Тема 3. Повторные независимые события

Литература: , часть первая, гл. 5, параграфы 1-4, гл. 3, параграфы 1-5, часть вторая, гл.6, параграфы 5, , часть первая, гл. 3, параграфы 4-5, , раздел 1, гл. 2, параграфы 2.1-2.5

Краткий конспект

Если проводится несколько испытаний (серия) и вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события A.

В разных независимых испытаниях событие A может иметь либо различные вероятности, либо одинаковые вероятности.

Если вероятность p наступления события A в каждом из независимых опытов постоянная, то вероятность того, что в опытах событие A наступило раз, определяется формулой биномиального распределения:

где , а – число сочетаний из элементов по элементов.

Замечание: В формуле не предполагается, что событие A повторится ровно m раз в определенной последовательности.

Вероятность того, что при опытах событиенаступит:

1. менее раз:

2. более раз:

3. не более раз:

4. не менее раз:

5. не менее и не болеераз:

6. хотя бы один раз:

Пусть проводится независимых испытаний. В каждом из этих испытаний событиеAможет наступить с вероятностьюи не наступить с вероятностью Число называетсянаивероятнейшим числом, если вероятность того, что событие A наступит в этих испытанияхраз, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число можно найти из двойного неравенства:

Количество опытов , которое необходимо провести для того, чтобы с вероятностьюможно было утверждать, что данное событиепроизойдет, по меньшей мере, один раз, находится по формуле:

Приближенные формулы в схеме Бернулли

Использовать формулу Бернулли при больших значениях трудно, так как формула требует выполнения действий над большими числами. В практических расчетах используют приближенные формулы.

Формула Пуассона:

Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятностьнаступления событияA достаточно мала, причем произведение ни мало и ни велико, то вероятностьтого, что в испытаниях событие A наступит раз, можно приближенно вычислить по формуле Пуассона:

Локальная формула Муавра-Лапласа:

Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятности ине очень близки к нулю (выполнены условия), то вероятностьтого, что в испытаниях событие A наступит раз, можно приближенно вычислить по локальной формуле Муавра-Лапласа:

где – функция Гаусса.

Интегральная формула Муавра-Лапласа:

Если число опытов достаточно велико, а вероятностиине очень близки к нулю (выполнены условия), то вероятностьтого, что числонаступлений событияА заключено между числами и, можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа:

где ,,– функция Лапласа.

Решение типовых задач

Пример 1:Примерно 50% предприятий малого бизнеса нуждается в банковских кредитах. Найти вероятность того, что из десяти предприятий малого бизнеса пять предприятий нуждаются в банковских кредитах.

Решение: Вероятность того, что предприятию малого бизнеса потребуется кредит , отсюда. По формуле Бернулли имеем: .

Самостоятельно: Примерно 90% покупателей предпочитают покупать мыло светлых оттенков. Определить вероятность того, что из пяти наугад выбранных покупателей трое выберут мыло светлых оттенков.

Ответ:.

Пример 2:В 2005 году по результатам опроса Минэкономразвития среди выпускников российских школ примерно 20% выпускников хотели стать предпринимателями. Какова вероятность того, что среди ста случайно выбранных выпускников ровно двадцать человек хотели бы стать предпринимателями?

Решение: Применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Число опытов велико . Воспользуемся приближенными формулами:формулой Пуассона и локальной формулой Муавра-Лапласа.

По формуле Пуассона: , где.

В нашем случае: Подставляем в формулу: получаем по формуле Пуассона .

По локальной формуле Муавра-Лапласа: , где,– функция Гаусса.

В нашем случае:

Подставляем в формулу: . По таблице Приложения 1 находим, что Получаем, что .

Сравните полученные результаты.

Самостоятельно: Система пожизненного найма охватывает примерно 30% японских рабочих, занятых в крупных фирмах. Найти вероятность того, что из трехсот рабочих в крупной фирме девяносто человек работают по системе пожизненного найма.

Ответ:

Пример 3: Саженцы яблони данного сорта приживаются в 70% случаев. Найти вероятность того, что из трехсот саженцев приживутся не менее двухсот десяти и не более двухсот тридцати.

Решение: Воспользуемся интегральной формулой Муавра-Лапласа ,

где ,,–функция Лапласа

В нашем случае,

Находим по таблице 2 Приложения:

Подставляем в интегральную формулу Муавра-Лапласа,

Самостоятельно: Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 37 размера, равна 0,4. Чему равна вероятность того, что из шестисот покупателей обувного магазина, обувь 37 размера потребуется не менее двухсот двадцати восьми и не более двухсот пятидесяти двум.

Ответ: .

Вопросы для проверки:

1. Перечислите основные свойства функции Гаусса

2. Опишите основные свойства функции Лапласа

3. Какую функцию называют производящей функцией?