Приклад 2.11

Плоский конденсатор з двошаровим діелектриком

Нехай в плоскому конденсаторі два діелектрика (рис.2.12) – один з діелектричною проникністю товщиною, другий з діелектричною проникністю, товщиною.

Для неоднорідного середовища зручно застосувати вектор електричного зміщення, який для даного випадку в кожній точці поля конденсатора має одне і те ж саме значення, що дорівнює поверхневій густині заряду (1.56)

.

Звідси напруженості для першого і другого шарів визначаються

Рисунок 2.12

і

. (2.20)

Напруга між пластинами в однорідному полі становить

. (2.21)

Ємність конденсатора

. (2.22)

Розглянемо як змінюється ємність і електрична міцність плоского конденсатора, якщо в його діелектрику (приклад 2.10) з’являється повітряний прошарок () навколо однієї пластини товщиною. Пробивна напруга повітря.

Товщина першого шару .

Знайдемо нову ємність конденсатора

.

Виразимо напругу конденсатора через напруженість повітряного прошарку . Із (2.20) випливає, що

.

Підставимо це значення в (2.21) і отримаємо

.

Звідси пробивна напруга

.

Порівнявши отримані результати з результатами прикладу 2.10 бачимо, що прошарок мало змінив ємність конденсатора (на 21%), але в 17 разів зменшив електричну міцність конденсатора.

Ємність конденсатора з двошаровим діелектриком можна знайти і іншим шляхом. Площина розділу діелектриків є еквіпотенціальною поверхнею (паралельна обкладкам конденсатора), тому, згідно з першим наслідком теореми єдиності розв’язку, її можна замінити тонким провідним листом, по обидві сторони якого зосереджується така ж кількість протилежних зарядів, як і на обкладках конденсатора (внаслідок електростатичної індукції). Конденсатор для цього випадку можна розглядати як два послідовно з’єднаних конденсатора, що мають одну спільну обкладку. Ємності цих конденсаторів відповідно дорівнюють

,

а загальна ємність визначається

.

Приклад 2.12

Електростатичне поле коаксіального кабелю

Коаксіальний кабель має внутрішній провідник радіусомі зовнішній провідник у вигляді труби радіуса(рис.2.13).

Обидва провідники мають спільну вісь і розділені діелектриком. Радіуси провідників значно менші їхньої довжини . Внутрішній провідник заряджений до заряду, а зовнішній – до. Всередині провідників поле відсутнє.

Рисунок 2.13 Поле зовні коаксіального кабелю також відсутнє, тому що зовнішня оболонка кабелю є екран.

Для знаходження поля між провідниками коаксіального кабелю обведемо внутрішній провідник циліндричною поверхнею радіусом і застосуємо теорему Гаусса

.

В зв’язку з симетрією напруженість поля для всієї поверхні інтегрування однакова і збігається за напрямком з вектором поверхні. Оскільки бокова поверхня циліндра, то

. (2.23)

Потоком вектора через торцеві поверхні циліндра в силу їхньої малості знехтуємо.

Тоді напруга між провідниками кабелю визначається

. (2.24)

Ємність кабелю

.

Ємність кабелю на одиницю довжини становить

. (2.25)

Для кабелю з параметрами:

ємність .

Визначити, яку найбільшу допустиму напругу можна прикласти до даного кабелю, щоб запас електричної міцності був не менше п’яти. Пробивна напруга.

Запасом електричної міцності називають відношення напруги (пробивної напруги), при якій відбувається пробій діелектрика, до найбільшої допустимої напруги.

Максимальна напруженість кабелю, як видно із (2.23) біля поверхні внутрішнього провідника при

. (2.26)

Напругу між провідниками кабелю (2.24) запишемо з урахуванням (2.26)

.

Пробивна напруга кабелю визначається

,

а допустима напруга з урахуванням п’ятикратного запасу міцності становить

.