Задание рубежного контроля

1. Доказать, что отношения безразличия ( ̴ ) и строгого предпочтения (), определенных соотношениями ( ̴ , если и только если и ) и , если и только если , а отношение несправедливо) справедливы следующие утверждения:

- отношение строгого предпочтения является транзитивным, рефлексивным и асимметричным;

- отношение безразличия является транзитивным и симметричным;

- для двух заданных наборов и выполняется , или ̴ ;

- если функция полезности существует, то , если и только если , в то время как , если и только если .

2. Рассмотрим лексикографические предпочтения. Что является для них множеством безразличия? Показать, что для них не справедлива аксиома непрерывности.

3. Показать, что аксиома непрерывности эквивалентна допущению, что если , то любая непрерывная кривая, содержащая и , проходит через набор , такой, что ̴ .

4. Показать, что необходимые условия

инвариантны по отношению к монотонному строгому возрастающему преобразованию полезности.

5. Имеются два товара, которые потребляются в установленных пропорциях:

- на плоскости этих товаров показать, как выглядят кривые безразличия и индивидуальный спрос;

- запишите алгебраически необходимые условия для равновесия потребителя.

6. Функция полезности является аддитивной, если .

Какие ограничения на слабое отношение предпочтения гарантирует аддитивность функции полезности?

Показать, что если функция полезности аддитивна, то спрос на каждый товар зависит только от цены этого товара, цены любого другого товара и общего расхода на эти два товара.

Показать, что если функция полезности аддитивна, то в экономике не будет малоценных и взаимодополняемых товаров.

Показать, что аддитивная функция полезности предполагает только монотонное строго возрастающее линейное преобразование полезности.

7. Определим функции спроса Торнквиста

для «предметов первой необходимости», «предметов относительной роскоши» и «предметов роскоши» соответственно, где параметры и зависят от цен.

Найти эластичности по доходу этих функций.

В случае двух товаров спрос на первый выражается функцией Торнквиста для «предметов первой необходимости» при и (второй товар является единицей счета). Проверить, что соответствующая функция полезности имеет вид

.

8. Доказать, что если в пределах определенной группы товаров цены изменяются пропорционально, то такую группу можно рассматривать как один товар, который называется композитным (сложным). Достаточно рассмотреть три товара, причем цены двух из них всегда изменяются в одинаковой пропорции.

8. Товар Гиффена определяется тем, что спрос на него возрастает по мере повышения его цены. Покажите геометрически влияние дохода и влияние замены для товара Гиффена. Могут ли существовать товары Гиффена, если выполняется слабая аксиома выявленного предпочтения.

9. Так как функция полезности определена в пространстве всех наборов товаров, а функция спроса выражает оптимальный набор как функцию цен и дохода, то оптимальный уровень полезности косвенно зависит от цен и дохода.

Покажите, что косвенная функция полезности – убывающая функция всех цен и возрастающая функция дохода.

10. Используя аксиомы выявленного предпочтения, докажите

- существование функций спроса, т.е. что на самом деле любой набор цен и дохода приводит к выбору единственного набора товаров;

- однородность нулевой степени функций спроса.

11. Покажите, что для заданной шкалы полезности фон Неймана-Моргенштерна:

Монотонное строго возрастающее линейное преобразование полезности дает новую шкалу полезности, которая удовлетворяет аксиомам фон Неймана-Моргенштерна и выводам из них; монотонное строго возрастающее нелинейное преобразование полезности несовместимо с этими аксиомами и результатами.

На рис. 3.2.4 представлен графически выбор индивидов с различным отношением к риску в предположении, что вероятности и , используемые для расчета наклона бюджетной линии, являются такими же, что и субъективные вероятности, используемые в определении ожидаемой функции полезности. Допустим, что, по мнению индивидов, субъективные вероятности отличны от объективных, определяющих цены условных благ, и составляют и , где .

- Как изменятся кривые безразличия по сравнению с кривыми на рис. 3.2.4.

- Покажите, что произойдет с оптимумами индивидов в каждом из трех случаев.

Каждый набор обусловленных благ на линии уверенности характеризуется

- одинаковой степенью риска;

- одинаковым отношением вероятностей исходов;

- одинаковой ожидаемой стоимостью.

Для индивида, не склонного к риску, наклон кривой безразличия равен отношению вероятности исхода по оси абсцисс к вероятности исход по оси ординат:

- в каждой точке кривой безразличия;

- справа от набора начального запаса;

- слева от набора начального запаса;

- при пересечении кривой безразличия и линии уверенности.

Не склонный к риску индивид:

- будет играть в справедливую игру;

- не станет играть в справедливую игру;

- безразличен к тому, играть в справедливую игру или нет;

- не станет играть в несправедливую игру.