Решения задач

1. Насыпав в мензурку (об устройстве бытовой мензурки рассказано в разделе «Подсказки») некото­рое количество сахарного песка, находим его массу по соответствующей шкале, а объем — по шкале жид­костей. После этого плотность рассчитывается обыч­ным образом. Полученное значение будет, однако, не­сколько меньше истинного, поскольку в найденный объем вносят вклад заполненные воздухом промежут­ки между крупинками сахара.

2. Решение иллюстрируется рис. 7. Нужно на реб­ро напильника положить середину линейки, что не­трудно сделать, руководствуясь имеющимися на ней делениями. Затем для гирьки и исследуемого тела подбирается та­кое положение, при ко­тором система будет находиться в равнове­сии. Тогда из условия равновесия рычага (g — ускорение свободного падения) можно найти ис­комую массу т_х.

Величины l₁ и l₂ отсчитываются по делениям на линейке, а масса m₀ равна 100 г по условию задачи. В равенстве, выражающем условие равновесия рычага, силу тяжести линейки можно не учитывать, так как относительно оси вращения мо­мент этой силы равен нулю. Равен нулю и момент си­лы реакции опоры, плечо которой, как и для силы тя­жести, равно нулю.

Для ответа на второй вопрос задачи следует по­мнить, что масса советских «медных» монет в грам­мах совпадает с их стоимостью в копейках.

3. Положите монеты вблизи конца линейки, а за­тем подоприте ее в такой точке О, чтобы вся система оказалась уравновешенной (рис. 8).

Сила Р₁ притяжения линейки к Земле, приложен­ная к центру тяжести А (совпадающему с серединой линейки), вращает си­стему против часовой стрелки, а сила Р₂ тя­жести монет, действующая в точке В, стре­мится повернуть лн-нейку с монетами в противоположном направлении.

Из условия равновесия Р₁·АО = Р₂·ОВ находим:

Расстояния АО и ОВ находятся по делениям на ли­нейке, а способ определения Р₂ (или M₂) указан в ре­шении предыдущей задачи.

4. Оторвите кусок нитки, длина которого равна длине книге. Сложите затем нить вдвое, вчетверо, в восемь раз и отложите от верхнего обреза книги от­резки, равные одной четверти и одной восьмой ее длины. Полученные точки отметьте карандашом. После этого положите нижний край книги на весы и подоприте книгу пальцем в одной из отмеченных то­чек (рис. 9), выбрав ее так, чтобы стрелка весов не выходила за пределы шкалы, но отклонение не было в то же время слишком маленьким. Затем масса кни­ги М находится из следующих соображений.

Поскольку книга находится в покое, то сумма мо­ментов сил, вращающих книгу против часовой стрелки вокруг оси, проходящей через кончик пальца, равна сумме моментов сил, стремящихся повернуть ее отно­сительно той же оси в противоположную сторону. В первом направлении книгу старается повернуть сила Мg притяжения ее к Земле. Плечо этой силы рав но l – (L/2), так как она приложена к центру тяже ста, находящемуся посредине книги. По часовой стрел­ке книгу вращает сила реакции тg (т — показания весов), приложенная со стороны чашки весов к нижнему (на рисунке — левому) краю книги; ее плечо равно l. Стало быть, условие равенства моментов имеет вид

откуда

Если, к примеру, палец расположен в точке, для ко­торой то

Добавим, что книгу, в особенности толстую, сле­дует располагать на весах и пальцах как можно более горизонтально, иначе плечо силы тяжести нельзя будет считать равным l – (L/2).

5. Можно предложить несколько вариантов реше­ния этой задачи, но самым простым, вероятно, будет следующий.

Прежде всего с помощью весов определите массу камня М₁. Затем найдите массу М₂ сосуда, доверху наполненного водой. После этого снимите сосуд с.ве­сов, положите в него камень (часть воды при этом выльется), вытащите камень и вновь измерьте массу М₃ сосуда с оставшейся водой.

Нетрудно видеть, что разность М₂ – М₃ равна мас­се воды, вытесняемой камнем, т. е.

где—плотность воды, аV — объем камня.

Поделив массу камня М₁ на его объем, найденный отсюда, получим нужную нам величину:

Способ дает хорошие результаты, если объем кам­ня не очень мал (точнее, близок к объему сосуда). B противном случае нужно использовать другие ме­тоды, например так называемое гидростатическое взвешивание, с которым обычно знакомят в школе.

6. Пусть масса пустой кастрюли равна М₁, а после наполнения водой она составляет М₂. Тогда разность М₂ – М₁ дает массу воды в объеме кастрюли. Поделив эту разность на плотность воды ρ, находим объем ка­стрюли V:

7. Если через точки М и N мысленно провести плоскость так, как это показано на рис. 10, а, то она рассечет цилиндр на две симметричные и поэтому рав­ные по объему фигуры. Отсюда вытекает решение за­дачи.

Постепенно наклоняя стакан, нужно отливать со­держащуюся в нем жидкость до тех пор, пока чуть-чуть не покажется дно (рис. 10, б). В этот момент в стакане останется ровно половина жидкости.

8. На падающий коробок действуют две силы — притяжения к Земле и сопротивления воздуха. Пер­вая определяется массой и для более полного короб­ка оказывается большей. В то же время вторая при равных скоростях одинакова для обоих коробков. По­этому для более полного коробка равнодействующая этих сил будет, вообще говоря, больше. Следователь­но, он будет иметь большее ускорение*) и, быстрее набирая скорость, раньше достигнет земли. Таким об­разом, следует одновременно ур'онить обе коробки с балкона. Та из них, которая раньше достигнет земной поверхности, содержит больше спичек.

Убедительные результаты получатся, безусловно, лишь в том случае, если разница в количестве спичек в коробках не особенно мала.

9. Проще всего, конечно, найти центр тяжести пал­ки, уравновешивая ее на ребре ладони. Равновесие, как известно, свидетельствует, что центр тяжести рас­полагается как раз над точкой опоры. Однако суще­ствует более интересный и поучительный способ ре­шения.

Если положить палку горизонтально на края ла­доней обеих рук, поставленных ребром, и медленно сдвигать руки, то они всегда сойдутся в центре тяже­сти, и палка не будет падать, каким бы образом ни сдвигать руки.

Это происходит потому, что при приближении одной руки к центру тяжести давление на нее возрастает по сравнению с давлением на вторую руку, более уда­ленную от центра тяжести. Так как одновременно с давлением увеличивается сила трения скольжения, то она превзойдет силу трения покоя между палкой и второй рукой, вследствие чего движение палки отно­сительно первой руки прекратится и начнется движе­ние относительно второй. Таким образом, центр тя­жести будет все время находиться между ладонями и в конце концов будет ими «пойман».

*) Ускорение увеличивается с ростом массы, так как

10. Достаточно прокатить смоченный водой мяч по полу, чтобы он сделал один оборот, и измерить дли­ну l влажной дорожки. Диаметр й вычисляется затем по формуле

Можно также обернуть мяч по «экватору» один раз ниткой, измерить ее длину и вычислить диаметр тем же способом.

11. Вначале с помощью мензурки обычным обра­зом определяется объем V шарика, а затем по формуле

рассчитывается диаметр d.

12. В школьных тетрадях сторона каждой клеточ­ки довольно точно равна половине сантиметра (автор проверил несколько тет­радей и лишь в самом худшем случае 40 клето­чек составили не 200 мм, как это должно быть, а 202 мм, что соответству­ет точности 1%). Этим , можно воспользоваться для решения задачи.

Следует намотать про­волоку на карандаш вплотную виток к витку в таком количестве, чтобы она занимала целое число клеток. При этом нужно выбирать не слишком малое числа витков, иначе, как станет ясно из дальнейшего, ошибка окажется боль­шой. После этого, разделив длину l, занятую на каран­даше проволокой, на число витков n, получим искомую величину

(см. рис. 11, на котором тетрадный лист заменен линейкой).

В теории ошибок доказывается, что относительная ошибка дроби равна сумме относительных ошибок числителя и знаменателя. В нашем случае l опреде­лено с точностью около 1 % (см. выше). Подсчитывая число витков, экспериментатор вполне может оши­биться на один, так как часто трудно сказать, что правильнее взять — например 49 витков или 50. По­этому для относительной ошибки знаменателя полу­чаем около 0,02. Таким образом, относительная ошиб­ка в определении диаметр а проволоки составит 3 %, а абсолютная — при диаметре 0,1 мм — всего 0,003 мм, что не так уж плохо.

К сожалению, фактическая ошибка будет все­гда больше, так как намотать проволоку вплотную трудно.

13. Если тело плавает, то его масса равна массе вытесненной воды. Сначала находим объем вытеснен­ной воды, умножая площадь сечения сосуда, найден­ную с помощью линейки, на величину понижения уровня воды в сосуде после удаления тела (измеря­ется также линейкой). Перемножая затем объем вы­тесненной воды и ее плотность, находим массу воды, а, следовательно, и массу плавающего тела.

14. Бросив пробку в мензурку и отсчитав увеличе­ние уровня воды, найдем массу пробки разобранным в решении предыдущей задачи способом. Объем проб­ки можно определить, полностью утопив ее с помощью спицы в воде. После этого легко рассчитать плот­ность. Нетрудно видеть, что предлагаемым методом определяется средняя (то есть без учета объема пор) плотность пробки.

15. Кроме способа, предложенного в предыдущей задаче, можно указать следующий. Измерим полную длину палочки, а затем опустим, ее в воду. Пусть вся длина составляет l₁, а длина находящейся Под водой части равна l₂. Тогда масса палочки

(— плотность дерева,S — площадь поперечного се­чения палочки), а масса вытесненной воды

(—плотность воды). Поскольку палочка плавает, эти массы равны:

откуда находим:

Важно, чтобы палочка плавала вертикально, хотя бы и с небольшим наклоном, так как если она будет плавать «плашмя», задачу решить будет значительно труднее. Для того чтобы палочка плавала вертикаль­но, и служит узкий цилиндрический сосуд, стенки ко­торого мешают палочке расположиться горизонталь­но («плашмя»).

16. Объем полости V_пол связан с объемом пробки V_пр и объемом стекла V_ст очевидным соотношением

V_пол = V_пр —V_ст.

Пусть масса пробки равна т₁. Если же пробка во время взвешивания находится в воде (так называе­мое гидростатическое взвешивание), показания весов уменьшаются до т₂ поскольку на нее, в согласии с законом Архимеда, действует выталкивающая сила. Нетрудно сообразить, что кажущееся уменьшение массы m₁—m₂ равно массе вытесненной воды. По­этому, разделив эту разность на плотность воды ρ₁, находим объем вытесненной воды и, стало быть, объ­ем пробки:

Для определения объема стекла достаточно массу пробки разделить на взятое из таблиц значение плотности стекла ρ₂:

После этого имеем окончательно:

17. Упритесь в железный лист вертикально поста­вленной палкой, а затем постепенно наклоняйте ее, нажимая на верхний конец (рис. 12). При некотором угле наклона α палка начнет скользить по железу. Зто произойдет в тот момент, когда горизонтальная со­ставляющая силы F, приложенной к верхнему концу палки в направлении ее длины, станет больше максимальной силы трения покоя между нижним кон­цом палки и железны листом.

Горизонтальная составляющая силы F равна . В то же время максимальное значение силы трения покоя можно выразить следующим образом:

где k — искомый коэффициент, Р — сила тяжести палки, а —вертикальная составляющая силы F, прижимающая палку (вместе с силой ее при­тяжения к Земле) к жести. Приравнивая эти силы, по­лучаем:

откуда

Так как по условию зада­чи палка имеет неболь­шую массу, первым слага­емым в знаменателе мож­но пренебречь, тем более что сила F, с которой экспериментатор действует на верх­ний конец палки, ограничена только его возможнос­тями и прочностью палки. Тогда

Таким образом, для определения коэффициента трения достаточно измерить только а и b, что нетруд­но сделать с помощью линейки.

18. Отодвигая линзы от стенки, следует получить на ней резкое изображение нити лампы. Та линза, ко­торая при этом окажется расположенной ближе к сте­не, имеет большую оптическую силу.

19. Следует сложить обе линзы вплотную. Если полученная система будет действовать как собираю­щая линза, оптическая сила собирающей линзы боль­ше. В противном случае большей оптической силой обладает рассеивающая линза,

20. Нужно воспользоваться двумя однополюсными переключателями, включив их в цепь питания лампы так, как это показано на рис. 13. Один из переключа телей устанавливается у

входной двери коридора, а другой — у выходной.

21. Встав на крышу до­ма, нужно выпустить банку из рук, одновременно нажав на пусковую кнопку секун­домера. Услышав звук удара банки о землю, сле­дует остановить секундомер. Показания секундо­мера t складываются из времени падения банки t₁ и времени t₂,за которое звук удара ее о земную по­верхность дойдет до наблюдателя.

Первое время связано с высотой дома h следую щим образом:

тогда как связь между h и t₂ имеет вид

где с — скорость звука, которую при расчетах мы по» ложим равной 340 м/с.

Определяя t₁ и t₂ из этих выражений и подставляя их значения в формулу, связывающую t₁, t₂ и t, полу чим иррациональное уравнение

из которого можно найти высоту дома.

При приближенном вычислений (в особенности, если дом невысок) второе слагаемое слева можно считать малым и отбросить, тем более что неучитыва емая нами поправка, связанная с силой сопротивле­ния воздуха, может быть ббльшей, чем упоминаемая поправка на время распространения звука. Тогда

22. Штангенциркулем измеряем высоту h и диаметр d₁ сосуда и вычисляем его объем:

После этого определяем с помощью секундомера время t, за которое текущая вода заполняет банку. Тогда количество Q воды, вытекающей за единицу времени, составит

С другой стороны, Q можно выразить как произве­дение искомой скорости v истечения воды на пло­щадь S поперечного сечения крана

где d₂ — диаметр крана.

Приравнивая правые части, получим;

Поскольку d₂ также, можно измерить штангенцирку­лем, задача в принципе решена.

23. Так как движение воды в струе происходит с ускорением свободного падения g, между скоростью v₁. истечения ее из крана и той скоростью v₂, которой она обладает на расстоянии h от крана, существует простая связь:

С другой стороны, через сечение крана и сечение, проведенное поперек струи на расстоянии h от крана, за единицу времени протекают равные объемы воды

где d₁ и d₂ — диаметры струи у крана и на расстоянии к от него соответственно *).

*) Отсюда видно, что диаметр струи убывает с удалением от крана. При падении с больших высот водяные струи на­столько утончаюгся, что рассыпаются на отдельные мелкие капли; к примеру, высокие водопады внизу превращаются в об­лако водяной пыли.

Находя из последнего равенства v₂ и подставляя его в предыдущее, получим:

Откуда

После этого находим количество воды, вытекающее из крана за единицу времени (расход воды):

Таким образом, задача сводится к измерению d₁, d₂ и h, что действительно можно сделать одной только линейкой.

24. Воспользуемся'формулой для расхода воды, полученной в рещении предыдущей задачи:

(смысл обозначений дан в упомянутом решении).

Учитывая, что Q = V/t (V— объем воды, вытекающий за время t), получим в конечном итоге:

Величины d₁, d₂ и h измеряются линейкой, t — часами, а V — известно по условию задачи.

Предложенный метод не претендует на большую точность. Не останавливаясь на всех его погрешностях, отметим главные.

Во-первых, конечный результат заметно искажается вязкостью воды. В случае еще более вязких жид­костей для g можно получить значение, совершенно далекое от истинного.

Во-вторых, даже сравнительно небольшая ошибка в определении d₁ и d₂ сильно скажется на погрешности конечного результата потому, что в расчетную фор­мулу входят четвертые степени этих величин (можно показать, что относительная погрешность в определении степени равна относительной погрешно­сти основания, помноженной на показатель степени).

25. Направив шланг вертикально вверх, определим с помощью линейки высоту h, на которую подни­мется вода. Тогда скорость истечения v можно найти, пользуясь формулой

Умножив найденную скорость на площадь S сече­ния насадки (ее диаметр d измеряется также линей­кой), находим расход воды Q, т. е. количество ее, вытекающее за единицу времени:

После этого оказывается возможным определение времени наполнения бака, так как его емкость V была известна заранее:

26. На все тела, находящиеся в воздухе, действует выталкивающая (архимедова) сила, равная силе тяжести вытесненного воздуха. Поэтому результат взве­шивания мяча, накачанного до давления р, можно представить в следующем виде:

где М_м — масса камеры и покрышки, М_в — масса воздуха, содержащегося в мяче, и т — масса воздуха, вытесненного мячом. Нетрудно видеть, что если пре­небречь объемом камеры и покрышки (и, следователь­но, действующей на них архимедовой силой), то два последних члена для мяча, содержащего воздух при атмосферном давлении, равны между собой, и взве­шивание дает массу камеры и покрышки М_м.

Поскольку при накачивании объем V мяча прак­тически не меняется, последний член справа остается постоянным, как, разумеется, и первый. Таким обра­зом, разность М—М₀, где М и М₀—определенные с помощью весов массы мяча, накачанного соответст­венно до «рабочего давления» р и атмосферного давлениа р₀, деленная на объем мяча, даст приращение плотности воздуха от значения р₀, соответствующего атмосферному давлению, до величины ρ при искомом давлении:

Так как объем мяча при накачивании не изменя­ется, то плотность газа возрастает прямо пропорци­онально давлению:

Из двух последних выражений получаем следующее значение для интересующей нас величины:

Разность масс в этом выражении определяется с помощью весов, объем мяча рассчитывается по ве­личине диаметра, измеренного линейкой (см. задачу №. 10), а величины р₀ и ρ₀ берутся из таблиц (они равны соответственно 1 атм и 1,293 кг/м³). Если же­лателен более точный результат, то следует принять во внимание изменение плотности с температурой, т. е. вместо величины 1,293, соответствующей 0 °С, под­ставлять в приведенную формулу значение плотности, соответствующее температуре воздуха в данный мо­мент.

27. Прежде всего осторожно, чтобы не разбить лампочку, удалим цоколь и, погрузив ее целиком в во­ду, найдем с помощью линейки повышение Δh₁ уровня, воды в сосуде. После этого, не вынимая лам­пы из воды, сломаем кончик штенгеля (стеклянного отростка, через который производится откачка лампы и ее заполнение инертным газом), В лампу войдет некоторое количество воды, и ее уровень в сосуде по­низится, станет лишь на Δh₂ больше, чем в самом на­чале. Этих сведений вполне достаточно для решения задачи.

*) Действительно, уравнение Клапейрона—Менделеева

можно переписать следующим образом:

откуда и следует, что при постоянной температуре плотность прямо пропорциональна давлению.

В самом деле, при искомом давлении р газ зани­мал весь объем лампы V₁, и который, пренебрегая объ­емом стеклянных стенок колбы, можно записать как прризведение площади поперечного сечения сосуда S на прирост высоты уровня воды в сосуде при погру­жении лампы: V₁=SΔh₁.

После того как был сломан штенгель, давление газа в лампе стало равным атмосферному (давлением столбика воды, находящейся над лампой, по сравне­нию с атмосферным можно пренебречь), а его объем уменьшился до V₂ = SΔh₂.

Считая температуру газа неизменной, запишем на основании закона Бойля — Мариотта:

откуда

Изменения уровня воды Δh₁ и Δh₂ измеряются ли­нейкой, а р₀ либо берется по барометру, либо полага­ется равным одной атмосфере (760 мм. рт. ст., или 0,1013 МПа).

28. Вначале, как и в первом варианте решения за­дачи, осторожно удалим цоколь, а затем взвесим лам­пу. Пусть ее масса равна т₁. Затем погрузим лампу целиком под воду и обломим кончик штенгеля. Когда вода перестанет поступать в колбу и незаполненным водой останется только пространство, занятое газом, сжатым до атмосферного давления р₀, вынем лампу из воды и вновь определим ее массу. Предположим, что масса лампы, частично заполненной водой, рав­на т₂. Заполним теперь лампу водой целиком и вновь определим массу. Допустим она окажется рав­ной m₃.

Нетрудно сообразить, что разность т₃ — т₁ дает массу воды, целиком заполняющей колбу лампы. Разделив эту разность на плотность воды ρ, мы най­дем внутренний объем лампы, иначе говоря, объем газа при искомом давлении р.

С Другой стороны, разность т₃— т₂, деленная на плотность воды, даст объем того же газа при атмос­ферном давлении р₀.

Считая, что во время сжатия газа его температура не меняется, можем записать на основании закона Бойля — Мариотта:

Отсюда искомое давление равно

29. Если трубка поставлена вертикально отверстием вверх, заключенный в ней воздух находится под давлением

где р₀ — атмосферное давление, ρ — плотность ртути, g— ускорение свободного падения и h — высота ртутного столбика. Это давление сжимает воздух в трубке до объема

(l₁—длина воздушного столбика, S — площадь попе­речного сечения трубки).

В трубке, поставленной вертикально отверстием вниз, давление составляет

а объем воздуха

Считая температуру воздуха в обоих случаях одина­ковой, имеем из закона Бойля —Мариотта:

откуда

Плотность ртути и ускорение свободного падения берутея из таблиц, а величины l₁, l₂ и h измеряются линейкой.

Если давление атмосферы достаточно выразить в мм рт. ст., формула упрощается

30. Пусть кастрюля содержит воду, охлажденную в холодильнике до 0 °С (в воде еще плавают малень­кие кусочки льда). Поставим ее на газовую плиту, одновременно заметив показания часов. Пусть до мо­мента закипания воды пройдет время т₁, а затем ещё т₂ до того, как вся вода испарится.

Если при сгорании газа ежесекундно образуется q джоулей, то количество теплоты Q₁ и Q₂, необходи­мые соответственно для нагревания воды до кипения и последующего ее обращения в пар, можно записать в следующем виде:

где т — масса воды, налитой в кастрюлю, с — удель­ная теплоемкость воды, а r — теплота парообразова­ния. Поделив равенства почленно, получим:

откуда

Поскольку точный учет тепловых потерь (на излу­чение в окружающее пространство, на нагревание ка­стрюли и пр.) невозможен, полученный результат не должен претендовать на большую точность.

31. Изготовив из нити и кусочка железа «матема­тический маятник» и заставив его качаться, опреде­лим количества оборотов К₁ и К₂ диска электросчет­чика за одинаковое число колебаний маятника (то есть за равные интервалы времени) вначале при работающем телевизоре, а затем при включенной лампе.

Поскольку число оборотов диска, совершаемое за определенное время, пропорционально мощности включенного в сеть прибора, мы имеем право написать равенство

где N₁ и N₂ — мощности телевизора и электрической лампы соответственно.

После этого находим:

откуда легко рассчитать интересующую нас величи­ну, так как мощность электрической лампы обычно указывается на ее баллоне или цоколе.

32. Настройте радиоприемник на программу «Маяк», позывные которой раздаются через каждые полчаса, и найдите с помощью электросчетчика коли­чество А электроэнергии, израсходованной за проме­жуток между двумя сигналами (т. е. за полчаса).

После этого из формулы

можно рассчитать мощность утюга N, а затем, зная напряжение в городской сети, легко определить инте­ресующее нас сопротивление:

Так решается задача в случае батарейного прием­ника.

Если приемник питается от сети, нужно определить вначале количество A₀ электроэнергии, расходу­емой в течение получаса только радиоприемником, а затем энергию А, потребляемую за такое же время приемником и утюгом вместе. Тогда из системы урав­нений

где N₀ и N— мощности приемника и утюга со* ответственно, находим вначале мощность утюга

а затем его сопротивление

33. Соединим последовательно батарею, моток проволоки и амперметр, а вольтметр включим так, чтобы он показывал напряжение на мотке. Запишем показания приборов и рассчитаем сопротивление мотка при комнатной температуре:

После этого принесем с улицы снег, погрузим в него моток и, подождав немного, чтобы снег нача'л таять, а проволока приобрела его температуру, тем же спо­собом определим сопротивление проволоки Яо при температуре тающего снега, т. е. при 0°С. Пользуясь затем зависимостью между сопротивлением провод­ника и его температурой,

находим температуру воздуха в комнате:

При расчете используется значение температурно­го коэффициента сопротивления, взятое из справоч­ника. В области комнатных температур для чистой меди α = 0,0043 К^-1. Если содержание примесей в ме­ди, из которой изготовлена проволока, не бсобенно велико, а электроизмерительные приборы имеют класс точности 0,1*), то температуру можно опреде­лить с погрешностью, значительно меньшей одного градуса.

*) Это очень хорошие приборы! В технике применяются при­боры класса 0,5; 1,0 или даже 2,0. Напомним, что класс точно­сти электроизмерительных приборов равен наибольшей погреш­ности прибора, выраженной в процентах от максимального зна­чения измеряемой прибором величины. Итак, вольтметр класса 0,1 со шкалой на 200 В измеряет напряжение с точностью ±0,2 В.

34. Способом, разобранным в решении предыду­щей задачи, определим сопротивление проволоки вна­чале при температуре таяния льда (R₀), затем при искомой температуре (R_t) и, наконец,— в кипящей воде (R₁₀₀). После этого из системы уравнений

можем определить как. температурный коэффициент сопротивления

так и интересующую нас температуру воздуха в ком­нате

35. Движущиеся в магнитном поле заряженные частицы отклоняются в ту или иную сторону в зави­симости от знака их заряда и налравлений движения и вектора индукции (силовых линий).

Поэтому, если вы приблизите к экрану телевизора магнит так, чтобы их плоскости были параллельными, телевизионная картина несколько сместится (это яв­ление удобнее наблюдать, когда на экране находится .статичное изображение, например, заставка или таб­лица для настройки). После этого, пользуясь прави­лом левой руки, нетрудно определить направление ли­ний индукции и, следовательно, полюсы магнита.

36. Определить длительность прогулки, располагая лампой и счетчиком, о которых упоминается в тексте задачи, можно следующим образом.

Нужно включить лампу в момент ухода девочки, одновременно записав показания счетчика. Второе по­казание снимается по ее возвращении. Зная расход электроэнергии А, можно рассчитать время прогулки t из выражения

где N — мощность электрической лампы, определяе­мая по надписи на цоколе или баллоне.

У счетчиков, обычно применяющихся в быту, при расходе энергии 1 кВт·ч диск делает 1250 оборотов. Таким образом, при мощности лампы 100 Вт диск должен совершить за час 125 оборотов, что нетрудно отсчитать по обычно имеющейся у подобных счетчиков круглой шкале, на которой регистрируются целые обо­роты диска.

37. Наиболее простое решение задачи для случая, когда лампа может быть включена и выключена из четырех различных мест, иллюстрируется схемой, при­ведённой на рис. 14.

Легко видеть, что, добавив соответствующее число переключателей, можно собрать схему, позволяющую включать и выключать прибор из любого числа разных пунктов.

38. Чтобы кубик массой т вращался вместе с диском по ок­ружности радиуса R, делая v оборотов в се­кунду, к нему должна быть приложена со стороны диска центростремитель­ная сила

где v — линейная скорость центра тяжести кубика.

Из приведенного выражения видно, что при посто­янной угловой скорости центростремительная сила должна монотонно возрастать с увеличением радиуса вращения. Между тем сила трения покоя F_тр, играю­щая роль центростремительной, не может превысить / значения

где k — коэффициент трения и g — ускорение свобод» ного падения.

Измерив линейкой значение R_кр. при котором ку­бик перестает держаться на вращающемся диске и сбрасывается с него, находим, приравнивая написан­ные выще выражения:

Величина v здесь также известна: в зависимости от положения соответствующего переключателя она рав­на 33, 45 или 78 оборотам в минуту.

39. Привязав к концу нити гирьку, изготовим ма­ятник, длина которого равна высоте комнаты. Так как масса нити мала, маятник можно считать «математи­ческим», т. е. можно пользоваться формулой, связы­вающей период его колебаний Т с длиной l и ускоре­нием свободного падения g в следующем виде:

Определив с помощью часов период колебаний маятника (для этого достаточно подсчитать число колебаний, совершаемое маятником за достаточно дли­тельное время, а затем вторую величину разделить на первую), рассчитаем по приведенной формуле длину подвеса l,.т. е. высоту комнаты, взяв значение g, со­ответствующее данной географической широте, из справочника или положив его для простоты равным 9,8 м/с². Подобным же образом определяем далее длину комнаты и ее ширину, а затем простым пере­множением — объем.

Если длина маятника окажется слишком большой (комната велика) и измерять его период будет не­удобно, можно определить половину интересующего размера, перегнув нить вдвое.

40. Проще всего, видимо, поступить так. Посте­пенно изменяя длину маятника, изготовленного из ни­ти и шарика, добьемся совпадения периодов маятника и метронома. Измерив после этого длину нити l и ра­диус шарика R, можно по формуле

рассчитать период маятника, который и будет равен периоду метронома. Эту операцию следует проделать для как можно большего числа положении грузика на шкале метронома.

Можно и не менять длину нити. В этом случае пе­риод маятника рассчитывается только один раз. За­тем для каждого положения грузика метронома опре­деляется, скольким ударам соответствует целое число колебаний маятника. Умножая число качаний маят­ника на его период, находим время работы метроно­ма. Разделив эту величину на количество ударов мет­ронома, определяем его период. Более подробно этот способ рассмотрен далее в решении задачи № 87.

41. Поставим лестницу около стены высокого здания и сделаем на расстоянии 4,9 м от его основания отметку. С этой высоты камень будет падать в те­чение

Теперь остается подобрать такое положение гру­зика на шкале, чтобы за время падения камня маятник метронома совершал одно колебание.

42. Если к бруску приложить на небольшом рас­стоянии h от его основания горизонтально направлен­ную силу F (рис. 15), превышающую максимальную силу трения покоя F_тp=kР, брусок придет в движе­ние. Если же сила F приложе­на достаточно высоко, брусок может, не трогаясь с места, оп­рокинуться. Это будет в том случае, когда момент силы F относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости чертежа через точку А, ока­жется больше момента силы тяжести Р относительно той же оси:

где а— ширинабруска.

Необходимо найти точку; приложения силы F в которой наблюдается переход от одного случая к другому. Тогда коэффициент трения может быть най­ден из системы уравнений .

решая которую, получаем:

Отсюда видно, что экспериментальное определение коэффициента трения возможно лишь в том случае, если высота бруска b удовлетворяет условию

43. Можно, например, повесить кофемолку ва шну­ре и включить ее в сеть. При этом корпус кофемолки начнет вращаться в сторону, противоположную вра­щению ротора электродвигателя.

Впрочем, можно обойтись и без подвешивания: если держать кофемолку в руке, то в момент вклю­чения рука ощущает толчок, стремящийся повернуть её в сторону, противоположную направлению враще­ния мотора.

44. Если положить шары рядом на наклонную плоскость и отпустить их, то медный шар, скатываясь, отстанет от алюминиевого. Причина этого явле­ния состоит в том, что при вращательном движении (а скатывание можно рассматривать как сложение поступательного и вращательного движений) ускоре­ние .определяется не массой тела, а его моментом инерции — величиной, играющей во вращательном движении такую же роль (меры инертности), как мас­са — в поступательном. У медного шара момент инер­ции больше, поскольку у него отдельные элементы в среднем дальше удалены от оси вращения. Подроб­нее о моменте инерции можно прочитать в любом курсе физики для высшей школы.

45. Следует подпереть рейку в середине (уравновесив ее, например, на спинке стула) и закрепить на одном конце взвешиваемое тело. На второе плечо рычага накидывается петля из проволоки. Натягивая проволоку вертикально вниз, нетрудно уравновесить систему. Чем ближе к точке опоры расположена петля, тем больше необходимая для этого сила. При до­статочно малом расстоянии она может превысить прочность проволоки и последняя разорвётся. Исполь­зуя условие равновесия рычага, можем записать для момента разрыва:

где Р — искомая сила тяжести тела, l₁ — расстояние взвешиваемого тела до оси рычага, d — диаметр про­волоки, σ — предел прочности меди при растяжении (сопротивление на разрыв) и l₂ — расстояние петли до точки опоры.

Расстояния l₁ и l₂ находятся по делениям на рейке, а значение σ берется из справочника.

Для нахождения диаметра проволоки используется способ, суть которого ясна из рассмотрения рис. 11, причем в качестве изображенной на нем линейки сно­ва применяется рейка.

46. Следует расположить зеркало горизонтально и опустить на него шарик. Если шарик опущен не в самую нижнюю точку, он начнет двигаться по по­верхности зеркала. Нетрудно видеть, что если шарик движется' без вращения (т. е. скользит по поверхно­сти зеркала), то его движение полностью аналогично движению маятника с дли­ной подвеса R — r (рис. 16). Тогда из формулы маятника

можно найти интересующую нас величину:

Период Т определяется с помощью секундомера, а r известно по условию задачи.

Рис. 16.

Поскольку обычно трение достаточно велико, что­бы шарик двигался по поверхности зеркала с враще­нием, это решение плохо согласуется с опытом. На самом деле

и

47. В процессе записи звука на грампластинку на равных расстояниях друг от друга наносятся бороздки. Эти бороздки рассеивают падающий на пла­стинку свет, а промежутки между ними отражают его, так что пластинка ведет себя подобно отражательной дифракционной решетке, период которой d равен рас­стоянию между бороздками.

Пусть на решетку под углом θ падает монохрома­тическая волна длиной λ. В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля, каждая точка отражающей по­верхности становится центром вторичных волн, рас­пространяющихся по всевозможным направлениям. Рассмотрим те из них, которые пойдут под углом φ к решетке (рис. 17). С помощью собирающей линзы, роль которой может играть и хрусталик глаза, их можно собрать в одну точку. Найдем условие, при котором сложение волн приведет к их взаимному уси­лению.

Разность хода лучей 1 и 2, идущих от соответству­ющих точек А и В двух соседних отражающих участ­ков решетки (рис. 18), равна

(AN —фронт падающей волны, КВ — фронт волны, идущей от решетки под углом φ). Если разность хода кратна длине волны, то фазы колебаний, пришедших из точек А и В, будут одинаковыми, и колебания бу­дут усиливать друг друга. Аналогично ведут себя все остальные участки решетки. Стало быть, условие об­разования максимумов (точнее, главных макси­мумов) имеет вид:

где k = 0, 1, 2, 3 и т. д. Центральному (иначе нулевому) максимуму соответствует k = 0. По обе стороны от него располагаются вначале два максимума пер­вого порядка, затем два — второго и так далее.

Последняя формула позволяет рассчитать λ, если известны период решетки d, угол θ падения волны и направление на какой-либо, например первый, макси­мум — угол φ₁.

Период решетки нетрудно найти, измерив расстояние ΔR, на которое перемещается за время Δt вдоль радиуса игла при проигрывании пластинки:

(n— лисло оборотов пластинки за единицу времени; его можно прочитать на этикетке пластинки).

В качестве источника света используется настоль­ная лампа, лучи от которой проходят через неболь­шое отверстие в картонном экране. Установите лампу около одной стены комнаты, положите пластинку го­ризонтально около противоположной стены и найдите изображение, щели (рис. 19).

Рис. 19.

Оно является нулевым дифракционным максимумом. Одновременно по обе стороны от него вы увидите цветные полосы, обра­щенные фиолетовыми концами к нулевому максиму­му. Это спектры соответственно первого, второго и т. д. порядков. Наиболее отчетливо видны спектры первого порядка, а спектры второго и третьего поряд­ков уже частично перекрываются, а потому наблюдаются хуже (кроме того, с увеличением номера спектра интенсивность быстро убывает). Закрыв отверстие в экране светофильтром, вы увидите, как разноцветные полосы превратятся в узкие одноцветные линии.

Для определения sinφ₁ надо попросить товарища подержать карандаш (или заостренную палочку) над щелью так, чтобы его изображение в отраженном от решетки (как от плоского зеркала) свете совпало с первым дифракционным максимумом (см. рис. 19). Измерив линейкой а, b и h, найдем:

Легко проверить, что с увеличением угла падения θ растет угол φ₁, что облегчает его измерение. Имен­но поэтому пластинку следует располагать подальше от лампы.

48. Им следует поступить так, как это показано на рис. 20. Сначала по доскам перейдет взрослый и вста­нет на место, ребенка, а затем по мостику пройдет ребенок.

49. Пусть молния проскочила между точками A и В двух соседних облаков (рис. 21). Находящийся в точке С человек услышит вначале звук, пришедший из точки В, а затем уже — из более удаленной точ­ки А. Разница возникает потому, что путь АС больше, чем ВС, на отрезок АD. Если наблюдатель находится в благоприятных условиях (т. е. точки A, В и С ле­жат практически на одной прямой), разница между АО и АВ невелика. Поэтому, подсчитав расстояние АD умножением длитель­ности грома на скорость звука, можно считать его равным длине молнии.

50. Если экспериментатор находится непо­средственно у колокола, он воспринимает звук в момент удара. Однако по мере удаления от колокола видимые и слышимые удары перестают совпадать, так как на прохождение пути от колокола до человека звуковым колебаниям требуется значительно большее время, чем световым (в большинстве практически важных случаев мо­жно считать, что свет распространяется мгно­венно).

Сначала разница во времени растет, но затем на­чинает уменьшаться, и на некотором расстоянии человек снова услышит и увидит удар одновременно. По мере удаления от колокола это будет происходить периодически.

В первый раз совпадение произойдет на таком расстоянии, которое звук проходит за промежуток времени между двумя последующими ударами. При этом, наблюдая удар, человек будет слышать звук предыдущего удара. Поскольку по условию задачи интервал между двумя ударами равен одной секун­де, то достаточно измерить расстояние от колокола до тЬго места, где слышимые и видимые удары снова начинают совпадать, чтобы найти численное значение скорости звука.

51. Решение иллюстрируется рис. 22. Поставив ли­нейку вертикально, нужно отметить на земле длину тени В₁С₁ а потом измерить ее, а также длину тени ВС от дерева.

Из подобия треугольников АВС и А₁В₁С₁ находим:

где А₁В₁ — известная длина линейки.

52. Нужно нажать на пусковую кнопку секундо­мера в тот момент, когда на световом табло значение скорости v₁ меняется на следующее v₂, и остановить секундомер, когда происходит очередное изменение показаний v₂ на v₃.

Если начать движение со скоростью v₁ непосредст­венно перед первой сменой показаний табло, автомобиль подъедет к следующему светофору под зеленый свет, пройдя расстояние S до него за время

Если же движение начинается в момент смены показаний табло с v₂ на v₃ (т. е. в момент остановки секундомера), то скорость автомашины должна быть не менее v₂ и расстояние S будет пройдено за время

Совершенно очевидно, что разность t₁ – t₂ и равна показаниям секундомера τ. Таким образом,

откуда

Например, если v₁ = 45 км/ч, v₂ =50 км/ч и τ = 8 с, то

53. Пусть мальчики измеряв расстояния S₁ и S₂, которке они, оттолкнувшись друг от друга, проезжают до полной остановки. Помножив эти расстоя­ния на соответствующие массы, коэффициент тре­ния k и ускорение свободного падения g, находим работы тормозящих сил

Отсюда имеем следующие равенства:

Поделив их почленно, получаем:

С другой стороны, количества движения, получен­ные при отталкиваний мальчиками, должны быть рав­ными, т. е.

Приравнивая отношения квадратов скоростей, полу­чаем для искомой величины:

Поскольку расстояния S₁ и S₂ измерены, задача ре­шена. Следует только отметить, что заслуживающий доверия результат можно получить лишь в том слу­чае, если измерения проделаны неоднократно и во внимание принято среднее значение.

54. Установим рейку перпендикулярно к земной поверхности и измерим рулеткой длину l₁ тени, кото­рую она отбрасывает. Затем отойдем от берега не­много дальше, вновь поставим рейку вертикально и опять измерим длину l₂ ее тени. Из подобия треу­гольников АВС₁ и А₁В₁С₁ (рис. 23) можем записать пропорциональность сходственных сторон:

(все обозначения приведены на рисунке). Аналогично из треугольников АВС₂ и А₂В₂С₂ имеем:

Найдем из полученных пропорций S₁ и S₂:

(1)

(2)

Вычитая из второго выражения первое, получаем:

Отсюда высота столба Н равна

Чтобы ответить на второй вопрос задачи, уравне­ние (1) поделим на (2):

Воспользовавшись свойствами производных про­порций, имеем:

откуда расстояние S₁ до столба

Необходимые для вычислений Н и S₁ значения h, l₁, l₂ и S₂ – S₁ находятся с помощью рулетки.

55. Возможны, например, следующие два решения.

А. Установим ствол пистолета вертикально вверх, произведем выстрел и измерим рулеткой высоту к, на которую поднимется пуля. Из закона сохранения энергии

легко получить следующее выражение для скорости пули:

Б. Можно также установить пистолет горизон­тально и измерить расстояние l, на которое улетит пулька. Если высота ствола над уровнем земли рав­на h, то пулька будет находиться в полете в течение времени

пролетев за это время по горизонтали расстояние

Исключая из этих двух уравнений время t, получаем:

В этой и двух последующих задачах мы прене­брегаем влиянием сопротивления воздуха на характер движения рассматриваемых объектов, что допустимо ввиду малости их скоростей.

56. Установив ствол пистолета вертикально вверх, определим по секундомеру время t₀, прошедшее с мо­мента выстрела до падения пульки на землю.

Высота h, на которой находится брошенное вверх с начальной скоростью v₀ тело спустя время t после броска, может быть найдена из уравнения

Полагая в этом выражении h = 0, что соответст­вует как началу, так и концу полета пули, получим Неполное квадратное уравнение

решения которого имеют вид

Первое, как нетрудно догадаться, относится к моменту выстрела, второе — к моменту падения пульки на землю. Поэтому, полагая t₂ равным полному вре­мени полета пульки t₀, получим t₀ = 2v₀/g, откуда

Можно предложить и более простое решение. Так как в верхней точке траектории скорость пули равна нулю, из соотношения

можно найти время подъема t₀ = v₀/g. После этого имеем:

поскольку путь вверх и вниз занимает одинаковое время.

Но, во-первых, последнее утверждение требует от­дельного (и, в сущности, не особенно простого) обоснования, а во-вторых, полезно ознакомиться и с изложенным методом рассуждений, который может при­водиться при решении более сложных задач.

57. Пусть, мальчик и девочка поочередно бросят мяч горизонтально. Измерим рулеткой дальности бросков S₁ и S₂ в обоих случаях.

Дальность полета мяча можно записать как произведение начальной скорости на время движения. Последняя величина находится из рассмотрения движения по вертикали. Если высота, на которой на­чинается полет мяча, равна h, то

и для дальностей полета получаем соответственно

Поделив одно выражение на другое, имеем для отношения дальностей полета;

Отсюда имеем отношение скоростей

Таким образом, для решения задачи достаточно измерить рулеткой дальности бросков и высоты, с ко­торых начинаются полеты мячика. Чтобы упростить измерения и решение, можно уравнять h₁ и h₂, попро­сив более низкого из соревнующихся встать на под­ставку подходящей высоты. Тогда

58. Встав у самой реки, выберите на противопо­ложном берегу, в непосредственной близости от воды, два хорошо заметных предмета и найдите такую тра­винку, чтобы, находясь в вытянутой руке, она закры­вала промежуток между выбранными предметами. Разумеется, один глаз при этом должен быть закрыт.

После этого сложите соломинку вдвое и отходите от берега до тех пор, пока она вновь не закроет про­межуток между теми же ориентирами. Затем измерь­те расстояние между точками, где вы стояли сна­чала и потом. Оно и будет равно ширине реки.

Действительно, из подобия треугольников AВС и ОDС (см. рис. 24, a) мы можем записать:

где АВ — расстояние между выбранными предметами, AС — расстояние от них до первой точки наблюдения (ширина реки), ОD — размер травинки и ОС — длина вытянутой руки.

Аналогично из подобия треугольников АВG и ЕFG (см. рис. 24, б) имеем:

или, поскольку ЕF = ОD/2 и ЕG = ОG,

(2)

Поделив равенства (2) и (1) почленно, получит

откуда

Расстояние СG измеряется шагами.

Рис. 24.

59. Из перечисленного в условии задачи набора предметов легко соорудить простейший гальваниче­ский элемент, использовав в качестве электролита ра­створ нашатыря в воде, а для изготовления электро­дов— медную проволоку и цинк. Проткнув проволоку через пробку, можно сделать «плавающие электро­ды», как это показано на рис. 25.

Если замкнуть электроды соленоидом, состоящим из нескольких витков проволоки, то по цепи потечёт ток, и соленоид установится по магнитному меридиа­ну. Поскольку знаки полюсов изготовленного элемента известны (медь — положительный полюс, цинк — отрицательный), нетрудно, пользуясь правилом бурав­чика, определить магнитные полюса соленоида, а пос­ле этого — направление на север­ный и южный полюсы Земли.

60. Прежде всего из транспор­тира и грузика соорудим прими­тивный эклиметр — прибор для измерения угла α между гори­зонталью и направлением АВ на некоторую точку (схематически прибор показан на рис. 26). За­тем поставим блюдце со ртутью на землю и отойдем на такое расстояние, чтобы видеть в нем отражение вершины башни, после чего измерим эклиметром показанные на рис. 27 уг­лы, α и β.

Из треугольника AВС имеем:

С другой стороны,

причем

Подставляя эти значения в предыдущую формулу и приравнивая оба выражения для АВ, получим:

откуда

где h — расстояние от земной поверхности до глаз че­ловека, известное по условию задачи.

Поскольку ртуть токсична, то в опыте нужно соблюдать особую осторожность. Можно также, хотя и с меньшим успехом, заменить ртуть водой. В этом случае полезно дно блюдечка зачернить.

61. По мере роста высоты над уровнем моря ат­мосферное давление убывает. С другой стороны, с уменьшением давления уменьшается и температура кипения воды. Это обстоятельство иногда используется альпинистами для определения высоты подъема. Точные результаты получаются, если применяются специальные таблицы, а для трубых подсчетов достаточно помнить, что понижение точки кипения воды со­ставляет примерно 0,3 °С на каждые 100 м подъема.

62. Пусть на некотором (неизвестном) расстоянии R от источника света измеренная люксметром осве­щенность равна Е₁. Отойдем от него дополнительно на расстояние d и вновь воспользуемся люксметром. Пусть во втором случае его показания составят Е₂. На основании законов освещенности можем записать:

Определяя R из первого выражения и подставляя по­лученное значение во второе, получаем иррациональное уравнение относительно силы света I:

Необходимое для вычислений значение d определя­ется рулеткой.

63. На неподвижное относительно вращающейся системы тело, например сидящую на диске проигрывателя муху, действует в этой системе сила, называемая центробежной силой инерции, которая стремится удалить тело от оси вращения. Если же тело приходит в движение относительно вращающейся си­стемы (муха начинает ползти), появляется, незави­симо от направления движения, еще одна сила инер­ции, именуемая кориолисовой, действующая под прямым углом к вектору скорости движения тела.

Движущиеся по поверхности Земли люди не за­мечают этой силы только потому, что ее величина мала вследствие сравнительно медленного вращения Земли. Однако именно сила Кориолиса приводит к тому, что все реки, текущие в северном полушарии в самых разных направлениях, подмывают сильнее правые берега а в южном — левые (этот закон был сформулирован русским академиком К. М. Бэром в 1857 г.). По этой же причине ветры и морские течения в северном полушарии заворачивают направо, а в южном — в противоположном направлении.

Сила Кориолиса исчезает только в том случае, ко­гда скорость предмета направлена вдоль оси враще­ния системы. Наоборот, если движение происходит 8 перпендикулярном направлений, сила Кориолиса максимальна.

Используя эти сведения, можно решить задачу следующим образом.

Достаточно встать лицом к периферии платформы и покатить шарик от себя. Из-за вращения платфор­мы и появляющейся по этой причине силы Кориолиса его траектория не будет прямой линией. Если наблю­дается отклонение направо, вращение происходит против часовой стрелки (при взгляде на платформу сверху), и наоборот.

Отметим, что задачу можно решить и не привлекая сил Кориолиса, а на основании первого закона дина­мики (закона инерции).

64. Ощущение звука вызывается упругими волна­ми, распространяющимися в воздухе и имеющими частоту от 20 Гц до 20 кГц. Поскольку в газах воз­можны лишь продольные волны, распространение звука в воздухе сопровождается перемещением от ис­точника к наблюдателю чередующихся областей сжатия и разрежения газа.

Обозначим частоту колебаний, генерируемых сире­ной (т. е. число колебаний, излучаемых за 1 с) через v₀, скорость их распространения в воздухе через с.

Если бы электричка находилась в покое, то к кон­цу каждой секунды (то есть к моменту ухода от си­рены v₀ - го колебания), колебание, излученное в нача­ле этой секунды, удалялось бы от сирены на расстоя­ние, численно равное с, так что соседние области сжатий (или разрежений) были бы отделены друг от друга расстоянием λ₀ = с/v₀.

Однако на самом деле сирена вместе с электро­поездом движется со скоростью v, которую наблюда­тель должен определить. Поэтому колебания, излу­ченные в начале и конце каждой секунды прибли­жающимся поездом, разделены расстоянием, численно равным с – v, а области соседних сжатий газа — промежутком λ₀ = (с – v)/v₀. Поскольку после­довательность колебаний распространяется в воздухе с прежней скоростью с, то время, отделяющее приход одного колебания от другого, составит

Стало быть, частота колебаний, воспринимаемая наблюдателем, окажется равной

т. е. больше, чем в случае неподвижной сирены.

Рассуждая аналогичным образом, можно получить для частоты звука сирены, удаляющейся от на­блюдателя, значение

(меньше, чем для источника звука, покоящегося от­носительно наблюдателя и воздуха) *).

*) Изменение частоты колебаний может происходить также и за счет приближения наблюдателя к неподвижному ис­точнику или удаления от него, т. е. при изменении их взаимно­го расположения по любой причине. Это явление было предсказано теоретически в 1842 г. австрийским физиком и астрономом X. Допплером (поэтому оно и называется «эффект Допплера»). В 1845 г. голландский ученый X. Байс-Балло впервые экспериментально подтвердил существование эффекта Допплера для звуковых волн.

Поделив равенства почленно, получим:

Обозначив для краткости левую часть через k, легко находим:

Таким образом, зная во сколько раз изменяется во время прохождения электрички мимо наблюдателя ча­стота воспринимаемого от сирены звука (это наблю­датель с музыкальным слухом определяет по изме­нению высоты тона сирены), можно рассчитать ско­рость электрички. При этом точность расчета может быть довольно высокой, так как в области частот до 4 кГц человеческое ухо способно отличить по высоте тоны, разнящиеся на одно колебание в секунду, то есть для частоты 500 Гц на 0,002. В то же время при изменении скорости электрички от 20 до 21 м/с (т. е. с 72 до 75,6 км/ч) отношение частот меняется от 1,125 до 1,130, иначе говоря на 0,005.

65. Частицы мыльной пены, упавшей на чистую воду, разбегаются в стороны, что объясняется умень­шением сил поверхностного натяжения воды при растворении в ней мыла.

66. Если ребята будут подтягиваться друг к другу за веревку, то ускорения лодок будут одинаковыми только в том случае, когда массы лодок будут равны, так как силы, действующие на лодки, одинаковы (в соответствии с третьим законом Ньютона обе они равны по численному значению силе F натяжения ве­ревки):

Но тогда должны оказаться одинаковыми и пути, пройденные лодками до встречи, поскольку времена их движения, разумеется, одинаковы:

Стало быть, в равенстве масс мальчики могут быть уверены, добившись равенства путей, проходимых лодками до встречи. Сравнить пройденные пути легко, отмеривверевкой равные расстояния.

67. Пусть человек стоит на носу неподвижной лод­ки. Тогда сумма их количеств движения равна нулю. Если пренебречь сопротивлением воды (что можно делать при малых скоростях), эта сумма должна оставаться прежней и в том случае, когда человек начнет перемещаться к корме. Поэтому можно зави­сать:

где индексами 1 и 2 обозначены величины, относящи­еся соответственно к человеку и лодке.

Умножив обе части уравнения на время, за кото­рое человек проходит расстояние от носа к корме, по­лучим:

Откуда

В этом выражении S₁ и S₂ — перемещения чело­века и лодки относительно неподвижной воды («аб­солютные» перемещения). Учитывая, что человек про­ходит относительно лодки расстояние l, связь между ними можно записать в следующем виде:

Таким образом,

Следовательно, измеряя длину лодки и пройденный ею путь, можно рассчитать массу лодки, так как мас­са человека по условию известна.

Производя вычисления, следует иметь в виду, что смещения l и S₂ направлены в противоположные сто­роны и поэтому в приведенной формуле должны фи­гурировать с разными знаками. Легко видеть, что не­зависимо от принятого правила знаков искомая вели­чина в обоих случаях получится положительной, так как |l| > |S₂|. Если под S₂ и l понимать модули соответствующих перемещений, то расчетную формулу нужно записать таким образом:

Поскольку в оба последних выражения входит отношение отрезков l – S₂ и S₂, совершенно не обязательно выражать их в общепринятых единицах; можно, например, выломать небольшой прутик и опре­делить, сколько раз он укладывается на этих отрезках. Так что можно обойтись даже и без веревки. Однако удобнее вначале отмерить от нее два куска, равные отрезкам S₂ и l – S₂, а затем измерять уже их.

68. По-видимому, турист выключил свой походный приемник в тот момент, когда услышал первый сигнал проверки времени, одновременно заметив показания часов. Второй раз он засек время, услышав тот же сигнал проверки, пришедший от громкоговорителя, установленного на базе. Разность времен Δt, умно­женная на скорость звука с, дает расстояние между местом привала и базой:

Можно подсчитать, что при расстоянии порядка 3 км относительная ошибка расчета составит не бо­лее 10%, что не так уж плохо.

Легко видеть, что расчет можно выполнить не только во время проверки времени: вместо сигнала точного времени можно выбрать конец какой-либо фразы, передаваемой по радио.

Однако, пользуясь сигналами точного времени (по программе «Маяк» они передаются каждый час), можно приближенно определить расстояние до базы, если оно не очень велико, даже без помощи часов. Действительно, пусть пятый сигнал (напоминаем, что всего их передается шесть с секундными интервала­ми), который услышат туристы по своему приемнику, совпадет с первым сигналом, дошедшим от установ­ленного на базе громкоговорителя. Это означает, что на прохождение пути от базы до лагеря звуку потре­бовалось время 4 секунды. Умножая это время на скорость звука, находим расстояние до базы по прямой.

Нетрудно видеть, что использованный здесь прием несколько напоминает тот, о котором рассказано в решении задачи № 49.

69. Эта задача решается с помощью закона Бойля— Мариотта. Аквалангисту следует погрузиться на дно, держа мензурку отверстием вниз, и посмотреть, на каком делении установится уровень вошедшей в нее воды (рис. 28).

При нормальном ат­мосферном давлении р₀ воздух в мензурке зани­мал объем

где l — высота, а S — площадь поперечного се­чения мензурки.

На дне озера давле­ние возрастет до

где h— искомая глубина озера, ρ — плотность воды и g — ускорение свободного падения.

Поэтому объем воздуха в мензурке уменьшится до

где х — высота воздушного столбика в мензурке, когда она находится на дне озера.

Считая температуру и плотность воды на различ­ных глубинах неизменными, имеем на основании за­кона Бойля — Мариотта:

откуда после несложных преобразований полунаем:

При этом совершенно несущественно, в каких еди­ницах выражены величины l и х. В частности их мо­жно подставить и в делениях шкалы, нанесенной на мензурке. Дело в том, что в конечное выражение вхо­дит отношение однородных величин l – х и х, зна­чение которого не зависит, естественно, от выбора единиц измерения длины. Поскольку атмосферное давление меняется во времени сравнительно мало, мы можем считать его постоянной величиной, равной 0,1013 МПа. Точно так же практически постоянными являются плотность воды (1000 кг/м³) и ускорение свободного падения (9,8 м/с²).

Цилиндрическая мензурка, очевидно, может быть заменена на коническую. В этом случае уравнение за­кона Бойля — Мариотта имеет вид р₀V₁ = (р₀ + ρgh)V₂ (V₁ и V₂ —объемы, занимаемые воздухом в мензур­ке соответственно на поверхности и у дна озера, которые можно отсчитать по делени­ям), и для глубины озера находим:

Желательно, чтобы деления на мензурке в обоих случаях были нанесены до самого верха. В противном случае нужно, погрузив мензурку чуть-чуть под воду, зачерпнуть в нее немно­го воды, чтобы уровень последней совпал с началом делений.

70. Нужно подвесить гирю на леску так, как это показано на рис. 29, а затем тянуть в направлении, указанном стрелкой α.

Между силами F и Р существует соотношение

Откуда

Постепенно натягивая леску, мы увеличиваем угол α, в результате чего возрастает сила натяжения F. Заме­тив по транспортиру угол, при котором наступает разрыв лески, можно подсчитать допустимую на­грузку.

Если леска разрывается даже при α = 0°, ее следу­ет сложить вдвое и заново проделать описанную опе­рацию, не забывая разделить конечный результат на два.

71. Формулу

,

полученную при решении предыдущей задачи, можно нереписать в следующем виде (см. рис. 29):

Натягивая леску, нужно определить расстояние меж­ду точками A и С в момент обрыва, а также полу­длину АВ лески. Эти измерения выполняются с помощью рулетки.

72. Постепенно увеличивая частоту вращения лески с привязанной к ней гирькой, добиваемся разрыва лески. Действующая на вращающееся тело цен­тростремительная сила F_цс равна

где v — число оборотов в единицу времени (за 1 с), т — масса вращающегося тела, R — радиус враще­ния, υ — линейная скорость тела.

Из приведенного выражения видно, что центро­стремительная сила должна возрастать вместе с ча­стотой вращения. Но практически возрастать беспре­дельно она не может, поскольку центростремительная сила обязана, своим происхождением натяжению ле­ски, сила которого не может превысить

где d — диаметр лески, а σ — сопротивление на раз­рыв материала, из которого она изготовлена.

Приравнивая"два последних выражения, получаем для определения интересующей нас величины:

Необходимое для вычислений значение критиче­ской частоты вращения определяется непосредствен­ным подсчетом числа оборотов за некоторое время при скорости, лишь немного меньше критической.

73. Вначале с помощью секундомера определяется время t₁, прошедшее от момента падения камня в во­ду до прихода к берегу образовавшихся в результате волн, а также число их n, достигающее берега за не­которое время t₂. Хотя и не особенно точно, можно все же определить линейкой расстояние между двумя «горбами» или двумя «впадинами», то есть длину приходящих волн λ.

Очевидно, что искомое расстояние можно записать следующим образом:

где υ — скорость распространения волн. Поскольку υ = λv, причем v = n/t₂ (v — часто­та колебаний в приходящей вол­не) , то

74. Если поезд движется слева направо со скоростью υ_п, то от­носительно него капли имеют точно такую же по численному значению, но противоположно на­правленную скорость υ_п’. Кроме того, дождевые капли движутся относительно вагона сверху вниз со скоростью, которую нам надлежит определить и ко­торую мы обозначим υ_x. Вектор результирующей ско­рости υ, как это видно из рис. 30, образует с верти­калью угол α, удовлетворяющий условию

Из этого выражения получаем для скорости падения дождевых капель:

Угол α определяется транспортиром, а скорость поезда уп подсчитывается по времени, за которое поезд проходит путь от одного километрового столба до другого (эти столбы хорошо видны даже в дождли­вую погоду).

75. Относительно автомобиля капля участвует в двух движениях одновременно — по вертикали и по горизонтали. Результирующая скорость υ направлена под некоторым углом α к вертикали, причем (см. ре­шение предыдущей задачи)

где υ_а — скорость автомобиля, а υ_х — интересующая нас скорость падения капли. Тан­генс угла α можно определить, из­меряя катеты в прямоугольном треугольнике, образованном сле­дом капли (гипотенуза) и рамка­ми окна (катеты); скорость авто­мобиля можно отсчитать по спи­дометру. После этого рассчиты­вается υ_х:

76. Привяжем гирьку к нити и подвесим полученный маятник к потолку вагона. При равноускоренном движении поезда маятник будет отклоняться до тех пор, пока равнодействующая F силы тяжести Р и силы натяжения нити R не приобретет значения, достаточного для сообщения гирьке того ускорения, которым обладает поезд.

Из подобия треугольников АОВ и АСD (рис. 31) имеем:

откуда получаем:

где l — длина маятника, х — его отклонение от поло­жения равновесия, отсчитанное по горизонтали.

Таким образом, измерив длину подвеса и отклоне­ние маятника, можно рассчитать ускорение поезда.

77. Из треугольника AСD изображенного на рис. 31, находим:

Последнее равенство можно представить в виде

откуда

где Р — показания динамометра в поезде, покоящем­ся или идущем равномерно, а R — в движущемся рав­ноускоренно.

78. Измерив транспортиром угол АОВ (см. рис. 31), находим из соотношения

ускорение поезда:

79. При изменении температуры от t₁ до t₂ радиус колеса изменится от

r₁ = r₀

а длина окружности — от

до

Поэтому число оборотов колеса на каком-то расстоянии L изменится

Поделив эти выражения почленно друг на друга, получим:

откуда

N₁ и N₂ определяются по счетчику оборотов, а t₁ и t₂ — с помощью термометра.

Для стального колеса (а = 1,2·10^-5 К^-1) радиусом 0,5 м число оборотов на пути 100 км при увеличении температуры от – 25 до +25°С (что требует выполне­ния опыта в разные времена года — зимой и летом!) меняется всего на 19, так что этот метод не может претендовать на высокую точность.

80. В комбинации приборов, называемой спидомет­ром, имеется не только указатель скорости, но и счет­чик пройденного пути.

Поддерживая по спидометру строго постоянную скорость υ, нужно проехать такое расстояние S, чтобы частное от деления второй величины на первую рав­нялось одному часу.

Иначе говоря, пройденный автомобилем путь в, ки­лометрах должен быть численно равен его скорости, выраженной в км/ч.

81. Разогнав автомобиль, следует отключить мотор от ведущих колес и, заметив по спидометру скорость υ, определить с помощью того же прибора расстоя­ние S, пройденное автомобилем до остановки. При­равнивая кинетическую энергию автомобиля работе сил сопротивления:

находим коэффициентсопротивления движению:

По цифре в правей окошечке спидометра (сотни метров) пройденный путь можно отсчитать с точно­стью до 50 м (а при некотором навыке и до 30 м). Стрелка спидометра позволяет найти скорость с ошибкой около 2 км/ч. Пользуясь формулами теории ошибок, можно подсчитать, что при скорости 80 км/ч и пройденном пути 600 м относительная ошибка в определении к составит

что не так уж плохо.

82. Чтобы привести брусок в равномерное движе­ние вверх по наклонной плоскости, необходимо при­ложить силу F_вверх, равную сумме максимальной силе трения покоя F_тр = kРсоsα и составляющей F₁ силы тяжести бруска, направленной параллельно плоскости. В соответствии с рис. 32 имеем:

Аналогично получаем значение силы F_вниз, приво­дящей, брусок в равномер­ное движение вниз:

Вычитая из первого уравнения второе, имеем:

откуда

Так как силы F_вверх, F_вниз и Р можно найти с по­мощью динамометра, это выражение позволяет рассчитать синус угла наклона, а затем по таблицам най­ти и величину самого угла.

При небольшом наклоне можно обойтись без таб­лиц, поскольку для малых углов

если, конечно, угол а выражен в радианной мере. В этом случае

Умножая полученную величину на 57 град/рад, будем знать примерное значение угла наклона в градусах.

83. Составив с помощью имеющихся соединитель­ных проводников цепь из лампы и аккумулятора, под­несем компас снизу к одному из проводников, выбрав на последнем прямолинейный участок. Магнитное поле заставит стрелку компаса повернуться. По на­правлению поворота, можно, пользуясь правилом буравчика, определить направление тока, а затем и знаки полюсов аккумулятора.

Наличие лампы для решения задачи не обязательно, поскольку ее роль сводится лишь к ограничению тока в цепи, о чем при кратковременном включении аккумулятора можно не беспокоиться.

84. Следует соединить проводники с полюсами ба­тареи и опустить свободные концы в стакан с водой. В стакане начнется электролиз воды, который можно наблюдать по пузырькам газов, выделяющихся на погруженных в воду концах проводников (чтобы ин­тенсифицировать процесс электролиза, полезно кап­нуть в стакан каплю серной кислоты).

Так как молекула воды состоит из двух атомов водорода и лишь одного атома кислорода, а при равных давлениях равные объемы должны содержать одинаковое количество молекул газа, водорода при электролизе должно выделяться в два раза больше. Поэтому, посмотрев, на каком электроде видно боль­ше пузырьков, можно установить, где выделяется га­зообразный водород. После этого нетрудно узнать, с каким полюсом соединен соответствующий провод­ник, поскольку ионы водорода имеют положительный заряд и этот газ должен выделяться на ка­тоде.

85. Присоединим медные проводники к выводным клеммам аккумулятора, а свободные концы воткнем в картофелину. Проходя по ней, электрический ток вызовет электролиз содержащейся в картофелине воды. В результате этого процесса вблизи провод­ника, ведущего к отрицательному полюсу батареи, будет выделяться водород, а около соединенного с положительным полюсом — кислород. Взаимодействуя с медью, кислород образует окислы и гидроокислы меди, ионы которых окрашивают область около соот­ветствующего проводника в голубовато-зеленый цвет. У второго проводника окрашивания наблюдаться не будет.

Таким образом, проводник, около которого карто­фель зеленеет, соединен с положительным полюсом аккумулятора.

86. Определим с помощью секундомера время t, за которое обруч, выйдя из состояния покоя, скатится по шоссе на расстояние l, отмеренное по спидометру автомобиля (это расстояние можно отложить также по известной длине окружности колеса). При этом потенциальная энергия обруча убывает на величину

где α — искомый угол. Убыль потенциальной энергии равна приобретенной обручем кинетической энергии. Если бы обруч скользил по плоскости, его кине­тическую энергию можно было бы рассчитать по фор­муле

где υ — скорость движения центра обруча, а т — его масса. Однако при скатывании кинетическая энергия должна выражаться как сумма двух слагае­мых, выражающих кинетическую энергию, связанную с поступательным перемещением, и кинетическую энергию, обусловленную наличием вращения:

T = T_поступ + T_вращат.

Поэтому для нахождения кинетической энергий ка­тящегося обруча надо подсчитать кинетическую энер­гию поступательного движения, не обращая внимания на вращение, а затем, наоборот, вычислить кинети­ческую энергию, связанную с вращением, забыв о поступательном перемещении, и полученные выраже­ния сложить.

Вообще говоря кинетическую энергию вращающе­гося тела вычислить довольно трудно, так как разно­удаленные от оси вращения точки обладают различной скоростью (в такого рода вычислениях очень полез­ным является понятие момента инерции тела, о кото­ром мы уже упоминали в решении задачи № 44). Но для обруча задача сильно упрощается, так как все его точки отстоят от оси вращения на одно и-то же расстояние, равное радиусу обруча.

Если центр обруча движется относительно земли со скоростью υ, то все точки обода обладают относи­тельно центра такой же скоростью. Следовательно, второе слагаемое в написанном выше выражении можно представить в следующем виде:

где т₁ — массы отдельных «точек» обруча, дающие в сумме т — его полную массу.

Стало быть, для полной кинетической энергии получаем:

Считая движение обруча равноускоренным, нахо­дим его конечную скорость υ после прохождения пути l по нужному для этого времени t,

после чего выражение для кинетической энергии обру­ча приобретает вид

Приравнивая это значение убыли потенциальной энер­гии, получаем:

откуда можно найти синус угла наклона шоссе:

Все величины в последнем выражении либо изве­стны, либо могут быть непосредственно измерены.

Остается добавить, что ввиду относительной мало­сти наклона шоссе, как обычно бывает в большинстве случаев (однако наклон, вместе с тем все же не дол­жен быть очень малым, иначе обруч просто не пока­тится), можно пользоваться приближенным равенст­вом

(см. решение задачи № 82). Кроме того, следует пом­нить, что приведенное решение справедливо лишь в тех случаях, когда силы сопротивления малы.

87. Нужно подвесить оба маятника рядом, чтобы наблюдения за ними можно было вести совместно. Отклонив маятники, одновременно выпустите их из рук. В начальный момент фазы колебаний будут оди­наковыми, но постепенно маятник с меньшим перио­дом «обгонит» другой. Однако через некоторое время колебания снова совпадут по фазе.

Очевидно, что если к этому времени первый маят­ник совершит n колебаний, то второй — на единицу меньше. Поэтому можно записать:

где Т₁ и Т₂ — периоды первого и второго маятника.

Из получгенного выражения видно, что, зная пе­риод одного маятника (дан по условию), а также n (определяется счетом на опыте), можно найти период второго;

88. Вырезав из всех сортов бумаги узкие полоски, следует погрузить их концы в воду. В той полоске, где поры меньше, вода поднимется на большую высоту.

89. Определив вначале с помощью весов массу шарика и измерив мензуркой его объем, нетрудно рассчитать среднюю плотность. Получив для нее зна­чение, заметно отличающееся от 2,7 г/см³, можно быть уверенным, что шарик имеет внутри полость (см. решение задачи № 16).

Опустим шарик в сосуд с водой. Если полость сме­щена относительно центра, то шарик будет плавать на поверхности воды (если его средняя плотность ока­жется меньше плотности воды, что будет в случае полости больших размеров) или погружаться на дно всегда таким образом, чтобы полость находилась в наивысшем положении.

90. Будем поворачивать трубку Комптона вокруг горизонтальной оси на 180° и наблюдать за возника­ющим при этом движением частиц в приборе.

Пусть вначале тор располагался в вертикальной плоскости, параллельной направлению «восток —запад». Тогда перед перевертыванием трубки жидкость, находившаяся в ее верхней части, двигалась на восток вокруг центра Земли с большей скоростью, чем в нижней (чем больше радиус вращения, тем больше линейная скорость). После того, как трубка была пе­ревернута, объем, который двигался быстрее, оказался снизу, а двигавшийся медленнее — наверху. В результате возникает медленная циркуляция жидкости по часовой стрелке (если смотреть на трубку с север­ной стороны).

Чем больше плоскость трубки отклоняется от на­правления «восток — запад», тем слабее циркуляция, а если трубка ориентирована в направлении «север — юг», циркуляция вообще не возникает. Следователь­но, чтобы определить направление «восток — запад», нужно несколько раз повернуть трубку Комптона, вся­кий раз ориентируя ее по-разному, пока не выяснится положение, при котором жидкость циркулирует осо­бенно интенсивно.

91. Нужно к середине одного бруска приложить конец второго. Если первый является магнитом, вто­рой притягиваться не будет, так как на середине пря­молинейного магнита находится, как правило, так называемая нейтральная линия. Если же наблюда­ется притяжение, значит намагничен приложенный брусок.

Можно, впрочем, намагнитить прямой брусок и так, что у него на середине будет один из полюсов, например южный, а два северных — на концах (та­кой брусок можно рассматривать как два магнита, приставленные друг к другу южными полюсами). В этом случае нужно концом одного бруска провести вдоль второго. Если при этом постоянно наблюдается притяжение, значит первый брусок является магни­том (ведь на конце обязательно будет полюс). Если же притяжение наблюдается по мере перемещения лишь в некоторых точках, намагничен второй брусок.

92. Поставив обе колбы перед настольной лампой, рассмотрим ход лучей через обе жидкости. Поскольку показатель преломления у воды n₁ = 1,33, а у спирта n₂ =1,36, лучи после прохождения через колбу со спиртом соберутся ближе к колбе, чем после прохож­дения через колбу с водой.

93. Проще всего поступить следующим образом. Пользуясь секундомером, измерим время, в течение которого тележка, двигаясь под действием груза Р, по­ставленного на чашку прибора, проходит определенный путь, допустим от начала подставки до конца. Затем, сняв с тележки исследуемое тело, поставим на нее гири в таком количестве, чтобы тележка проходи­ла прежний путь за то же время, что и в первом слу­чае. Тогда суммарная масса гирь на тележке и даст массу тела.

94. Железный сердечник с двумя катушками мож­но рассматривать как обычный трансформатор. Если одну из его обмоток подключить к источнику пере­менного тока и измерить напряжения U₁ и U₂ на обе­их обмотках, можно определить отношение числа витков в обмотках, ис­пользуя пропорцию

Однако эти измерения не дадут возможности оп­ределить n₁ и n₂ по от­дельности. Поэтому намотаем поверх имею­щихся еще одну катушку с известным числом витков n. Тогда записанную вы­ше пропорцию можно будет дополнить еще одним от­ношением, содержащим напряжение U на дополни­тельной обмотке:

После этого имеем:

Величины U₁, U₂ и U определяются вольтметрам, а n — подсчетом витков при намотке вспомогательной катушки.

95. Собрав изображенную на рис. 33 схему, сле­дует, пользуясь законом Ома, определить по показа­ниям вольтметра U и амперметра I сопротивление R катушки электромагнита:

После этого микрометром измеряется диаметр про­волоки d и рассчитывается вначале ее длина

а затем и масса

В последних формулах ρ — удельное солротивление меди, D — ее плотность; эти величины можно взять из справочника.

96. Пусть масса пустого капилляра, определенная на весах, равна т₁. Наберем в него путем всасыва­ния некоторое количество ртути (разумеется, делать это нужно не ртом, поскольку ртуть ядовита, а с по­мощью резиновой груши) и вновь проиаведем взве­шивание. Пусть масса окажется теперь равной т₂. Следовательно, масса т ртутного столбика в капил­ляре равна

С другой стороны, т можно выразить через длину l ртутного столбика, его диаметр d и плотность ртути й следующим образом:

Из этих двух равенств получаем:

Поскольку длину ртутного столбика легко найти с помощью линейки, а плотность ртути можно взять из соответствующих таблиц, искомую величину не­трудно рассчитать.

97. Закрепим клеем оба картонных диска на оси мотора на расстоянии l друг от друга так, чтобы их плоскости были перпендикулярны к оси. Если во вре­мя работы мотора выстрелить из винтовки вдоль оси, то пробоины в обоих дисках окажутся смещенными друг относительно друга на угол

где ω – угловая скорость вращения мотора, которую легко определить по частоте вращения n, t — время, необходимое пуле, чтобы пролететь расстояние l меж­ду дисками, и υ — искомая скорость пули.

Из записанного равенства находим:

Рулеткой измеряется l, транспортиром — угол φ, а ча­стота вращения известна по условию задачи.

Отметим, что изложенная здесь идея была исполь­зована в 1920 г. немецким физиком О. Штерном в его опытах по определению скорости газовых моле­кул.

98. По закону Гука при не очень больших нагрузках удлинение х пружины прямо пропорционально приложенной силе F:

где k — так называемый упругий коэффициент (или коэффициент жесткости), зависящий от материала и размеров пружины.

Пусть под действием гири с известной силой тя­жести Р₁ закрепленная на штативе пружина испыты­вает растяжение х₁ а под действием тела с силой тяжести Р₂ пружина растягивается на х₂. Тогда имеем следующие два равенства:

Поделив их почленно друг на друга, находим:

откуда

Удлинения х₁ и х₂ измеряются линейкой, а Р₁ известно по условию задачи.

99. Положив брусок на доску, будем поднимать один ее конец до тех пор, пока брусок не придет в движение. Из рис. 32 (стр. 84) видно, что сила F₁, стремящаяся сдвинуть его в направлении, параллель­ном плоскости, равна Рsinα, где Р — сила тяжести бруска. В то же время максимальная сила трения покоя между бруском и плоскостью и сила трения скольжения при не слишком больших скоростях может быть записана в следующем виде:

(k — искомый коэффициент трения).

При равномерном движении составляющая F₁ си­лы тяжести брускаравна тормозящей силе, т. е.

откуда для коэффициента трения получаем:

Таким образом, для нахождения коэффициента трения достаточно измерить h и l.

100. В решении задачи № 82 найдены выражения для сил, необходимых, чтобы привести брусок в рав­номерное движение вверх и вниз по наклонной плос­кости. Напомним их:

Вычитая из первого уравнения второе, находим выражение, позволяющее определить синус угла на­клона плоскости к горизонту:

Складывая те же уравнения, можно получить со­отношение для вычисления косинуса того же угла:

Возводя два последних равенства в квадрат и складывая, получаем:

откуда находим коэффициент трения:

Необходимые для выполнения расчетов силы F_вверх, F_вниз и Р находятся с помощью динамометра.

101. Следует закрепить блок на некоторой высоте над полом (например, привинтить его к потолку) и, перекинув через него шнур, привязать к концам шну­ра гирю и исследуемое тело. Для упрощения после­дующих расчетов полезно эти два предмета разме­стить на одной высоте, как показано на рис. 34. После этого дадим гире я исследуемому телу возмож­ность двигаться. В зависимости от соотношения меж­ду массами гири М₀ и тела М_х возможны следующие три слу­чая:

а) Система покоится. Это будет в том случае, когда М_х = М₀. Тогда дальнейшие процедуры не требуются, так как задача решена.

б) Гиря опускается, а тело идет вверх. Для этого необхо­димо, чтобы масса гири превы­шала массу тела: М_х < М₀.

Пользуясь вторым законом динамики, найдем ускорения обоих тел:

Путь, пройденный за время t телом, движущимся с постоянным ускорением а при нулевой начальной скорости, может быть найден из уравнения

Подставив сюда записанное выше значение ускоре­ния, получим:

Отсюда можно найти, что

Величина М₀ известна по условию задачи, g — по­стоянная величина, а t — измеряется секундомером. Таким образом, для решения задачи нужно указать способ определения пути h, проходимого гирей и те­лом за время t (в качестве этого пути удобно выбрать расстояние до пола, см. рис. 34). Здесь можно воспользоваться методом, предложенным в решении задачи № 39 для вычисления высоты, длины и шири­ны комнаты; этот метод сводится к тому, что с по­мощью бечевки и гирьки изготовляется «математи­ческий маятник», длина которого, равная искомому расстоянию (в нашем случае расстоянию гири или тела до пола), в дальнейшем рассчитывается по фор­муле маятника, период которого Т определен с помощью секундомера:

в) Если М_x > М₀, то выражения для ускорения системы и массы исследуемого тел имеют соответст­венно следующий вид:

Все входящие в последнее выражение величины либо известны, либо могут быть определены уже рассмот­ренными способами.

Остается добавить, что во всех трех случаях для правильного решения задачи необходимо, чтобы тре­ние на оси блока было как можно меньше, а для двух последних, т. е. (б) и (в), требуется, чтобы как можно меньшей была и масса блока, точнее — его мо­мент инерции.

102. Необходимо нагреть брусок до 100 °С в банке с водой, поставленной на спиртовку. После этого бру­сок перемещается в калориметр, куда предваритель­но налито определенное, отмеренное мензуркой, ко­личество воды. Первоначальная и конечная темпера­туры воды измеряются термометром и из уравнения теплового баланса

определяется масса бруска m₁. В этом уравнении m₂ и m₃ — массы налитой в калориметр воды и самого калориметра; c₁, c₂ и c₃ – удельные теплоемкости стали, воды и вещества, из которого изготовлен кало­риметр, t₁ и t — начальная и конечная температуры воды в калориметре.

103. Набейте внутренний стакан одного из кало­риметров влажным снегом и поставьте стакан на плитку. Расплавьте снег и доведите образовавшуюся воду (ее должно быть немного меньше половины ста­кана) до кипения. Пока вода нагревается, охладите внутренний сосуд второго калориметра до 0°С, поме­стив туда на некоторое время тающий снег. Когда вода закипит, заполните второй калориметр свежей порцией снега и поставьте его на весы. Отливайте из первого калориметра кипяток, пока весы не уравно­весятся. После этого влейте остаток кипятка во влаж­ный снег и, хорошо перемешав их, определите темпе­ратуру смеси. Последние операции проделывайте до­статочно быстро, чтобы потери тепла в окружающее пространство были не особенно велики. Теперь можно приступить к расчетам.

Обозначим массы влажного снега и влитого в него кипятка через т, температуру после их смешения че­рез Θ, удельную теплоемкость воды через с, удельную теплоту плавления льда через λ и содержание льда во влажном снеге (искомая величина) через k. Тогда:

количество тепла, необходимого для плавления льда, содержавшегося во влажном снеге, составит kmλ:

количество тепла, пошедшего на нагревание до температуры Θ воды, образовавшейся при плавлении льда и уже бывшей во влажном снеге, будет равно mcΘ;

количество тепла, выделившегося при охлаждении кипятка от температуры 100°С до Θ, выразится таким образом: тс(100 – Θ).

Затем из уравнения теплового баланса

находим интересующуюнас величину

Выясним, при любом ли содержании льда во влажном снеге можно решить задачу таким образом; не окажется ли в некоторых случаях кипятка недо­статочно, чтобы расплавить весь лед (тогда термо­метр покажет 0°С независимо от первоначального со­держания льда)?

Для ответа на поставленный вопрос разрешим уравнение теплового баланса относительно Θ:

и заметим, что описанным способом задача разреши­ма только в том случае, если Θ будет, больше 0 °С. Решая неравенство

находим необходимое условие:

Подставляя в правую часть численные значения теплоемкости воды и теплоты плавления льда, находим:

Поскольку k по смыслу не может превышать едини­цу, задача, следовательно, всегда разрешима.

104. Уравнение теплового баланса (см. решение задачи № 102) в этом случае имеет вид

где t_x — искомая температура. Таким образом, ее легко найти, решив это уравнение. Масса бруска, если она не известна, определяется разобранным в задаче № 102 способом.

105. Составим цепь из аккумулятора, амперметра и известного сопротивления R и измерим в ней ток I₁. По закону Ома имеем:

где ξ — э. д. с. аккумулятора, r — его внутреннее со­противление. Затем вместо известного сопротивления R включим в ту же цепь неизвестное сопротивление R_х и снова измерим ток. Новое значение силы тока I₂ по тому же закону равно

Стало быть, для определения трех величин ξ, r и R_х имеются лишь два уравнения. Такая система, как известно, не имеет единственного решения, и для определения неизвестных величин необходимо еще одно уравнение. Многие затрудняются его составить. Между тем сделать это нетрудно. Достаточно соеди­нить искомое и известное сопротивления либо после­довательно, либо параллельно и найти идущий при этом ток: для последовательного соединения

(3)

а для параллельного

(4)

Дополнив уравнения (1) и (2) соотношением (3) или (4), получим систему из трех уравнений, откуда можно найти три неизвестные величины ξ, r и R_х. В частности, получаем:

если использованы уравнения (1), (2) и (3), или

если в систему включены уравнения (1), (2) и (4).

106. Для вычисления средней скорости велосипе­диста понадобится знать путь и время. Величину пу­ти определим линейкой по карте (масштаб карты обычно указывается). А элемент Грене даст возмож­ность определить время.

Дело в том, что при работе любого гальваническо­го элемента в электролите растворяется вещество, из которого изготовлен отрицательный электрод. В эле­менте Грене, например, протекает следующая реак­ция:

Массу т перешедшего в раствор цинка можно най­ти из первого закона Фарадея по времени работы элемента t и силе тока I, текущего по цепи, в которую включен элемент:

где k — электрохимический эквивалент цинка.

Отсюда вытекает решение задачи. С помощью со­единительных проводов следует составить цепь из элемента, реостата и амперметра, предварительно взвесив цинковый электрод. Эта цепь замыкается во время старта велосипедиста и выключается в момент его возвращения. После этого цинк вновь взвешива­ется и по разности масс т₁ – т₂ = т, силе тока I и взятому из таблиц значению электрохимического эк­вивалента определяется время путешествия.

107. Следует помнить, что в цепи переменного тока каждый конденсатор ведет' себя как резистор, сопротивление которого обратно' пропорционально емкости,

(ω — круговая частота неременного тока). Таким об­разом, общее сопротивление составленной из конден­саторов схемы в цепи переменного тока будет про­порционально 1/С_общ. Если сопротивление схемы, со­стоящей из одинаковых резисторов, включенных между собой так же, как конденсаторы, равно R_общ. то можно написать пропорцию

из которой получим:

По условию задачи емкость одного конденсатора из­вестна, а R и R_общ можно найти по закону Ома, со­ставив цепь из аккумулятора, резисторов, амперметра и вольтметра.

К тому же заключению можно придти несколько иным способом.. При последовательном соединении резисторов складываются их сопротивления, а при последовательном соединении конденсаторов — величины, обратные их емкостям. Наоборот, при параллельном соединении резисторов складываются величи­ны, обратные их сопротивлениям, а при параллельном соединении конденсаторов суммируются их емко­сти. Стало быть, в любой комбинации из параллель­ных и последовательных соединений величина 1/С ве­дет себя так же, как величина R, откуда снова вытека­ет прежнее равенство:

108. Сопротивление R отрезка проволоки, равного по длине высоте комнаты, можно определить по зако­ну Ома, собрав цепь, в которой источником тока яв­ляется аккумулятор, а внешним участком (нагруз­кой)— упомянутый отрезок. Если амперметр, вклю­ченный последовательно с ним, показывает ток силой I, а соединенный параллельно вольтметр регистри­рует разность потенциалов U, то

где S — площадь поперечного сечения проводника, а ρ — удельное сопротивление меди.

С другой стороны, массу т этого отрезка, опреде­ленную взвешиванием на весах, можно выразить че­рез его длину l, площадь сечения S и плотность меди D следующим образом:

Перемножая равенства, получаем:

Величины I, U и т измеряются на опыте, а значе­ния ρ и D берутся из справочника. Таким же образом определяется длина и ширина комнаты, а затем нахо­дится ее объем.

Если падение напряжения на отрезке, равном дли­не комнаты, мало и с трудом определяется по вольт­метру, нужно включить в цепь отрезок, длина которо­го в некоторое целое число раз превышает размер комнаты (для этого достаточно уложить проволоку по длине, ширине или высоте комнаты несколько раз).

109. Из решения предыдущей задачи следует, что, взвесив отрезок проволоки, длина которого равна вы­соте комнаты, и используя взятое из справочника значение плотности меди, можно рассчитать произве­дение длины отрезка на площадь его поперечного се­чения:

Постепенно увеличивая затем массу подвешенных к проволоке гирь, определим критическую нагрузку P_кр, при которой произойдет разрыв проволоки. Ве­личина критической нагрузки прямо пропорциональ­на площади поперечного сечения проволоки:

где σ— предел прочности меди (см. задачи № 45 и 72), значение которого можно взять из справочника. Перемножая последние два равенства почленно, получим после сокращения на S:

откуда

Далее таким же образом определяется длина и ши­рина комнаты и после этого ее объем.

К сожалению, для различных сортов меди предел прочности меняется в довольно широких пределах. Поэтому хорошие результаты есть надежда получить лишь в том случае, когда используется медь, для ко­торой сопротивление на разрыв известно достаточно точно.

110. Частота N биений, между камертоном и ор­ганной трубой равна

где v_к — частота звука, издаваемого камертоном, и v — частота звука, издаваемого органной трубой. Пер­вая, величина постоянна по условию, тогда как v ме­няется при нагревании или охлаждении воздуха в по­мещении.

В самом деле, длину λ звуковой волны, идущей от органной трубы, можно выразить через скорость рас­пространения звука с и его частоту v следующим об­разом:

С другой стороны, для открытой органной трубы дли­на волны основного тона

где l — длина трубы. Из двух последних равенств по­лучаем:

Звуковые волны распространяются в воздухе со скоростью того же порядка, какой при данной темпе­ратуре обладают его молекулы. Так как кинетическая энергия последних прямо пропорциональна абсолют­ной температуре Т,

то скорость молекул υ, а, следовательно, и скорость звука с прямо пропорциональна корню квадратному из Т:

Отсюда отношение скорости звука с при некото­рой температуре Т к ее значению с₀ при Т = 0 °С равно

Учитывая записанное выше равенство (*), выра­жающее зависимость между частотой звука, издава­емого органной трубой, и скоростью распространения звуковых волн, мы можем переписать последнее вы­ражение в следующем виде:

где v₀ — частота органной трубы при 0 °С, равная по условию задачи 440 Гц.

Подставив полученное отсюда значение частоты органной трубы при температуре Т в исходное выражение для частоты биений, получаем:

откуда для температуры Т в лаборатории имеем:

Это выражение легко проверить. Подставив N = 0, получим: Т = Т₀. Действительно, при T = 0 °С частоты камертона и органной трубы совпадают и биения от­сутствуют.

111. Надо разломать полотно на две части. Если полотно было намагничено, обе половинки будут вза­имодействовать между собой.

112. Вначале следует определить массу m всей пластинки. Затем при помощи угольника нужно построить на ней прямоугольник с известными сторо­нами, вырезать его ножницами и определить на ве­сах его массу т₀. Если пластинка везде одинакова по толщине, ее масса т во столько раз превышает массу т₀, во сколько раз площадь S всей пластинки больше площади S₀ прямоугольника:

Отсюда

Площадь S₀ находится перемножением длин сторон.

Если пластинку разрезать нежелательно, следует обвести ее контур карандашом на листе картона или плотной бумаги, вырезать полученную фигуру и про­делать описанные измерения на ней.

113. Если плотность при затвердеванииуменьша­ется, брошенный в расплав кусочек того же вещест­ва будет плавать по поверхности. Так, например, ведет себя в воде лед, у которого плотность в 1,1 раза меньше, чем у воды. Наоборот, кусочек твердого железа тонет в расплаве, что означает увеличение плотности железа при затвердевании.

В первом случае объем вещества при затвердева­нии расплава увеличивается, во втором — уменьшав ется.

114. Разобьем мысленно пластинку на прямо­угольники, как показано пунктиром на рис. 35, a. Центр тяжести первого прямоугольника будет лежать в точке М₁, где пересекаются его диагонали. Анало­гично находится положение центра тяжести N₁ вто­рого прямоугольника. Следовательно, центр тяжести пластины должен лежать на прямой М₁N₁.

Рассуждая подобным же образом, находим, что искомая точка должна лежать на прямой М₂N₂, где М₂ и N₂ — центры тяжести прямоугольников, показан­ных на рис. 35, б. Но если центр тяжести одновремен­но находится на двух пр'ямых, он должен совпасть с точкой их пересечения (см. рис. 35, в).

А теперь попробуйте, используя разобранный ме­тод, найти центры тяжестей изображенных на рис. 36 плоских фигур, имеющих форму неправильных четы­рехугольников.

115. Для решения этой задачи надо вспомнить правило левой руки, с помощью которого определяется направление силы, действующей на проводник с током в магнитном поле,

Если лампа питается переменным током, то под­несенный к ней магнит приведет нить лампы в коле­бательное движение и очертания нити станут рас­плывчатыми. При постоянном токе нить будет видна отчетливо, так как она лишь отклонится в сторону от начального положения.

116. Следует разорвать цепь питания лампочки карманного фонарика и включить в разрыв поочеред­но обе катушки.

Токовая катушка имеет незначительное сопротив­ление, и при ее включении в цепь накал лампочки практически не изменится. Наоборот, сопротивле­ние катушки напряжения очень велико, и при ее включении лампочка вообще гореть не будет.

117. Подсоединим вольтметр вначале к точкам А и В (см. рис. 37), а затем к точкам А₁ и В₁ лежащим несколько правее. Пусть показания вольтметра со­ставят соответственно U и U₁.

Если U > U₁, то источ­ник тока находится слева от точек А и В: показа­ния вольтметра при пере­ходе к точкам A₁ и В₁ уменьшаются за счет па­дения напряжения на уча­стках АА₁ и ВВ₁.

Если U < U₁, то батарея находится в правом конце линии. В этом случае показания вольтметра за счет падения напряжения на тех же участках увели­чиваются.

Эта задача одинаково решается для цепей посто­янного и переменного тока, нужно только выбрать вольтметр соответствующего типа. Важно также, что­бы его чувствительность была достаточно высокой, чтобы зарегистрировать в общем-то малое изменение разности потенциалов при переходе от положения АВ к положению А₁В₁.

118. Следует взять из первого ящика одну деталь, из второго — две, из третьего — три и так далее до последнего, из которого берется десять деталей, а за­тем взвесить все детали вместе. Если бы во всех ящиках лежали правильно изготовленные детали, их общая масса оказалась бы равной, положим, М₁ По­скольку в n-м ящике каждая деталь имеет массу на 10 г меньше положенного, показания весов М₂ будут на 10n граммов меньше, чем М₁:

Отсюда находим n, то есть номер ящика с бракован­ными деталями:

119. Если для освещения используется периодиче­ски работающая (импульсная) лампа, частота вспы­шек которой равна числу оборотов шпинделя, то де­таль будет видна все время в одном и том же поло­жении и ее поверхность можно будет отчетливо рассмотреть. Для питания лампы следует применить генератор с плавной регулировкой частоты.

Вместо импульсной лампы и генератора перемен­ной частоты можно применить обычную яркую лам­пу, пропустив идущие от нее лучи через радиальную щель в картонном диске, закрепленном на оси элек­тромотора, скорость вращения которого можно ме­нять.

Эффект, при котором в результате прерывистого освещения тела, участвующие во вращательном дви­жении, кажутся неподвижными, называется стробо­скопическим. Некоторым его применениям посвящена также следующая задача.

120. Начертим на картоне циркулем окружность и разрежем по ней лист ножницами. На полученном картонном диске нанесем радиальную черту и при­клеим диск к валу мотора, так чтобы плоскость диска была перпендикулярна к валу. Затем включим мо­тор и неоновую лампу в сеть. В сети переменного тока неоновая лампа вспыхивает 100 раз в секунду (6000 раз в минуту). Если за время между вспыш­ками мотор делает ровно один оборот (то есть ча­стота вращения составит 6000 оборотов в минуту), то нанесенная на диске черта будет видна все время в одном и том же положении, то есть Оудет казаться, несмотря на вращение, неподвижной (рис. 38, а).

Если частота вращения уменьшится вдвое, то за время между двумя вспышками лампы вал мотора совершит только половину оборота, и черта будет видна в положении, лежащем на одном диаметре с тем, в котором мы видели ее во время предыдущей вспышки. В результате мы увидим более длинную чер­ту, пересекающую по диаметру весь диск (рис.38, б). При скорости вращения 1500 оборотов в минуту бу­дет виден крест (рис. 38, в), а при скорости вращения 750 оборотов в минуту — два креста, повернутые друг относительно друга на 45°.

Следует отметить, что показанная на рис. 38, а, кар­тина будет наблюдаться не только в том случае, если за время между двумя последующими вспышками лампы диск повернется на один оборот, но и тогда, когда он сделает за это время два, три и т. д. обо­ротов (то есть при частоте вращения 12 000, 18 000 и т. д. оборотов в минуту). Картина, изображенная на рис. 38, б, будет видна также при частотах вращения 9000, 15000 и т. д. оборотов в минуту (диск за время между вспышками успевает повернуться на 1,5; 2,5 и т. д. оборотов). Крест (рис. 38, в) можно наблюдать при частотах вращения 1500, 4500, 7500 и т. д. оборо­тов в минуту, а два креста (рис. 38, г) — при 750, 2250, 3750 и т. д. оборотов в минуту. Имея в виду ска­занное, следует увеличивать скорость вращения по­степенно, подходя к нужной «снизу» от нулевой.

121. Проведите кусочком мела вдоль оси вращаю­щегося вала. В результате сложения двух движений, меловая черта на поверхности вала будет иметь вид пространственной спирали. Разделив число витков спирали на время движения мела, получим скорость вращения вала.

Например, если за пять секунд образуется два­дцать витков, частота вращения составляет четыре оборота в секунду или 240 об/мин.

122. Соедините между собой две произвольно взя­тые жилы на первом этаже и найдите эту пару на­верху (для этого достаточно собрать электрическую цепь из батарейки, куска проволоки, лампочки и за­короченных жил). Потом поступите так со следую­щей парой и так далее, пока не окажутся разбитыми на пары все жилы в кабеле.

В случае четного количества жил следует затем соединить два провода из разных пар на верхнем эта­же, а внизу определить (также с помощью батарейки и лампочки), какие жилы закорочены. Дальнейшие действия очевидны.

Если число жил в кабеле нечетное, то номер жилы, оставшейся без пары, определится «автоматически», а номера остальных находятся так, как описано выше для случая четного числа.

123. С помощью соединительных проводников до­полните схему перечисленными в условии задачи при­борами так, как это показано на рис. 39. Поскольку сопротивление амперметра мало и падением напряже­ния на нем можно пренебречь, точки О, К и С в полу­ченной схеме будут иметь одинаковые потенциалы.

Рис. 39.

Стало быть, по проводникам, их соединяющим, ток идти не будет. Таким образом, амперметр покажет ток, идущий через резистор, включенный между точ­ками О и T. В то же время вольтметр показывает разность потенциалов да концах этого резистора. Сле­довательно, поделив показания вольтметра на показания амперметра, получим сопротивление этого резистора. Аналогично определяются сопротивления остальных резисторов.

Можно предложить и другие способы решения этой задачи, однако они будут более сложными.

124. Необходимо бросить какой-нибудь предмет (если его не окажется, положение космонавта станет трагическим) в сторону, противоположную ракете. Тогда, в соответствии с законом сохранения количест­ва движения, человек приобретет направленную к ракете скорость

где М и т — массы человека и предмета, а υ — ско­рость последнего.

Подобным же образом, как известно, движется в космическом пространстве и сама ракета, отбрасы­вая продукты горения в одну сторону и перемещаясь за счет этого в другую.

125. Задание можно выполнить двумя способами. Рассмотрим их поочередно.

а) Пусть на одну чашку рычажных весов положе­но интересующее нас тело массой т₁, а на вторую — гиря массой т₂. Так как спутник и все тела на нем (в том числе взвешиваемое тело и гиря) имеют в грат витационном поле Земли одинаковое ускорение (не­прерывно «падают» на Землю), весы окажутся в со­стоянии безразличного равновесия.

Однако равновесие нарушится, если весы привести относительно спутника в равноускоренное движение. Ведь, чтобы разным по массе телам сообщить одина­ковое ускорение а, нужны разные силы:

Нетрудно добиться, во всяком случае приблизительно, чтобы стрелка весов не отклонялась от нулевого по­ложения и при равноускоренном движении — для это­го нужно, чтобы массы тела и гирь были равными.

б) Можно воспользоваться и пружинными веса-ми —динамометром. Если подвесить к нему исследуе­мое тело и привести систему в движение с некоторым постоянным ускорением а, то указатель динамометра зафиксирует силу

Затем следует подвесить вместо тела гирю с известной массой т₂ и привести динамометр в движение с тем же ускорением а. В этом случае показания динамо­метра составят

Поделив последние два равенства друг на друга почленно, получим:

Необходимого в случае пружинных весов равенст­ва ускорений добиться довольно трудно.

Можно попытаться осуществить его, вращая дина­мометр с подвешенным к нему телом, а затем с гирей, с постоянной угловой скоростью, для чего, очевидно, понадобится секундомер. Так что лучше, если это воз­можно, воспользоваться двумя динамометрами: к од­ному из них подвесить исследуемое тело, а ко второ­му— гирю известной массы; затем оба динамометра взять в одну руку и привести одновременно в уско­ренное движение.

При решении этой задачи мы пользуемся тем, что ускоренно движущаяся система эквивалентна полю сил тяготения. Эквивалентность гравитационных сил и сил инерции, действующих на тела в ускоренно дви­жущихся системах, послужила одной из основ теории тяготения, развитой в общей теории относительности А. Эйнштейном (1915 г.). Поэтому, если эксперимен­татор находится на космическом корабле или управ­ляемом спутнике, достаточно включить двигатели, что­бы появилась «искусственная сила тяжести» и весы любого типа начали функционировать.

126. Если космический корабль движется вокруг планеты с выключенными двигателями, то единствен­ной силой, действующей на него, является сила притяжения к планете,

где G — гравитационная постоянная, М — масса пла­неты, т — масса корабля и R — расстояние корабля до центра планеты.

При небольшой высоте полета R можно считать равным радиусу планеты (мы полагаем, что ее форма близка к шарообразной).

Выразим массу планеты через ее радиус и среднюю плотность D,

и подставим полученное значение М в предыдущую формулу;

Поскольку корабль движется по круговой орбите, на него действует центростремительная сила, которую можно представить в виде

где υ — линейная и ω — угловая скорости движения космического корабля, T — период его обращения во­круг планеты.

Так как роль центростремительной силы играет сила гравитационного притяжения, можно приравнять правые части двух последних выражений и получить для плотности:

Таким образом, определив с помощью часов период обращения корабля вокруг планеты, можно рассчи­тать ее среднюю плотность.

Запущенные на круговую орбиту искусственные спутники Земли имеют обычно период обращения около полутора часов (5400 с). Подставляя это значение в последнюю формулу, получим среднюю плотность Земли:

Вышедшая 17 октября 1970 г, на круговую орбиту вокруг Луны автоматическая станция «Луна-16» имела период 1 час 59 минут (7140 с), откуда для сред­ней плотности Луны получаем:

На самом же деле плотности Земли и Луны при­мерно на 10 % больше. Разница происходит по той причине, что спутники обычно движутся довольно вы­соко, когда приходится считаться с различием между радиусом планеты и орбиты. Если в приведенную выше формулу для плотности подставлять значения Т, со­ответствующие полетам по орбитам, проходящим над самой поверхностью Земли (практически неосущест­вимым из-за сопротивления воздуха) или Луны, которые равны соответственно 1 час 24 минуты и 1 час. 48 минут, получим правильные значения плотностей 5500 кг/м³ и 3360 кг/м³.

Для высокой орбиты формула плот­ности имеет вид

(h — высота орбиты). Пользуясь этой формулой, можно получить правиль­ные значения плотности и в случае вы­сокой орбиты.

127. Поставим линейку вертикально на фоне черного полотна и осветим ее прерывистым пучком лучей, идущих от лампы через щель на равномерно вращающемся диске. Затем от­кроем затвор фотоаппарата и выпустим шарик из рук так, чтобы он пролетел мимо линейки. На полученном фотоснимке будет видна линейка и ряд светлых пя­тен, отвечающих положениям падающего шарика в те моменты, когда на него падал свет. Расстояния l₁, l₂, l₃ и т. д. между этими положениями легко отсчитать по делениям на линейке (рис. 40).

Первое светлое пятно соответствует моменту, ко­гда от начала движения прошло время t₀; за это вре­мя шарик успел пройти расстояние

(g* – ускорение свободного падения на планете). Во второй раз шарик запечатлен через время t₁ от начала движения, когда он прошел путь

Третьему положению соответствует время t₂ и прой­денный путь

и т, д. Очевидно, что

Кроме того,

где τ — интервал между двумя последовательными моментами освещения шарика, равный периоду вращения электромотора.

После этого мы можем записать:

Вычитая из второго уравнения первое, получаем;

откуда

Величины l₁ и l₂ отсчитывают по делениям на линей­ке, а τ определяется по известной частоте вращения мотора.

128. Достаточно определить динамометром силу Р*, с которой планета притягивает гирю. Тогда ускорение силы тяжести дна данной планете находим как от­ношение

где т — масса гири, известная по условию.

129. Воспользовавшись пружинными весами, сле­дует измерить Р* – силу притяжения гири к плане­те. В соответствии с законом всемирного тяготения сила Р выражается через массу гири т, гравитационную постоянную G, массу планеты М и ее радиус R:

Отсюда для массы планеты получаем:

G — постоянная величина, значение которой можно взять из справочника, Р* известно из опыта, а т и R известны по условию задачи.

130. Изготовив из нити и грузика «математический маятник», следует определить его период Т с помощью секундомера. После этого из формулы маятника мож« но найти g* — ускорение свободного падения на планете:

так как длина маятника l по условию задачи известна.

С другой стороны, ускорение свободного падения можно записать, исходя из закона всемирного тяготения, следующим образом:

(М — масса планеты, Р* — сила притяжения к планете тела массы т, R — радиус планеты, G — гравитационная постоянная).

Приравнивая правые части равенств, получаем для массы планеты

Радиус планеты нетрудно выразить через длину С экватора планеты:

после чего для средней плотности D вещества планеты получаем:

Значение плотности D можно рассчитать, так как все величины в этом выражении известны.

131. Длину подвеса можно было оценить, сравни­вая ее с ростом оказавшегося рядом космонавта; она оказалась равной примерно 1 м.

Период колебаний, определенный с помощью ча­сов, составил около 5 с. После этого, пользуясь фор­мулой маятника

можно получить для ускорения свободного падения значение

весьма близкое к получаемому более точными ме­тодами.

132. Изготовив из проволоки катушку, следует подключить ее концы к гальванометру. Если планета обладает достаточно сильным магнитным, полем, то при поворотах катушки гальванометр зарегистрирует импульсы индукционного тока, возникающего в ре­зультате изменения магнитного потока через пло­скость катушки. В принципе таким образом можно установить не только наличие магнитного поля, но и величину и направление вектора магнитной индукции.

Рассмотренная идея положена в основу устройст­ва некоторых типов магнитометров, применяемых на практике.

133. Наряду с законом сохранения количества дви­жения (мы им пользовались при решении задач № 67 и 124) природные процессы подчиняются так­же закону сохранения момента количества движе­ния. В соответствии с этим законом космонавт, вра­щающий в своих руках диск или какой-либо другой предмет, должен поворачиваться в противоположном направлении (если, конечно, он не встречает к этому препятствий со стороны других тел). Когда космонавт повернется на нужный угол, вращение нужно прекра­тить. .

Ну, а если никакого предмета у космонавта не оказалось? В этом случае закон сохранения количества движения запрещает ему изменить численное значение и направление скорости (относительно ракеты, например), однако закон сохранения момента коли­чества движения не исключает возможности измене­ния его ориентации. Для поворота космонавта, ска­жем, в направлении часовой стрелки (если смотреть на него «сверху») ему достаточно проделать следующий цикл движений: вытянуть правую руку в сторону; затем вытянуть ее, не сгибая, вперед; прижать к гру­ди; снова вытянуть в сторону и так далее.

Эта задача напоминает знаменитую задачу о па­дающей кошке. Как известно, кошка обладает пора­зительной способностью приземляться на лапки даже в том случае, если она начала падать спиной вниз.

Рис. 41.

«Замедленная» (правильнее — ускоренная!) съемка показывает, что в момент падения кошка начинает быстро вращать хвостом, в результате чего ее туловище поворачивается в противоположную сторону. Вращение хвоста прекращается, когда лапки оказы­ваются внизу.

Убедительно иллюстрирует возможность поворота живых организмов безпомощи извне следующий про­стой пример.

Пусть в пространстве, вытянувшись в направлении ОО₁, располагается спиной вверх змея (рис. 41, а). Законы природы и строение тела не запрещают ей за­нять положение, показанное на рис. 41, б. После это­го она может, поворачивая переднюю и заднюю части туловища в направлениях, указанных стрелками, перевернуться брюхом вверх (рис. 41, в) и затем вытя­нуться вдоль прямой ОО₁ (рис. 41, г). В результате этой последовательности движений она действительно повернется вокруг своей продольной оси на 180°. (Пример, конечно, искусственный, так как змея обыч­но движется по земле и использует для переворачива­ния силы трения. Однако, оказавшись в воздухе — вспомните Ужа из «Песни о Соколе» М. Горького,— она могла бы поступить так, как сказано выше.)

134. Жители Венеры могли бы догадаться о вра­щении своей планеты и установить направление вра­щения несколькими способами.

Можно было бы, например, изучить поведение маятника. В 1851 г. использовал маятник для дока­зательства вращения Земли французский физик Жан Бернар Леон Фуко. Предназначенные для этой цели маятники представляют собой массивный груз на длинной проволоке в несколько десятков метров (са­мый длинный маятник в мире — 98 м — установлен в Исаакиевском соборе в Ленинграде; маятник самого Фуко, сооруженный в Парижском Пантеоне, имел длину 67 м); груз укрепляется на опоре с помощью карданова подвеса или горизонтального подшипника, дающего возможность качания маятника в любой вер­тикальной плоскости. В результате вращения Земли плоскость качания маятника медленно поворачивается относительно указателей на земной поверхности.

Действующие на груз маятника силы притяжения к Земле и натяжения нити лежат в плоскости кача­ния и не могут вызвать ее поворот. С точки зрения внеземного наблюдателя вращение плоскости кача­ния объясняется вращением земной поверхности вме­сте с указателями, относительно которых определяется положение этой плоскости. На полюсе Земли, где плоскость качания сохраняет неизменным положение относительно звезд, наблюдатель на земной поверхно­сти видел бы вращение плоскости качания с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения Земли, но направленной в противоположную сторону.

В точках, расположенных между полюсами, пло­скость качания маятника, проходящая через линию отвеса, не может сохранять постоянное положение от­носительно звезд и в некоторой степени, зависящей от широты, участвует во вращении Земли. Соответст­венно плоскость качания маятника вращается отно­сительно указателей на земной поверхности медлен­нее. На экваторе эффект отсутствует вообще.

Вращение плоскости качания маятника Фуко мож­но объяснить и с точки зрения наблюдателя, находя­щегося на Земле. Для этого необходимо привлечь к рассмотрению силы Кориолиса, с которыми мы впер­вые встретились в решении задачи № 63.

Второй вариант решения предложенной задачи предусматривает применение гироскопа — быстро вра­щающегося массивного волчка, установленного в кардановом подвесе.

Если центр тяжести гироскопа совпадает с цент­ром подвеса, а силы трения практически отсутствуют (такой гироскоп называется уравновешенным или свободным), его ось будет сохранять неизменное на­правление по отношению к «неподвижным» звездам. В случае несовпадения центра тяжести гироскопа с геометрическим центром подвеса ось гироскопа на­чинает описывать в пространстве конус (это явление называется прецессией). Для гироскопа массой 1 кг, вращающегося с частотой 30000 об/мин, смещение центра тяжести на 1 мкм вызывает прецессию со ско­ростью около 1 градуса в час. Так как Земля вра­щается со значительно большей угловой скоростью, 15 градусов в час, подобным гироскопом легко обна­ружить факт вращения Земли, как это и было впер­вые сделано в 1852 г. тем же Фуко. Разумеется, чем медленнее вращение планеты, тем точнее должен быть сбал-ансирован гироскоп и тем меньше должно быть трение в осях подвеса.