Обратная матрица

3.4. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований

Предположим, что матрица A неособенная и изложим еще один метод нахождения обратной матрицы, основанный на элементарных операциях над строками. Алгоритм чрезвычайно прост по своей сути.

Сначала составляется расширенная матрица – присоединением к матрице A единичной матрицы E:

Затем с помощью элементарных операций над строками расширенная матрица преобразуется к виду (E | B).

И это все:

A−1 = B .

В данном контексте под элементарными преобразованиями понимается:

1)Умножение строки на любое ненулевое число.

2)Прибавление к одной строке любой другой, при желании предварительно умноженной на любое число.

Обратная матрица

Затем вычтем первую строку из второй строки:

Метод работает.

Упражнения к главе 3.

1. Найти миноры и алгебраические дополнения элементов второй строки

Системы линейных уравнений

4. Системы линейных уравнений

4.1.Ранг матрицы

Говорят, что ранг матрицы A размерности m ×n равен r, если существует хотя бы одна несингулярная подматрица r -го порядка, тогда как любая подматрица более высокого порядка является сингулярной.

Если это определение озвучить в терминах определителей, то оно будет выглядеть примерно так:

Матрица A размерности m ×n имеет ранг r, если существует хотя бы один отличный от нуля определитель r-го порядка, тогда как определитель любой подматрицы более высокого порядка равен нулю.

Очевидно, что

rank A ≤ min{m, n}.

Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод элементарных преобразований строк и столбцов – в точности тот самый метод, который применяется для вычисления определителей. Будет уместным напомнить основные операции метода:

1.Перестановка строк или столбцов.

2.Умножение строки ил столбца на ненулевое число.

3.Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.

Строки или столбцы, содержащие одни нули, могут быть опущены. Целью элементарных преобразований является приведение матрицы

к ступенчатой форме, т.е. к квазитреугольному виду вроде того, что представлено ниже:

Очевидно, что определитель третьего порядка, составленный из элементов первых трех строк и столбцов, отличен от нуля, и ранг матрицы равен 3:

2 7 − 2 0 6 1 = 2 6 (−1) ≠ 0 . 0 0 −1

Теорема. В результате элементарных преобразований матрицы ее ранг не изменяется.

Доказательство. Нам предстоит убедиться только в том, что в результате элементарных преобразований нулевой определитель остается нулевым, а ненулевой – ненулевым.

47

Системы линейных уравнений

1.Перестановка строк или столбцов матрицы изменяет только знак определителя.

2.При умножении строки (столбца) матрицы на ненулевое число определитель умножается на это число.

3.Определитель не изменяется, если к строке (столбцу) прибавляется другая строка (столбец).

Таким образом, в результате элементарных преобразований сингулярные матрицы остаются сингулярными, а несингулярные – несингулярными.

Решение. Вычтем из третьей строки первую и четвертую строки:

Если теперь прибавить третью строку, умноженную на (–2), (–3) и 2, соответственно, к другим строкам, то в четвертом столбце возникает максимально возможное число нулей:

Далее из четвертой строки вычтем первую строку и затем к полученной строке прибавим вторую:

Опускаем нулевую строку и на этом завершаем преобразования, поскольку стало очевидным, что существует подматрица третьего порядка, определитель которой отличен от нуля, и при этом не существует отличных от нуля определителей более высокого порядка:

48