Загальні умови правильного використання абсолютних і відносних величин

Виходячи з розглянутого матеріалу, слід підкреслити, що абсолютні та відносні статистичні показники завжди виражають розміри чи кількісні співвідношення якісно визначених суспільних явищ. Тому під час їх розрахунків та використання у конкретному аналізі необхідно перш за все ураховувати специфіку та особливі умови розвитку досліджуваних суспільних явищ та процесів. Так, один і той же показник у залежності від умов, місця та часу відображатиме різний за своїм характером рівень суспільного явища. Наприклад, у різні часи було різне уявлення про великі, середні та малі підприємства.

З характеру багатьох суспільних явищ, що вивчаються статистикою, випливає необхідність диференціювати підхід до застосування абсолютних та відносних величин у конкретних дослідженнях. Скажімо, оцінюється виконання плану: за підсумком міністерства план може бути виконаним і навіть перевиконаним, але в той же час може статися, що в окремих підприємствах план недовиконано. Досить часто статистичні коефіцієнти, що характеризують окремі частини сукупності, можуть різко коливатися. Так, у різних регіонах країни відрізняються коефіцієнти густості населення.

Розраховуючи відносні величини, серйозну увагу слід надавати питанню порівнюваності величин, що зіставляються, з точки зору методів їх обчислення. Скажімо, показники врожайності можуть розраховуватися відповідно до різних площ (усього посіву або весняної продуктивної площі). Це питання набуває особливо великого значення під час зіставлення показників у різних країнах.

Другою умовою правильного використання абсолютних та відносних величин є необхідність їх комплексного застосування.

Відносна величина не повинна бути відірваною від тих абсолютних величин, співвідношення яких вона виражає, бо сама по собі вона не дає ясного уявлення про явище, яке вивчається. Найкращу ілюстрацію цього положення знаходимо у К. Маркса: “Если заработная плата повышается с 5 до 20, мы говорим, что она повысилась на 300%. Если она падает с 20 до 5, мы говорим, что она упала на 75%. Но сумма повышения в одном случае и сумма понижения в другом случае была бы одной и той же, а именно 15 шиллингов”⁴⁶.

Разом з цим одна й та ж абсолютна величина буде виражена різною відносною величиною у залежності від бази, до якої вона розрахована. Звернемося ще раз до К. Маркса : “Если человек получал заработную плату в 2 шилл. в неделю, а затем его заработная плата повысилась до 4 шилл., то уровень заработной платы повышается на 100%. Если подойти к этому повышению заработной платы с точки зрения повышения ее уровня, то оно может показаться грандиозным, а между тем действительная величина заработной платы, 4 шилл. в неделю, все же остается ничтожно малой… Поэтому не следует обольщать себя громко звучащими процентами повышения уровня заработной платы. Мы должны всегда спросить, какова была первоначальная величина?” ⁴⁷ .

2. Середні величини

Найважливішим узагальнюючим показником у статистиці є середня величина. До її розрахунку висуваються деякі обов’язкові вимоги. Першою з них є якісна однорідність сукупності. Тому, наприклад, перш ніж визначити середньодушовий доход населення, його необхідно розподілити на відносно однорідні групи: низько-, середньо- та високозабезпечених, і лише після цього у кожній з цих груп розрахувати доход на душу населення. По-друге, середня величина може розраховуватися лише за кількісною ознакою. Можна осереднювати, наприклад, чисельність робітників, ціни на конкретний вид продукції, рівні продуктивності праці, собівартості, заробітної плати і тому подібне. Але ніколи не визначається середня національність, стать, форма власності, вид продукції тощо.

Таким чином, середня величина – це розрахована за масовими статистичними даними узагальнююча характеристика якісно однорідної сукупності за якоюсь кількісною ознакою. За допомогою середньої величини можна одним числом характеризувати рівень ознаки, що вивчається, для усієї сукупності загалом. Це можливо, якщо статистичний матеріал для її розрахунку правильно зібраний та згрупований. Слід зауважити, що середня величина є своєрідною абстрактною величиною, бо її значення може не збігатися із жодним значенням ознаки, для яких відшукується середня.

У загальноприйнятому вигляді середня величина позначається “”, тобто над літерою-символом пишеться риска, та розраховується як відношення сумарної величини ознаки за усією сукупністю загалом () до кількості одиниць сукупності, що цю ознаку мають ():

. (7)

Наприклад, необхідно порівняти заробітну плату робітників двох заводів. Рівні індивідуальної заробітної плати на заводах не можуть використовуватися у даному випадку для порівняння, оскільки вони різні у залежності від кваліфікації, робочого часу та з багатьох інших причин. Непридатним для порівняння є також загальний фонд заробітної плати усіх робітників заводу, бо його сума залежить від числа робітників на кожному заводі. Шукане порівняння стає можливим відносно середньої заробітної плати одного робітника, яку слід розрахувати відношенням фонду заробітної плати до числа робітників.

Таким чином, схема розрахунку середніх величин така:

- ;

• ;

• ;

• тощо.

Наведені співвідношення, які звуться логічними формулами середньої, у загальному вигляді можна записати так:

= .

Якщо під час розрахунку цього показника відомі значення і чисельника, і знаменника, то говорять, що середня величина розрахована за формулою агрегатної середньої. Однак буквальне тлумачення цього положення не завжди правильне. У практиці економічної статистики, наприклад, для підрахунку середнього річного удою молока на одну корову загальний надій молока ділиться на кількість фуражних, а не дійних корів, хоча відомо, що не завжди фуражні корови дають молоко. Середня врожайність культур у сільському господарстві розраховується не на збиральну, а на весняну продуктивну площу, яка відрізняється від збиральної на величину весняної й літньої загибелі посівів. Середньомісячна продуктивність праці або виробіток робітника обчислюється не на явочне, а на списочне число робітників. Це робиться для того, щоб стимулювати зменшення числа недійних корів, величини збитку посівів, кількості невиходів на роботу.

З точки зору дотримання методики розрахунку середньої у наведених прикладах порушень немає, тому що кількість недійних корів, розмір площі загибелі посівів тощо можна вважати з нульовими значеннями ознаки.

Розраховуючи середню величину ознаки будь-якої сукупності, слід знати, що вона однозначна. Тобто для даних, які ми маємо, може існувати тільки одне значення середньої величини. Тому було б помилковим для розв’язання одного завдання за одними вихідними даними визначати різні форми середньої та отримувати, відповідно, різні чисельні значення середньої величини. У зв’язку з цим виникає питання щодо вибору виду середньої величини. Воно вирішується у залежності від характеру та змісту вихідного матеріалу, тобто від особливостей ознаки явища, що вивчається, та цілей розрахунку середньої величини. В аналітичних розрахунках використовують такі види середніх:

1. арифметична,

2) гармонійна,

3) квадратична,

4) геометрична,

5) хронологічна.

Крім того, усі види середніх величин можуть бути розраховані у двох формах (у залежності від ступеня попередньої обробки інформації):

• за індивідуальними значеннями ознаки, що осереднюється, тобто за незгрупованими даними – проста середня;

• за згрупованими даними (в рядах розподілу, коли зазначена статистична вага) – зважена середня величина.

Зазвичай труднощі вибору типу середньої величини виникають лише при використанні перших двох видів середніх (арифметичної та гармонійної), оскільки застосування інших видів середніх обмежено особливими випадками (про це буде сказано нижче).

ТЕХНІКА ОБЧИСЛЕННЯ

СЕРЕДНЬОЇ АРИФМЕТИЧНОЇ

Під час розрахунку середньої арифметичної ми не відхиляємося від розглянутого вище головного принципу: сума значень варіюючої ознаки усіх одиниць сукупності (обсяг ознаки) відноситься до обсягу сукупності (числа одиниць сукупності, яким притаманна ця ознака).

Коли розрахунки проводять за первинними (незгрупованими) даними, застосовують формулу простої середньої арифметичної:

, (8)

де - індивідуальні значення ознаки у кожної одиниці сукупності;

- число цих значень, тобто число одиниць сукупності.

Припустимо , що є такі дані на автобазі (табл. 4.1):

Таблиця 4.1

Щомісячний пробіг вантажних автомашин однієї марки

Номери автомашин	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Щомісячний пробіг, тис. км	4,8	5,1	5,1	6,5	6,5	6,5	6,5	7,0	7,0	7,0

Визначити середньомісячний пробіг однієї вантажної автомашини.

Для отримання середньомісячного пробігу слід визначити сумарний пробіг усіх десяти вантажних автомашин та поділити цю суму на число автомашин :

= = = 6,2 тис. км.

У наведеному прикладі дані про щомісячний пробіг автомашин складають ранжируваний⁴⁸ ряд , а розмір щомісячного пробігу є ознакою, яка варіює. Середня величина дорівнює 6,2 тис. км, хоча жодна вантажна автомашина не має такого фактичного пробігу.

Змінимо умови задачі та згрупуємо вихідні дані. Отримуємо ряд розподілу, в якому наведені окремі значення варіюючої групованої ознаки – варіанти та частоти, тобто числа, що показують, як часто зустрічаються ті чи інші варіанти у досліджуваній сукупності, - у нашому випадку це число автомашин з кожним значенням щомісячного пробігу (табл. 4.2).

Таблиця 4.2

Розподіл автомашин за величиною щомісячного пробігу

Щомісячний пробіг, тис. км	4,8	5,1	6,5	7,0	Разом
Число машин з величиною пробігу, шт.	1	2	4	3	10

Очевидно, що для відповіді на запитання про середній місячний пробіг однієї вантажної автомашини слід перш за все визначити, чому дорівнює загальна величина пробігу всіма машинами (обсяг ознаки) та потім цю величину поділити на кількість автомашин (обсяг сукупності):

= = = 6,2 тис. км.

Таким чином, коли окремі варіанти зустрічаються у сукупності кілька разів, доцільно спочатку згрупувати вихідні дані, а розрахунок середньої величини здійснювати за формулою, яка зветься середньою арифметичною зваженою :

= , (9)

де - індивідуальні значення ознаки, що зустрічаються;

- частоти (статистичні ваги), тобто числа, що показують, як часто (скільки разів) зустрічаються ті чи інші варіанти у досліджуваній сукупності.

Щоб правильно визначити частоту, треба звертатися до логічної формули⁴⁹ середньої величини. Статистична вага знаходиться у знаменнику логічної формули тому, що середня завжди обчислюється з розрахунку на одиницю сукупності. Так, при визначенні середньої собівартості продукції вагою може бути лише об’єм продукції, а при обчисленні середньої продуктивності праці – число робітників, у розрахунках середнього розміру внесків – число вкладників тощо.

Наведену формулу середньої арифметичної зваженої можна записати інакше:

= . (10)

У цьому вигляді стає зрозумілою внутрішня структура формули, відокремлюються чинники, від яких залежить величина середньої, а саме:

• індивідуальні значення ознаки (), для яких розраховується середня;

• - питома вага частоти окремих варіант у загальній чисельності одиниць сукупності (відносна величина структури).

Таким чином, величина середньої арифметичної зваженої залежить від структури сукупності та буде ближче до величини тих варіант, котрі займають найбільшу питому вагу в сукупності.

Розглянемо приклад, щоб продемонструвати залежність розміру середньої арифметичної зваженої від структури сукупності, для якої ця середня розраховується. При цьому спеціально припустимо, що самі індивідуальні значення ознаки () залишаються постійними, а змінюється лише склад сукупності, її структура.

Ситуація I. Нехай у цеху є дві дільниці та на кожній з них працюють по 50 робітників. Середня заробітна плата на дільниці №1 складає 300 грн., а на дільниці №2 – 500 грн. Для усього цеху середня заробітна плата одного робітника буде становити:

= (грн.).

Для знаходження обсягу явища помножено рівні заробітної плати робітників кожної дільниці на число її робітників, після цього знайдено суму цих добутків. Відношення отриманої величини до загальної чисельності робітників усього цеху дає шукану середню. Вона дорівнює 400 грн. та неначе є простою середньою арифметичною між двома індивідуальними рівнями показника (300 та 500 грн.), які осереднюються. Так виходить тому, що частка робітників кожної дільниці в загальній чисельності робітників цеху однакова і становить 50% ().

Ситуація II. Змінимо умови таким чином, що на дільниці №1 працює 30 робітників, а на дільниці №2 – 70. Тобто, ми залишаємо без змін і самі рівні заробітної плати на дільницях (300 та 500 грн.), і загальну чисельність робітників у цеху (100 осіб). У цих умовах змінюється лише структура сукупності робітників (питома вага чисельності робітників кожної дільниці у загальній чисельності) – вона становить вже не 50 та 50%, а 30 та 70%. Маємо:

= (грн.).

Як бачимо, при незмінних рівнях середньої заробітної плати на кожній дільниці загальна середня заробітна плата у цеху загалом зросла та стала ближче до рівня 500 грн., тобто до значення середньої заробітної плати робітників другої дільниці, частка якої більша (70% > 30%).

Ситуація III. Зрештою, припустимо, що зміни у структурі чисельності робітників були протилежні: на першій дільниці працювали 70 робітників, а на другій – 30. Усі інші характеристики так само не змінювалися. Середня заробітна плата у цеху становитиме:

= (грн.).

Тепер, як бачимо, величина середньої заробітної плати для двох дільниць разом наближається до її значення на дільниці №1 (300 грн.), оскільки в останній ситуації саме ця варіанта має більшу частоту (70 осіб), або більшу питому вагу (70%).

Таким чином, розглянутий приклад переконливо демонструє залежність величини середнього показника не тільки від значень ознаки, що осереднюються (у нашому прикладі ми їх навмисно залишали без змін - 300 та 500 грн.), але й від структури статистичної сукупності, для якої розраховується середня величина.

Усі розглянуті обставини слід брати до уваги особливо під час аналізу динаміки середньої величини, коли треба оцінювати не тільки загальні зміни показника, а й внесок у ці зміни окремих чинників⁵⁰.

ТЕХНІКА ОБЧИСЛЕННЯ

СЕРЕДНЬОЇ ГАРМОНІЙНОЇ

Середня гармонійна застосовується у тих випадках, коли не відомі або самі варіанти, або їхні частоти (статистичні ваги). Вона також може бути простою та зваженою.

Коли є не самі варіанти, а їхні обернені числа, то розраховується проста середня гармонійна за формулою:

= , (11)

де умовні позначки ті ж самі (див. форм. 8 ).

Припустимо, що спостерігаючи за роботою п’ятьох робітників протягом певного часу, було отримано дані про витрати ними робочого часу на виготовлення однієї деталі () - часів: 0,2; 0,3; 0,3; 0,5; 0,5. Треба визначити середню трудомісткість, тобто обчислити середній час, який витрачає один робітник на виготовлення однієї деталі. Очевидно, що для цього необхідно мати дані про загальні витрати часу усіма робітниками та про кількість деталей, що вироблено п’ятьма робітниками за цей час. Будемо виходити з припущення, що робітники працювали тільки одну годину. За цей час перший робітник виробляє 5 деталей (), другий та третій – по 3,3 деталі ( ), а четвертий та п’ятий по 2 деталі (). Таким чином, усі разом вони виробили 15,6 деталей (5+3,3+3,3+2+2), а загальні витрати часу склали 5 чол.-годин. У середньому на одну деталь витрачалося: = 0,32 (год.). Якщо усі розрахунки записати формулою, то остання і буде являти собою середню гармонійну просту: = = 0,32 (год.).

Зважена середня гармонійна застосовується у тих випадках, коли вихідні дані не містять окрему інформацію про частоти, тобто про статистичні ваги варіантів ознаки, що осереднюються. Але при цьому є відомості про обсяг ознаки явища, у розрахунок якого співмножником входить показник-вага. Формула цієї середньої має вигляд:

= , (12)

де М – обсяг явища,

–індивідуальні значення ознаки, що осереднюються.

За умовними даними маємо такі відомості про заробітну плату робітників заводу, що складається з двох цехів (табл. 4.3). Необхідно знайти середню заробітну плату за усіма цехами заводу, тобто загалом на підприємстві.

Таблиця 4.3

Відомості про виплачену впродовж місяця заробітну плату

робітникам цехів підприємства

№№ цеху	Фонд заробітної плати, грн.	Середньомісячна заробітна плата, грн.
1	56 400	470
2	79 500	530
Разом	135 900	?

Слід звернути увагу на те, що окремі значення ознаки, що осереднюється (заробітна плата робітників кожного цеху), наведена без статистичних ваг (частот), якими у даному випадку є чисельність робітників кожного цеху. Але за умовою завдання наведені значення фонду заробітної плати (це й є обсяг ознаки явища), до якого відсутні частоти (чисельність робітників кожного цеху) входять співмножниками: фонд заробітної плати = середня заробітна плата · чисельність робітників.

З цього виходить, що для визначення шуканого показника слід використовувати формулу середньої гармонійної зваженої:

= = = = 503,3 (грн.).

Як бачимо, і в цьому випадку розмір середньої величини трохи ближче до того індивідуального значення ознаки (530), яке має більшу вагу (150 проти 120).

Без належної практики буває важко за умовою завдання водночас визначити, яку середню (арифметичну чи гармонійну) слід вживати під час розрахунку. Ось чому існують правила вибору формули середньої величини, які дозволяють зробити цей вибір безпомилково, а саме:

- правило 1: запишіть словами розрахункову (логічну) формулу показника, що осереднюється;

- правило 2: виберіть з умови завдання відомі для цього

розрахунку дані та підставте у формулу; водночас невідомий показник помічайте знаком питання “?”;

- правило 3: зверніться до п. 1 та виведіть невідомий показник з розрахункової формули;

- правило 4: поверніться до п. 2 і замість знаку питання “?” підставте розрахунок невідомого показника (встановлений у п.3); після цього завершіть розрахунок середньої величини;

- правило 5: запишіть формулу, яка відповідає здійсненому розрахунку.

Розглянемо приклад розрахунків середньої арифметичної та гармонійної зваженої з використанням наведених правил. При цьому наведемо їх розрахунок за одним загальним прикладом, щоб показати застосування цих видів середніх величин у залежності від того, які саме вихідні дані маємо.

Наприклад, маємо умовні дані (табл.4.4) про виконання плану випуску продукції та її якість на трьох заводах комбінату за рік.

Визначити загалом на комбінаті:

а) середній процент виконання плану;

б) середню частку продукції вищого гатунку.

Таблиця 4.4

Відомості по заводах про випуск продукції та її якість

Заводи	Фактичний випуск продукції, млн. грн.	Процент виконання плану, %	Частка продукції вищого гатунку, %
1	440	110	90
2	216	108	85
3	500	100	95
Разом	1156	?	?

а) обчислимо середній процент виконання плану.

Правило 1 – записуємо словами розрахункову формулу відносної величини виконання плану: процент виконання плану = фактичний випуск продукції / плановий випуск продукції.

Правило 2 – з умови завдання нам відомий фактичний випуск продукції, який є діленим у розрахунковій формулі, і навпаки - про плановий випуск (дільник) даних немає:

= .

Правило 3 – виводимо, чому дорівнює плановий випуск продукції з розрахункової формули: плановий випуск продукції = фактичний випуск продукції / процент виконання плану.

Правило 4 – повернемося до розрахунку середнього процента виконання плану: = = = = 1,051, або 105,1%.

Правило 5 – загальний вигляд розрахунку (а саме: визначається дільник) свідчить, що для отримання середнього проценту виконання плану випуску продукції для комбінату загалом, який складається з трьох підприємств, використано формулу середньої гармонійної зваженої:

= .

Таким чином, формула середньої гармонійної зваженої застосовується у тому випадку, коли з вихідних даних не відомий знаменник дробу.

б) обчислимо середню частку продукції вищого гатунку.

Правило 1 : частка продукції вищого гатунку є відносною величиною структури. Вона визначається так: питома вага продукції вищого гатунку = обсяг продукції вищого гатунку / увесь обсяг випущеної продукції .

Правило 2 : з наведеної словами розрахункової формули видно, що в цьому випадку нам не відоме ділене, тому записуємо у знаменник розмір фактичного випуску продукції та переходимо до правила 3, щоб вивести невідомий обсяг продукції вищого гатунку:

= .

Правило 3 : обсяг продукції вищого гатунку = питома вага продукції вищого гатунку · увесь обсяг випущеної продукції .

Правило 4 : == == 91,2%.

Правило 5 : як бачимо, розрахунок середнього відсотка продукції вищого гатунку для трьох заводів проведено за формулою середньої арифметичної зваженої (визначається ділене): = .

Тобто формула середньої арифметичної зваженої застосовується у тому випадку, коли з вихідних даних невідомий чисельник дробу.

ТЕХНІКА ОБЧИСЛЕННЯ

СЕРЕДНЬОЇ КВАДРАТИЧНОЇ

Середня квадратична вживається у тих випадках, коли варіанти (окремі значення ознаки, що осереднюються) являють собою відхилення фактичної величини від установленої норми. Оскільки ці відхилення можуть виникати в обидві сторони (і у більшу, і у меншу), то вони мають обидва знаки: і “+”, і “-” . У цих умовах немає іншої можливості для знаходження сумарного значення усіх варіант (обсягу ознаки), ніж попередньо піднести ці варіанти у другий ступінь. Але після ділення обчисленої суми квадратів на обсяг сукупності необхідно добути квадратний корінь з отриманого результату. Ця середня також розраховується у двох формах:

- проста середня квадратична: = ; (13)

- зважена середня квадратична: = . (14)

Розглянемо приклад розрахунку середньої квадратичної зваженої.

За даними про відхилення фактичної довжини виробів від стандарту (табл. 4.5, гр. 1) обчислимо середній розмір цих відхилень за усією партією виробів.

Таблиця 4.5

Розрахунок середньої квадратичної

Відхилення (±), мм ()	Число виробів ()		·
- 0,5	3	0,25	0,75
0	4	0	0
+ 0,5	2	0,25	0,50
+1,0	1	1,0	1,0
Разом	10	-	2,25

Зведемо у таблиці проміжні розрахунки. Шуканий показник дорівнюватиме: = = = ± 0,475 (мм), тобто довжина кожного виробу відхиляється від норми у той чи інший бік у середньому на 0,475 мм.

Таким чином, ми розглянули методи використання трьох видів середньої величини: арифметичної, гармонійної та квадратичної. Виходячи з того, що застосування середньої хронологічної та середньої геометричної здійснюється в особливих випадках, техніку їх розрахунку буде розглянуто під час знайомства з показниками аналізу рядів динаміки⁵¹.

Слід зауважити, що коло узагальнюючих показників значно більше того, що розглянуто, а використання розглянутих здійснюється у значно ширшій кількості випадків. Тому знайомство з узагальнюючими показниками продовжується у наступній темі.

Питання для самоперевірки і закріплення знань

1. Що характеризують абсолютні величини?

2. У яких одиницях вимірюють абсолютні величини?

3. Яке наукове та практичне значення мають абсолютні

величини?

4. Назвіть недоліки абсолютних величин.

5. Визначте головні характеристики відносних величин.

6. Наведіть формули розрахунку відносних величин планового завдання, виконання плану та динаміки. Як вони пов’язані між собою?

7. Що характеризує відносна величина структури?

8. Коли використовують відносну величину координації?

9. Наведіть приклади відносної величини інтенсивності.

10. Які співвідношення передбачають відносні величини рівня

економічного розвитку та порівняння?

11. Які вимоги висуваються до розрахунку середніх величин?

12. Наведіть визначення середньої величини.

13. Що установлює логічна формула середньої величини?

14. Які види середніх величин застосовуються у статистиці?

15. У чому полягає різниця між простою та зваженою середньою?

16. Від яких чинників залежить середня арифметична зважена?

17. У яких випадках використовують середні гармонійні:

просту та зважену?

18. Поясніть правила вибору формули середньої величини.

19. Коли застосовується та як обчислюється середня квадратична?

АНАЛІЗ ВАРІАЦІЙНИХ РЯДІВ