2.2. Кредитование

Простые ставки процентов. Пусть начальный момент равен нулю, Т – базовый период,t– фактический период действия сделки, называемый конверсионным периодом или периодом начисления,S(o) – начальная сумма,S(t) – конечная сумма, получаемая кредитором в моментt. Если годовой интерес (ставка) равнаr, то в конце фактического срока сделкиtдебитор должен заплатить кредитору сумму

, (2.8)

где tи Т измеряются в днях. При этом согласно договору, используется либо точная длительность года – 365 или 366 дней (точные проценты), либо приближенная длительность года – 360 дней = 12 месяцев30 дней (обычные проценты).

В ряде случаев удобно использовать упрощенную форму записи формулы простых процентов в виде:

, (2.9)

где фактический период действия сделки tизмеряются в годах. При этом переход от длительности сделки в днях к длительности сделки в годах производится по схемам обычных или точных процентов.

Таким образом, в формуле (2.9), описывающей финансовую операцию, присутствуют четыре параметра. Можно задать любые три параметра, а четвертый параметр считать неизвестным. Определить его можно из уравнения (2.9).

В соответствии с этим возникают различные экономические задачи, которые будут рассмотрены ниже.

Пример 4.

Выдан кредит на сумму 7 млн руб. с 09.02.2013 г. по 21.09. 2013 г. под

16 % годовых. В зависимости от договора сумма погасительного платежа различна. При точном расчете t=16 дней (январь) + 28 дней (февраль) +15 дней (март) = 59 дней согласно (2.8) имеем:

млн руб.

Приближенный расчет по обычным процентам дает согласно (2.8) t=60 дней:

млн руб.

Сумма платежа по обычным процентам всегда больше чем по точным процентам.

Пример 5.

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 60 млн руб. достигнет 63 млн руб. через квартал.

Из формулы простых процентов (2.9) для ставки rимеем:

Подставляя соответствующие числовые значения, получим:

Пример 6.

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 38 млн руб. вырастет до 40 млн руб., если используется простая ставка процентов 12 % годовых.

Из формулы простых процентов (2.9) для времени tимеем:

Тогда, подставляя соответствующие числовые значения, получим:

Пример 7.

Кредит выдается под простую ставку 16 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 50 млн руб.

Из формулы простых процентов (2.9) имеем:

Следовательно, сумма, получаемая заемщиком равна:

S(0)=50/(1+0,16·250/360)= 45 млн руб.,

Сумма процентных денег равна 5 млн руб.

Задача 2.

Ссуда в размере 50 тыс. руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 28 % годовых. Определить наращенную сумму.

Ответ.

57 тыс. руб.

Задача 3.

Кредит в размере 10 млн руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30 % годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов расчета процентов: точное число дней ссуды и точная длительность года 366 дней; точное число дней ссуды и приближенная длительность года 360 дней; приближенные число дней ссуды и длительность года.

Ответ.

12327868 руб.;

12366666 руб.;

12333333 руб.

Задача 4.

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 млн руб. вырастет до 40 млн руб., если используется простая ставка процентов 28 % годовых.

Ответ.

t=2,14 года.

Задача 5.

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 млн руб. достигнет 30 млн руб. через год.

Ответ.

r=25 %.

Задача 6.

Кредит выдается под простую ставку 26 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 млн руб.

Ответ.

33,955857 млн руб.;

6,044143 млн руб.

Задача 7.

В течение первого месяца цена товара увеличилась на 25 %, а в течение следующего месяца цена товара возвратилась к первоначальному уровню. На сколько процентов уменьшилась новая цена товара?

Ответ.

На 20 %.

Задача 8. Переменная ставка простых процентов.

За время хранения вклада меняются величины процентных ставок. Пусть в периоды времени n₁,n_{2, …} n_mпроцентные ставки составляютr₁,r₂,…r_m. Найти наращенную суммуS(t), если начальный вклад равенS(0).

Ответ.

При расчетах по среднесрочным и долгосрочным кредитам используется схема сложных процентов.

Сложные проценты. Пусть длительность сделкиtкратна базовому периоду Т, т. е.tцелое число. При базовом периоде Т = 1 год, длительность сделки целое число летt. Тогда наращенная сумма равна:

, (2.10)

где

S(0) – начальная сумма,

r– процентная ставка за год (интерес).

Очевидно, что зависимость суммы S(t) от времениtпри расчете по схеме простых процентов (2.9) линейная, при расчете по схеме сложных процентов нелинейная (является показательной функцией отt), и, как будет показано ниже, в ряде случаев эта зависимость хорошо апроксимируется экспонентой.

Формула (2.10) может использоваться для расчета по сложным процентам при любой длительности сделки tтак, как показательная функция определена при любых значенияхt.

Пример 8.

Первоначальная вложенная сумма равна 200 тыс. руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставки процентов в размере 28 % годовых. Рассмотреть случаи, когда сложные проценты начисляются ежегодно, по полугодиям и поквартально. Для простых процентных ставок имеем:

тыс. руб.

Для сложных годовых процентов:

тыс. руб.

Для сложных полугодовых начисленных процентов:

тыс. руб.

Для поквартального начисления сложных процентов:

тыс. руб.

Обобщая пример 5, рассмотрим задачу вычисления процентной суммы S(t) черезtлет в случае, когда проценты начисляютсяmраз в год. СуммаS(o) выдана подrпроцентов годовых с начислением сложных процентовmраз в год. Воспользовавшись формулой (2.10), для этого случая очевидно имеем:

. (2.11)

Представляет интерес рассмотрения предельного случая при m, тогда сложные проценты начисляются непрерывно. Используя замечательный предел

,

где – основание натуральных логарифмов (число «е»), получим:

.

Таким образом, если сложные проценты начисляются непрерывно, наращенная сумма экспоненциально зависит от времени и равна:

(2.12)

Наращение суммы при непрерывном начислении процентов идет более быстрым темпом, чем при начислении сложных дискретных процентов.

Для примера 5 в случае непрерывного исчисления имеем:

тыс. руб.

Смешанные или комбинированные проценты. Пусть Т – базовый период, аt– фактическая длительность сделки. Всякое число можно представить в виде суммы целой и дробной части:

,

где

–обозначает целую часть числа;

–дробную часть числа.

Разобьем длительность сделки в годах на целую и дробную часть. Обозначим для простотыи, тогда.

Используя приведенные обозначения, для наращенной суммы, вычисленной по схеме комбинированных процентов, имеем:

, (2.13)

где

k– целая частьили целое число лет в длительности сделки;

 – дробная часть длительности сделки .