Вариационный ряд. Представление и первоначальная обработка

Различные значения признака Х, обозначаемые называютсявариантами. Выборка, упорядоченная по возрастанию и оформленная в виде таблицы (см. таблицу 1) называетсяпростым статистическим рядом. Если объем выборки значителен, а повторяемость вариант небольшая, то весь объем выборки разбивают на части – интервалы. В результате получается ряд интервалов – вариационный ряд (таблица 2). При этом фиксируется только факт попадания варианты в конкретный интервал. Количество интервалов m рекомендуется выбирать в соответствии с формулой Стерджеса:

,

а ширину интервала - , где- разность между наибольшей и наименьшей вариантами, аn – объем выборки.

Пример . Изучается выработка на одного рабочего предприятия в текущем году, взятая в процентах по отношению к прошлому году. Пусть из генеральной совокупности (общего числа сотрудников) сделана выборка объемом n=100. Получены следующие данные:

X={101, 98, 110, 111, 100, 97, 102, 89, 94, 101, 113, 95, 90, 92, 89, 102, 100, 93, 116, 96, 106, 105, 98, 101, 112, 97, 101, 104, 97, 100, 100,112, 103, 109, 94, 94, 94, 101, 96, 100, 97, 102, 89, 100,112, 102, 100, 94, 104, 99, 110, 111, 101, 100, 101, 103, 99, 94, 101, 98, 111, 111, 102, 101, 111, 96, 103, 104, 97, 99, 100, 100,112, 103, 109, 94, 113, 96, 106, 105, 98, 101, 111, 97, 101, 106, 97, 100, 107,112, 113, 96, 106, 105, 98, 101, 112, 97, 101, 104,}.

Требуется построить статистические ряды.

Расположим признак в порядке возрастания вариант.

X={89, 89, 89, 90, 92, 93, 94, 94, 94,94, 94, 94, 94, 95, 96, 96, 96, 96, 96, 97, 97, 97, 97, 97, 97, 97, 97, 98, 98, 98, 98, 98, 99, 99, 99, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 101, 101, 101, 101, 101, 101, 101 101, 101, 101, 101, 101, 101, 102, 102, 102, 102, 102, 103, 103, 103, 103, 104, 104, 104, 104, 105, 105, 105, 106, 106, 106, 106, 107, 109, 109, 110, 110, 111, 111, 111, 111, 111, 111, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 113, 113, 113, 116}.

Подсчитаем количество повторяющихся вариант и построим простой статистический ряд в виде таблицы 1:

Таблица 1.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
	89	90	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	109
	3	1	1	1	7	1	5	8	5	3	11	13	5	4	4	3	4	1	2

i	20	21	22	23	24
	110	111	112	113	116
	2	6	6	3	1

Здесь - количество появлений значения признака (варианты)в выборке. Очевидно, что .

Учитывая, что в большинстве случаев каждое значение варианты встречается редко, 1–3 раза, перейдем к вариационному интервальному ряду.

; примем: (%).

За начало первого интервала рекомендуется брать величину В данном случае. Сгруппированный вариационный ряд представляется в виде таблицы 2:

Таблица 2.

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	87–91	91 – 95	95 – 99	99– 103	103–107	107–111	111-115	115-119
	4	10	16	33	16	5	15	1
	0,04	0,1	0,16	0,33	0,16	0,05	0,15	0,01

Числа , показывающие, сколько раз встретиласьi-тая варианта, называются частотами, а отношения их к общему числу вариант – частностями илиотносительными частотами.

. Графические характеристики выборки

Такими характеристиками служат эмпирическая функция распределения, полигон частот (относительных частот) и гистограмма.

Эмпирической функцией распределения называется относительная частота того, что признак (случайная величина Х) примет значение, меньше заданного х, т.е.

Полигон частот – ломаная, концы отрезков которой имеют координаты или- для полигона относительных частот. Полигон частот используется для графического представления простого статистического ряда.

Гистограмма служит для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака и высотами. Площадь всей гистограммы равна 1. На рисунке 8.1 изображен полигон частот, на рисунке 8.2 - эмпирическая функция распределения, на рисунке 8.3 – гистограмма для примера 1.

Точечные характеристики выборки (оценки параметров)

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализации) распределения признака (случайной величины Х). В этом смысле полигон (гистограмма) аналогичен кривой распределения - дифференциальной функции распределения случайной величины Х. Однако построение их достаточно громоздко. В то же время, на практике часто оказывается достаточным знание лишь числовых характеристик случайной величины (признака Х)- математического ожидания, дисперсии и т.д. Но числовые характеристики Х неизвестны и информация о них может быть получена только на основе изучения имеющихся опытных данных – выборки. В математической статистике принято говорить, что некоторые сводные характеристики выборки служат для оценивания (являются оценкой) числовых характеристик генеральной совокупности. Эти характеристики носят название точечных оценок выборки. Расчет их – следующий этап обработки опытных данных.

К точечным оценкам предъявляются требования несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценка параметрагенеральной совокупности называетсянесмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е.

.

Оценка параметра генеральной совокупностиназываетсясостоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

.

Эффективной называется та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию среди других возможных оценок.

Рассмотрим эти оценки.

Выборочная средняя – (аналог математического ожидания с.в.) -средняя арифметическая значений вариант, рассчитанная по значениям вариационного ряда:

,

-варианты простого статистического ряда или середины интервалов вариационного; .

Выборочная дисперсия – (аналог дисперсии с.в.) - средняя арифметическая квадратов отклонения вариант от выборочной средней; служит характеристикой рассеяния вариант относительно выборочной средней:

.

Выборочная дисперсия не удовлетворяет свойству несмещенности, поэтому вводится также исправленная выборочная дисперсия

.

Желательно в качестве меры рассеяния иметь характеристику, выраженную в тех же единицах, что и варианты. Поэтому вводится среднее выборочное квадратическое отклонение:

.

Рассматривается также безразмерная характеристика – коэффициент вариации, который служит для оценки однородности опытных данных:

% .

Мода – варианта, которой соответствует наибольшая частота;

Медиана – значение признака, приходящееся на середину вариационного ряда (количество вариант меньшихравно количеству вариант больших).

Для дискретного ряда из нечетного числа членов медиана равна серединной варианте, для ряда из четного числа членов – полусумме двух серединных вариант.

Интервальные оценки параметров

Выборка, полученная из генеральной совокупности, содержит n значений признака - случайной величины Х. Найденные значения точечных характеристик в свою очередь будут случайными величинами, меняющимися от выборки к выборке. Однако они используются для оценки неслучайных числовых параметров генеральной совокупности – математического ожидания (генеральной средней) и дисперсии (генеральной дисперсии). С этим обстоятельством связана необходимость ввести в рассмотрение понятия интервальных оценок параметров – оценок, определяемых двумя числами, границами некоторого интервала.

Интервальной оценкой какого-либо оцениваемого параметра служит доверительный интервал.

Доверительный интервал – интервал со случайными границами, вычисляемыми по выборке, который с заданной исследователем (доверительной) вероятностью «накрывает» оцениваемый параметр. Как правило, выбирается симметричный интервал относительно .

Пусть исследуемый признак распределен в соответствии с нормальным законом распределения.

Интервальная оценка для генеральной средней:

а) при известной среднеквадратической ошибке измерения:

,

где - генеральная средняя (математическое ожидание);- известное среднее квадратическое отклонение;n - объем выборки; t определяется из условия , где- функция Лапласа, заданная таблично;- доверительная вероятность, назначаемая исследователем.

б) при неизвестной среднеквадратической ошибке

,

где s - среднее выборочное квадратическое отклонение; - табулированная функция, построенная на основе распределения Стьюдента.

Интервальная оценка для генеральной дисперсии

,

где D – генеральная дисперсия k =n-1 или k=n-m; - квантили- распределения, зависящие отk доверительной вероятности .

Интервальная оценка для генерального среднего квадратического отклонения:

,

где - генеральное среднее квадратическое отклонение,- таблично заданная функция.