Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный институт управления РАНХиГС (СЗАГС)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Konev-Linear_Algebra.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Обратная матрица

3. Обратная матрица

3.1. Терминология

Рассмотрим квадратную матрицу A.

Матрица A−1 называется обратной матрицей к A, если

A−1 A = A A−1 = E ,

где E – единичная матрица.

Отметим, несколько забегая вперед, что условием существования обратной матрицы является отличие от нуля определителя матрицы. В этой связи уместно ввести соответствующую терминологию.

Матрица называется сингулярной, если ее определитель равен нулю. В качестве синонимов используются также термины “особая матрица” или “вырожденная матрица”.

Если det A ≠0, то матрица A называется несингулярной (или

неособенной, или невырожденной).

Если в матрице A заменить ее элементы их алгебраическими дополнениями и перейти к транспонированной матрице, то полученная матрица называется присоединенной для A и обозначается символом adj A :

1,2

L A

2,1

L A

n,1

1,1

1,n

1,1

A2,1

A2,2

L A2,n

A1,2

A2,2

L An,2

adj A =

L L

L A

n,1

n,2

n,n

2,n

n,n

1,n

Таким образом, adj A =|| AT

|| и (adj A)

i, j

= AT

= A

j,i

i, j

3.2. Две важные леммы

Пусть A – квадратная матрица n-го порядка.

Лемма 1. Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю:

n
∑ai,k Aj,k = 0,	(i ≠ j)	(1)
k =1
и
n
∑ak , i Ak , j = 0,	(i ≠ j) .	(2)

k =1

Обратная матрица

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную матрицу A, полученную из матрицы A заменой j-ой строки i-ой строкой:

ai,1

A = L

a j,1

Произведем

L L	L L		L L L L L
ai,2 ai,3				ai,2	ai,3 L ai,n
	L ai,n	~	ai,1
L L	L L
		A = L L L L L
a j,2 a j,3				ai,2	ai,3 L ai,n
	L a j,n		ai,1
L L
	L L		L L L L L

~
разложение det A по элементам j-ой строки:
~	n	~	n	~
det A =	∑a j,k Aj,k = ∑ai,k Aj,k .
	k =1		k =1

Заметим, что алгебраическое дополнение элемента некоторой строки не зависит от элементов этой строки. (Потому что при вычислении алгебраического дополнения эта строка просто вычеркивается.) Однако

матрицы A и A отличаются друг от друга только j-ой строкой и,

следовательно, ~j,k = j,k . Тогда

A A

~ = ∑n .

det A ai,k Aj,k k =1

Пришла пора вспомнить, что матрица A имеет две одинаковых строки, что влечет за собой равенство нулю ее определителя.

Таким образом, утверждение (1) доказано:

		~	n
		det A = ∑ai,k Aj,k = 0. (i ≠ j) .
			k =1
Аналогично доказывается справедливость утверждения (2).
Лемма 2. Если det A ≠0		, то
1		A adj A =		1	adj A A = E ,	(3)
	det A	A adj A =		det A	adj A A = E ,	(3)
	det A			det A

где E – единичная матрица.

Доказательство. Запишем равенства (3) в терминах матричных элементов:

( A adj A)i, j = (adj A A)i, j = det A δi, j ,			(4)
Это означает, что
0,	если i ≠	j	(5)
( A adj A)i, j =(adj A A)i, j =	если i =	j	(5)
det A,	если i =	j

Предположим, что i ≠ j . Тогда согласно Лемме 1

		Обратная матрица
n	n
∑ai,k Aj,k = 0	∑ai,k AkT, j = 0	( A adj A)i, j = 0,
k =1	k =1
и
n	n
∑ak ,i Ak , j = 0	∑ATj,k ak ,i = 0	(adj A A) j,i = 0 .
k =1	k =1

Мы показали, что результатом умножения (в том или ином порядке) матрицы A и присоединенной матрицы adj A является диагональная

матрица. Остается доказать, что все диагональные элементы этой матрицы равны det A :

( A adj A)i,i = (adj A A)i,i =det A .

Этот результат становится очевидным, если воспользоваться теоремами о разложении определителя по элементам строки и столбца:

n	n
det A = ∑ai,k Ai,k = ∑ai,k AkT,i = ( A adj A)i,i
k =1	k =1
и
n	n
det A = ∑ak,i Ak,i = ∑AiT,k ak,i = (adj A A)i,i .
k =1	k =1

3.3. Теорема об обратной матрице

Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица:

A−1 = de1t A adj A .

Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы.

Доказательство.

1. Предположим, что существует обратная матрица к A. Тогда

A A−1 = E .

Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем

det A det A−1 =1

и, следовательно, det A ≠0.

Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.

2. Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, A−1 и B−1 . Тогда

A A−1 = A−1 A = E

Обратная матрица

AB−1 = B−1 A = E .

Используем эти равенства для преобразования матрицы B−1 :

B−1 = B−1E = B−1 AA−1 = (B−1 A) A−1 = EA−1 = A−1 ,

что доказывает утверждение о единственности обратной матрицы.

3. В соответствии с Леммой 2

A (de1t A adj A)

Следовательно,

det A

= (de1t A adj A) A = E . adj A = A−1 .

3.3.1. Примеры вычисления обратной матрицы

Пример 1. Найти обратную матрицу для матрицы	3		4
	A =	1	2	.

Решение. Начнем с вычисления определителя матрицы: det A = 13 42 =6 −4 = 2.

Поскольку det A ≠ 0 , то обратная матрица существует. Далее найдем алгебраические дополнения всех элементов:

	A =(−1)1+1								2 = 2,							A =(−1)1+2 1 = −1,
		1,1															1,2
		A =(−1)2+1 4 = −4,															A = (−1)2+2 3 = 3.
		2,1															2,2
Составляем присоединенную матрицу для A:
						A A					T				2			−1 T					2 −4
adj A =						1,1			1,2			=
adj A =									A			=		−4				3	=			−1 3					.
					A				A					−4				3				−1 3
Таким образом,						2,1			2,2
Таким образом,																							1 −2
	−1				1		2			−	4		1 2					−4					1 −2
A		=										=								=			−	1 3				.
A		=										=								=				1 3				.
				det A −1						3			2 −1						3					2
Проверка:				det A −1						3			2 −1						3					2	2
Проверка:					3 4				2			− 4						2 0					1 0
AA−1 =				1	3 4				2			− 4					1	2 0					1 0			= E ,
				1												=	1				=
																=					=
			2							−1 3							2
			2		1 2					−1 3							2	0 2					0 1
и
A−1 A =				1	2			− 4			3 4						1	2 0					1 0			= E .
				1												=	1				=
																=					=
			2														2
			2		−1 3						1 2						2	0 2					0 1
													42

				Обратная матрица
	1		2	3
Пример 2. Найти обратную матрицу для матрицы		4	5	6
	A =				.
		7	8	9

Решение. Вычисляем определитель:
det A =	1	2	3		1	2	3
	1	2	3		1	2	3
	4	5	6	=	3	3	3	= 0 .
	3	3	3		3	3	3

Матрица оказалась сингулярной и, следовательно, она не имеет обратной матрицы.

	1		−2	3
Пример 3. Найти обратную матрицу для матрицы		0	4
	A =			−1 .
		5	0	1

Решение.

1)Для вычисления определителя прибавим ко второй строке удвоенную первую; затем разложим определитель по элементам второго столбца:

		1 −2 3								r	→r			+2r			1 −2 3												1+2	2		5


det A =										2		2		1
det A =		0		4		−1					=						2	0		5	= (−2) (−1)									5		1	= −46.
2)		5		0		1											5	0		1
		5		0		1											5	0		1
	Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:
					1+1		4 −1								= 4,						1+2				0				−1		= −5,
					1+1		4 −1														1+2				0				−1
	A = (−1)																			A = (−1)
	1,1						0				1									1,2					5				1
							0				1														5				1
						1+3		0 4						= −20,						A = (−1)			2+1				−	2 3				= 2,
						1+3		0 4															2+1				−	2 3
	A = (−1)
	1,3							5			0									2,1						0			1
								5			0															0			1
	A		= (−1)2+2				1				3	= −14,							A = (−1)2+3					1					−2		= −10,
	A		= (−1)2+2				1				3	= −14,							A = (−1)2+3					1					−2		= −10,
	2,2						5				1									2,3				5					0
							5				1													5					0
	A			=(−1)3+1					−2						3	= −10,				A	= (−1)3+2						1		3			=1,
	A			=(−1)3+1					−2						3	= −10,				A	= (−1)3+2						1		3			=1,
	3,1								4				−1							3,2							0		−1
									4				−1														0		−1
											A = (−1)3+3								1 −2			= 4.
											A = (−1)3+3								1 −2			= 4.
											3,3								0	4
																			0	4
3)	Запишем присоединенную матрицу для A:
																		43

Обратная матрица

4		−5 −20 T		4		2	−10
	2	−14	−10		−5	−14	1
adj A =				=				.
	−10	1	4		−20	−10	4

4) Делением присоединенной матрицы на det A , получаем обратную матрицу:

		4	2	−10
A−1 = −	1	−5	−14	1	.

46
		−20	−10	4

5) Проверка:						1		− 2 3							4			2	−10
					1	1		− 2 3							4			2	−10
	AA		−1		1
				= −			0 4				−1				−5		−14 1
				= −	46		0 4				−1				−5		−14 1
					46		5 0				1				− 20 −10				4
							5 0				1				− 20 −10				4
					1	− 46					0			0				1 0 0
					1			0			46			0				0 1 0		= E.
				= −						−							=
				= −	46					−							=
					46			0			0			− 46				0 0 1
Аналогично,								0			0			− 46				0 0 1
Аналогично,						− 46					0			0				1 0 0
					1	− 46					0			0				1 0 0
	A	−1	A = −		1			0			46			0				0 1 0		= E .
									−								=
					46				−								=
					46			0			0			− 46				0 0 1
Все O.K.								0			0			− 46				0 0 1
Все O.K.
Пример 4.	Даны матрицы							A =			3	5			и			4	1
Пример 4.	Даны матрицы							A =			1	2			и	B =			. Решить матричное
уравнение											1	2						3	1
уравнение											XA = B .									(*)
											XA = B .									(*)
Решение.	Поскольку					det A =				3	5		=1 ≠ 0				,	то	матрица A является
Решение.	Поскольку					det A =				3	5		=1 ≠ 0				,	то	матрица A является
										1	2

неособенной и существует обратная матрица A−1 .
Умножаем обе части уравнения (*) матрицей A−1				справа:
XAA−1 = B A−1		XE = B A−1
X = B A−1
Находим присоединенную матрицу для A:
	2 −1 T		2 −5
adj A =	−5		=	3	.
	−5	3	−1	3
	44

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.201940 Кб8kak_delat_kursach.docx
#
27.11.201978 Кб7KANADA (1).doc
#
07.07.20193 Мб5KCE.docx
#
15.05.2015828 Кб21koncep.pdf
#
15.05.20151 Мб45Koncep.pdf
#
18.03.20161 Мб72Konev-Linear_Algebra.pdf
#
15.05.2015747 Кб15konstit_pravo.pdf
#
15.05.2015771 Кб17konstit_pravo.pdf
#
15.05.2015412 Кб20Konstitucionnoe_pravo_RF.pdf
#
15.05.2015181 Кб25kontr_algebra.doc
#
01.03.2025106 Кб1Kontr_rabota_gr_1503-1504 (1) ОРЦИЕВА.doc