5. Індекси середніх величин

В економічному аналізі досить часто доводиться розраховувати середні значення показників і оцінювати їх змінення у часі. Слід знати, що індексний аналіз середніх величин припускає усереднення індивідуальних значень тільки у групі показників рівня (якісних показників), тобто можна вирахувати та оцінити у динаміці середню ціну, середню собівартість, середню врожайність, середню продуктивність праці тощо. Але при цьому не усереднюють, а підсумовують кількісні й об’ємні показники, тобто вираховують сумарне значення випущеної або проданої продукції, а не середню її кількість, вираховують сумарний валовий збір зернових культур, а не середню кількість валового збору знеособленої культури тощо.

Розрахунок середніх рівнів якісних показників здійснюють за формулою середньої арифметичної зваженої – і тоді, наприклад:

• середня ціна деякого товару “А”, який продається кількома торговельними підприємствами, буде дорівнювати:

,

де – ціна товару “А” на кожному торговельному підприємстві;

– кількість товару “А” , що проданий кожним підприємст- вом;

• середня собівартість деякого виробу “В” , який виробляють кілька підприємств, буде обчислюватися за формулою:

,

де – рівень собівартості виробу “В” на кожному підприємстві;

–кількість виробів “В”, які вироблено кожним підприємством.

Як бачимо, осереднення будь-якого якісного показника здійснюють через зважування його на той кількісний показник, на одиницю якого якісний розраховано. Так, вагою для розрахунку середнього виробітку будуть вже витрати часу (), а середню врожайність обчислюють через зважування її індивідуальних рівнів для кожної культури на розмір посівної площі під цими культурами () тощо.

Оцінка змінення у часі середнього рівня показника ведеться за допомогою індексу перемінного складу, який у загальному вигляді може бути записаний так:

: =. (111)

За допомогою цього індексу оцінюють загальне змінення середнього показника за рахунок двох одночасно факторів (які змінюються у звітному періоді порівняно з базисним):

1. індивідуальних значень усередненого показника – ;

2. структури сукупності, тобто змінення кожної частки сукупності, якій притаманне кожне значення “”, у її загальному обсязі – .

Відокремлено урахувати вплив кожного з обох названих факторів на динаміку середньої величини можна шляхом розкладання індексу перемінного складу на два субіндeкси:

1. індекс постійного (фіксованого) складу:

: =; (112)

2. індекс структурних зрушень:

: =. (113)

Як бачимо, при побудові факторних індексів середніх величин застосовують ту ж саму систему виваження, а саме: в індексі постійного складу індексують (змінюють) якісний показник (), а кількісний, що приймають для виваження  (структура сукупності –), беруть на постійному (звідси назва індексу) рівні звітного періоду і в чисельнику, і в знаменнику дробу.

У той же час індекс структурних зрушень є індексом кількісного показника, а через це величину, що індексують (частка сукупності в її загальному обсязі – ), зважують на рівень якісного показника () за базисний період (також і в чисельнику, і в знаменнику дробу).

Статистичний аналіз середніх величин не обмежують оцінкою їх відносного змінення і розраховують абсолютні відхилення середніх рівнів показника поточного періоду від аналогічних величин у базисному періоді.

Різниця чисельника і знаменника кожного з розглянутих трьох індексів дає змогу отримати абсолютне змінення (приріст “+” або зниження “-” ) середнього значення показника загалом та за рахунок кожного з обох факторів.

Так, якщо з чисельника індексу перемінного складу вирахувати знаменник, то отримаємо загальне абсолютне змінення середнього рівня показника в усій сукупності об’єктів:

- . (114)

Різниця чисельника і знаменника індексу постійного складу встановлює абсолютне змінення середньої величини за рахунок змінення її індивідуальних рівнів, тобто їх змінення у кожній одиниці сукупності, що вивчається:

= - . (115)

Щоб установити абсолютний приріст чи зниження середнього показника за рахунок змінення у структурі сукупності, знаходять різницю чисельника і знаменника індексу структурних зрушень:

= - . (116)

Розглянемо застосування системи індексів середніх величин за умовними даними про зміну собівартості виробу “С” на двох підприємствах (табл. 9.5). Проаналізуємо динаміку середньої собівартості та витрат на виробництво. Для спрощення кінцевих розрахунків і аналізу результатів наведемо у таблиці додаткові рядки і графи з проміжними результатами (останній рядок, графи 5-7, табл. 9.5).

Таблиця 9.5

Зміни середньої собівартості виробу “С”

на двох підприємствах району

Підприємства	Вироблено, тис. шт.		Собівартість, грн. за шт.		Загальні витрати, тис. грн.		Індив. індекси собівар-тості
	баз.	звіт.	баз.	звіт.	баз.	звіт.
А	1	2	3	4	5	6	7
Перше	28	36	4,0	3,34	112,0	120,4	0,835
Друге	7	36	3,5	2,78	24,5	100,2	0,794
Разом	35	72	-	-	136,5	220,6	0,816
У середньому	-	-	3,90	3,06	-	-	0,785

Почнемо з розрахунків середньої для двох підприємств собівартості виробу “С” у кожному з періодів. Зробимо це за формулою середньої арифметичної зваженої ( ). Маємо:

• у базисному періоді: грн.;

• у звітному періоді: грн.

Співвіднесення отриманих середніх рівнів собівартості виробу “С” дає індекс собівартості змінного складу: , або 78,5%.

Отже, середня собівартість знизилася на 21,5% (78,5-100) і це, як бачимо, перевищує зниження собівартості на кожному підприємстві (16,5% і 20,6%). Цей статистичний парадокс знов таки пояснюється змінами у структурі сукупності (питомої ваги кожного підприємства у загальному виробництві), котрі впливають на величину середньої собівартості та її динаміку, вимірювану через обчислений індекс перемінного складу. Продовжуючи аналіз динаміки середньої собівартості, обчислимо два наступних індекси.

Індекс фіксованого (постійного) складу (форм. 112):

:

або 81,6%. Отриманий результат свідчить про зниження середньої собівартості виробу “С” на 18,4% (81,6 -100). Таке зниження сталося лише за рахунок зниження собівартості на кожному підприємстві окремо.

Індекс структурних зрушень (форм. 113):

:

або 96,2%, тобто середня для двох підприємств собівартість виробу “С” додатково знизилася на 3,8% (96,2 -100) за рахунок тільки структурних зрушень. Покажемо, якими ж вони були: у базисному періоді частка першого підприємства у загальному виробництві складала 80% (28:35 · 100), відповідно частка другого - 20% (100-80).

У звітному періоді ситуація помітно змінилася. Ці частки зрівнялися і складали по 50% (36:72 · 100). Отже, у звітному періоді значно зросла частка другого підприємства у загальному виробництві (на 30 п.п.), а саме це підприємство мало нижчу за перше собівартість продукції. Це й призвело до додаткового зниження середньої собівартості виробу “С” у звітному періоді порівняно з базисним.

Перейдемо до аналізу абсолютних змін середньої собівартості (форм. 114-116) та встановимо не тільки самі розміри цих змін, але й загальну суму одержаної економії на весь обсяг продукції, тобто зміну витрат на виробництво за рахунок зниження середньої собівартості та впливу її чинників.

На одиницю продукції економія від зниження середньої собівартості становила 0,84 грн. (3,06 – 3,90). Звідси економія на весь обсяг продукції звітного періоду буде дорівнювати добутку: 0,84 · 72 = 60,48 тис. грн. Ця сума загальної економії від зниження середньої собівартості може бути розбита на дві частини, кожна з яких характеризуватиме вплив на неї чинників середньої собівартості.

За рахунок зниження собівартості на кожному підприємстві середня собівартість знизилась на 0,69 грн. (3,06 –3,75) і це дало змогу отримати економію у розмірі 49,68 тис. грн. Завдяки ж змінам у структурі виробництва, економія становила 10,8 тис. грн. : (3,75 – 3,90) · 72. Як бачимо, між обчисленими величинами є повний взаємозв’язок: 60,48 = 49,68 + 10,8; 0,84 = (3,06 – 3,75) + (3,75 – 3,90) = 0,69 + 0,15 = 0,84.

Питання для самоперевірки і закріплення знань

1. Дайте визначення статистичного індексу.

2. У чому відмінність індивідуальних і загальних індексів?

3. На які три групи умовно поділяються статистичні показники?

4. Який зв’язок існує між кількісними, якісними та об’ємними показниками?

5. Окресліть схему побудови індивідуальних індексів.

6. Сформулюйте правила побудови агрегатних індексів об’ємних показників.

7. Яке існує правило вибору показника-ваги при побудові загальних індексів кількісних показників?

8. Які правила застосовують для вибору показника-ваги при побудові загальних індексів якісних показників?

9. Коли здійснюють перехід від агрегатних до середніх індексів?

10. Агрегатні індекси яких показників, як правило, перетворюють у середні арифметичні індекси?

11. Агрегатні індекси яких показників, як правило, перетворюють у середні гармонійні індекси?

12. Для яких показників розраховують індекси середніх величин?

13. Який вид середньої величини лежить в основі розрахунку індексів перемінного, постійного складу та індексу структурних зрушень?

14. Вплив якого фактора на динаміку середньої величини встановлює індекс постійного складу?

15. Вплив якого фактора на динаміку середньої величини встановлює індекс структурних зрушень?

16. Як розраховують загальний абсолютний приріст об’ємного показника?

17. Як розраховують абсолютний приріст об’ємного показника за рахунок показників-факторів (кількісного і якісного)?

18. Що можна встановити через різницю чисельника і знаменника індексів середніх величин?

1 ранжирування – це побудова за ступенем переваги, наприклад, у порядку зростання або убування.

2 Г. “Ветеран Донбасса”, №3, від 10 /I 2003, с.1.

3 Див. визначення нижче – с. 6.

4 Див. вище зміст поняття “ознака” – с. 4.

5 Див. також наступну тему “Статистичне спостереження”.

6 Ілюстрацію складових елементів цього визначення було наведено вище – с.3.

7 Див. далі тему “Індекси”.

8 Див. п.4 на с.6.

9 Див. про це п.1 на с. 4-5.

1⁰ Див. далі за темою.

1¹ Через велику значимість даного виду спостереження воно вивчається досить грунтовно у цьому курсі статистики – див. далі тему “Вибіркове спостереження”.

1² Зміст понять “програма” та “інструментарій” спостереження розглянуто на с.10-11.

1³ Див. про звітність вище на с.12.

1⁴ Факти народження, смерті, вступу у шлюб та його розірвання реєструються у відповідних актах, другі екземпляри яких надсилаються до органів статистики для опрацювання; чисельність прибулих на дану територію і вибулих за її межі встановлюється за даними відривних талонів адресних листків, що заповнюються у паспортних столах міліції при реєстрації громадян.

1⁵ Того, кого опитують, тобто особи, що подає відомості про себе.

¹⁶ Реєстратор (обліковець) – спеціально підготовлена особа, що проводить спостереження, у даному випадку – опитування.

1

1⁷ Див. с. 15.

1⁸ Див. вище с. 14.

1⁹ Від слова “тенденція” - спрямованість, упередженість, навмисність.

2⁰ Методику розрахунку випадкових помилок репрезентативності – див. тему “Вибіркове спостереження”.

2¹ Див. с.1.

2² Див. попередню тему, с.18.

2³ Див. там же, с. 9.

2⁴ Там же, с. 10.

2⁵ Див. нижче у даній темі, с. 24-25.

2⁶ Див. нижче у даній темі, с. 38.

2⁷ Див. попередню тему, с.12.

2⁸ Поняття “статистичний формуляр” було розглянуто на с.11

2⁹ Окремим випадком групування є класифікація, тобто стійке, загальноприйняте, як правило, узаконене (нормативне) групування.

3⁰ Див. с. 4-5.

³¹ Перше завдання будь-якого групування – вибір самої групованої ознаки.

3

3² Ці формули слід використовувати, коли будується групування з рівними інтервалами - див. с. 26.

3³ Див. далі с.28-29.

3⁴ Приклади групувань з довільними інтервалами і методику їх побудови – див. у кн.: “Теория статистики”: Учебник / Под ред. проф. Р.А.Шмойловой.- М.: Финансы и статистика, 1996, с. 72.

3⁵ У наступній темі буде докладно розглянуто методику розрахунку й економічний сенс відносної величини структури – див. с. 46.

3⁶ Див. далі тему “Статистичні методи вивчення взаємозв’язків”.

3⁷ Методика оцінки однорідності сукупності розглядається далі у темі “Аналіз рядів розподілу”.

3⁸ Докладніше про це – див. у кн. “Общая теория статистики”. Под ред. А.Я. Боярского, Г.Л.Громыко – 2-е изд. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985, с. 37-39.

3⁹ На практиці складні групування будують не більш ніж за трьома ознаками, бо із збільшенням числа групованих ознак групування стає ненаочним через різке зростання числа утворюваних груп, яке дорівнює добутку чисел груп, утворених за кожною ознакою окремо.

4⁰ Докладніше про це - див. у кн. “Социально-экономическая статистика” : Учебное пособие / Под ред. А.В. Сидоровой. – Донецк : Изд-во “УкрНТЭК”, 2001, с. 23-29.

4¹ Аналіз варіаційних рядів буде розглянуто далі у відповідній темі.

4² Докладніше про відносні величини див. у наступній темі.

4³Докладніше про це – див. у кн. И.Г. Венецкий, В.И. Венецкая. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. – 2-е изд. – М.: Статистика, 1979, с. 50-51.

4⁴Див. далі за темою відносні величини інтенсивності та рівня економічного розвитку.

4⁵Див. далі про середню арифметичну зважену – с 53; структурні середні - с. 63; аналіз структурних зрушень с.

4⁶ К.Маркс. Заработная плата, цена и прибыль. Избр. произв., т.2, 1970, с.42 ^.

4⁷ Там же, с. 37.

4⁸ Нагадаємо, що ранжируваний ряд будується у порядку зростання або убування – с. 4.

4⁹Див. с. 49-50.

5⁰Див. далі у темі “Індекси” - індексний аналіз середніх величин – с. .

5¹ Див. далі відповідну тему.

5² Перше знайомство з рядами розподілу відбулося у темі, присвяченій групуванню – див. с. 35.

5³ Див.с. 5.

5⁴ Див. с. 25-26.

5⁵ Це визначення стосується рядів розподілу з рівними інтервалами, коли ж вони нерівні, то мода визначається за найбільшою щільністю розподілу (з цим поняттям ми знайомились на с. 36).

5⁶ Приклад взято з книги : “Занимательная статистика” / Под ред. Г.И. Бакланова и Г.С. Кильдишева. – М.: Статистика, 1980, с.36-37.

5⁷ Розрахунок дисперсії цим способом наведено на с. 77.

5⁸ Методику проведення дисперсійного аналізу див. далі у темі “Статистичні методи вивчення взаємозв’язків”.

5⁹ Див. с.5.

6⁰Про методи розрахунків середньої помилки при типовій та серійній вибірках див.:Теория статистики: Учебник/Под ред. проф. Р.А.Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 1966, с. 207-211.

6¹ Див. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. – М.: Статистика, 1979, с. 252.

6² Див. далі тему “Індекси”.

6³ Див. с. 29-30.

6⁴ Див. с. 74-76.

6⁵ Див. Венецкий И.Г.,Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Статистика, 1979, с. 329.

6⁶ Число ступенів свободи – це кількість вільно варіюючих елементів сукупності, тобто кількість варіантів, що можуть приймати значення, не пов’язані одне з одним функціонально. Для міжгрупової дисперсії воно

на 1 менше за число утворених груп, а для внутрішньогрупової дорівнює різниці між обсягом сукупності та числом груп.

6⁷ Див. с. 93.

6⁸ Див. далі, с. 103.

6⁹ Звертаємо увагу, що розрахунок усіх показників аналізу в динамічних рядах передбачає порівняння наступного рівня ряду з одним із попередніх (дійсно попереднім або першим) і ніколи не навпаки. Пам’ятайте, що час рухається тільки вперед .

7⁰ Див. с. 47-48.

7¹ Сума ланцюгових абсолютних приростів дає базисний

7² Добуток ланцюгових дорівнює базисному коефіцієнту росту

7³ За середньою геометричною (форм. 83, 84).

7⁴ Математичне визначення задачі та формули для її рішення при цьому методі були розглянуті на с. 101-102.

7⁵ Див. далі, с. 149.

7⁶ Див. с. 140-141.

168