фактор фондового рынка. Будем считать, что эффективность всех вложений зависит от него. Простейшая зависимость линейна (см. рис. 9.1.). Примем гипотезу:

+ε_i, (9.1)

где ε_i- случайные погрешности линейного представления эффективностиi-ой ценной бумагиRчерез ведущий факторF. Предполагается, что математические ожидания погрешностей равно нулюE(ε_i) = 0. и погрешности ε_iи ε_jпопарно взаимно некорелированыE(ε_i· ε_j) = 0 и некорелированы с ведущим факторомE(ε_i·F) = 0.

Рис.9.1.

Определить постоянные значения иможно по синхронным измерениям эффективностейR₁,R₂, …R_n, и ведущего фактораFметодом наименьших квадратов, т. е. построить линейную парную регрессию (см. приложение).

Тогда, из (9.1) при известных ,, известном математическом ожиданииm_Fи дисперсииведущего фактораFи известной дисперсии погрешностимогут быть получены оценки для математических ожиданий эффективностей ценных бумаг:

(9.2)

Вычитая из (9.1) формулу (9.2) получим:

Следовательно, дисперсия эффективности ценной бумаги будет равна:

(9.3)

Для ковариаций соответственно получим:

(9.4)

Таким образом, полученные математические ожидания эффективностей ценных бумаг (9.2) и элементы ковариационной матрицы (9.3) и (9.4) могут быть использованы для построения оптимальных портфелей ценных бумаг.

Заключение

В заключении отметим, что в СЗАГС разработаны и используются в учебном процессе специализированные программы для финансовых расчетов и оценок финансовых рисков. Кроме того, в СЗАГС имеются методики, позволяющие решать указанные выше задачи универсальными программными математическими средствами Matcad,MatlabиMaple.

Приложение Элементы теории вероятностей и математической статистики

Для построения портфеля ценных бумаг требуются оценки математических ожиданий эффективности ценных бумаг и ковариационная матрица эффективностей ценных бумаг. Воспользуемся методами эконометрики для оценки математического ожидания и ковариационной матрицы.

Пусть X– случайная величина, в том числе может быть и эффективность какой-либо ценной бумаги. В статистике и в эконометрике, в частности, удобно использовать понятие генеральной совокупности и выборки.

Генеральная совокупность– это множество всех возможных значений случайных величинX.

Из генеральной совокупности Xпоследовательно выбираетсяnзначений случайных величин. Множество значений случайных величинназываетсявыборкойобъемаnслучайной величиныX.

Имея выборку, можно построить оценку математического ожидания или выборочное математическое ожидание в виде среднего арифметического:

(П.1)

или (П.2)

Как связаны выборочное математическое ожидание и истинное математическое ожидание генеральной совокупности?

Пусть генеральная совокупность имеет математическое ожидание и дисперсию. Если предполагать, что производится оценка математического ожидания по формуле (П.1) для всевозможных выборок длиныnиз генеральной совокупности, то оценкастановится случайной величиной. Можно доказать, что математическое ожиданиесовпадает с истинным математическим ожиданием генеральной совокупности, т. е.:

(П.3)

Действительно, в (П.1) будут случайными величинами с математическим ожиданием.

, где i=1,2…,n

Тогда имеем: ч. т. д.

Свойство (П.3) называют несмещенностьюоценки математического ожидания.

Оценка дисперсии может быть произведена по формуле:

(П.4)

или

(П.5)

Расчет удобно производить по формулам:

(П.6)

Оценки (П.4) и (П.6) являются смещенными.

Для дисперсии случайной величины несмещеннойоценкой будет:

(П.7)

или (П.8)

Точнее, можно доказать, что , что и означает несмещенность оценки дисперсии (П.7), (П.8). Доказательство этого факта достаточно громоздко и опущено в данном изложении.

Несмещенные оценки необходимо использовать при небольшом объеме выборки.

1) Свойства математического ожидания:

1., где С – постоянная;

2., гдеkпостоянный коэффициент;

3.,

в частности, .

2) Свойства дисперсии:

1., гдеc– постоянная;

2., гдеk- постоянный коэффициент;

3., гдеc– постоянная;

4.,гдеv_xy – ковариация случайных величин x и y.