4. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией

Нулевая гипотеза :. Конкурирующая гипотеза:;

Статистика для проверки: ;

Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения , где.

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотеза :. Конкурирующая гипотеза:;

Статистика для проверки: ;

Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения , где.

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотеза :. Конкурирующая гипотеза:;

Статистика для проверки: ;

Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения , где.

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

5 Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о законе распределения

Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения изучаемого признака по опытным данным – имеющейся выборке из генеральной совокупности.

Наиболее часто используется критерий согласия Пирсона или -критерий.

В критерии согласия Пирсона проверяется статистическая гипотеза о виде теоретического закона распределения. Сравнивается с критическим значением сумма квадратов отклонений опытного числа попаданий в каждый интервалот теоретического их числа, где- теоретические вероятности попадания вi-й интервал значений изучаемого признака в случае действительной реализации подобранного закона распределения. Вычисляемая статистика сравнивается с критическим значением, где- уровень значимости,- число степеней свободы дисперсии,- число параметров в теоретическом законе распределения. Еслигипотеза принимается.

Пример. Для примера 1 по критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном законе распределения на уровне значимости .

 Был получен вариационный ряд:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	87–91	91 – 95	95 – 99	99– 103	103–107	107–111	111-115	115-119
	4	10	16	33	16	5	15	1
	0,04	0,1	0,16	0,33	0,16	0,05	0,15	0,01

и построена гистограмма. Вид гистограммы позволяет предположить, что изучаемый признак распределен нормально. Теоретические значения математического ожидания и среднего квадратического отклонениянеизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими оценками»и.

Для расчета вероятностей попадания признака в интервалы используем таблицы функций Лапласа:

. Теоретические частоты , так:

Для вычисления статистики удобно пользоваться таблицей:

i
1	87–91	4	0,03	3,0	1,0	0,33
2	91 – 95	10	0,08	8,0	4,0	0,25
3	95 – 99	16	0,16	16,0	0,0	0,0
4	99– 103	33	0,18	18,0	225,0	18,12
5	103–107	16	0,22	22,0	36,0	1,63
6	107–111	5	0,2	20,0	225,0	11,25
7	111-115	15	0,15	15,0	0,0	0,0
8	115-119	1	0,02	2,0	1,0	0,25
		100	1,04	104		31,83

Число степеней свободы дисперсии ;

. Так как , то гипотеза о нормальном законе распределения отвергается.

Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов

Как правило, в экспериментах задается значение некоторой величины Х и измеряется значение некоторой другой величины У связанной с Х функциональной зависимостью, вид которой не известен. В результате получают таблично заданную функцию . Аналитический вид этой функции неизвестен.

Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет построить аналитическое выражение функции (теоретическую кривую) по опытным данным. В соответствии с МНК теоретическая криваядолжна проходить так, чтобы сумма квадратов отклонений ее ординат от экспериментальных данных в опытных точках была минимальной.

Математически эта задача формулируется следующим образом:

.

Как правило, вид теоретической кривой выбирается в виде полинома

,

тогда (8.6.1.) записывается так:

.

В силу квадратичности функционала L относительно коэффициентов и неотрицательности существует единственный минимум. Условия экстремумаL позволяют получить систему m уравнений для вычисления коэффициентов . Эти уравнения называютсясистемой нормальных уравнений:

.

МНК особенно удобен для использования в матричной форме.

Пусть проведен эксперимент в котором получено n пар значений и; теоретическая кривая выбрана в виде полинома (8.6.2).

Введем матрицы:

; ;.

Система нормальных уравнений размерности будет представлена в виде:

Разрешая это матричное уравнение относительно матрицы , находим:

.

При найденных таким образом коэффициентах условие (8.6.3) выполнится.

Пример: По МНК построить теоретическую кривую в виде полинома второго порядка для обработки эксперимента:

	1	2	3	4	5	6
	-2	-1	0	1	2	3
	3,3	-0,1	-0,8	-0,5	2,6	9,2

Введем матрицы в соответствии с (8.6.5.):

; ;; По (8.6.6) находим:.

Теоретическая кривая: .

На рис. 8.4. приведена теоретическая кривая и показаны экспериментальные точки.

Рис. 8.4.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998. ‑ 479с.

Приложения

Таблица П1. Интеграл Лапласа и плотность нормального распределения

x	(x)	(x)	x	(x)	(x)	x	(x)	(x)
0.00	0.00000	0.39894	0.46	0.17724	0.35889	0.92	0.32121	0.26129
0.01	0.00399	0.39892	0.47	0.18082	0.35723	0.93	0.32381	0.25888
0.02	0.00798	0.39886	0.48	0.18439	0.35553	0.94	0.32639	0.25647
0.03	0.01197	0.39876	0.49	0.18793	0.35381	0.95	0.32894	0.25406
0.04	0.01595	0.39862	0.50	0.19146	0.35207	0.96	0.33147	0.25164
0.05	0.01994	0.39844	0.51	0.19497	0.35029	0.97	0.33398	0.24923
0.06	0.02392	0.39822	0.52	0.19847	0.34849	0.98	0.33646	0.24681
0.07	0.02790	0.39797	0.53	0.20194	0.34667	0.99	0.33891	0.24439
0.08	0.03188	0.39767	0.54	0.20540	0.34482	1.00	0.34134	0.24197
0.09	0.03586	0.39733	0.55	0.20884	0.34294	1.01	0.34375	0.23955
0.10	0.03983	0.39695	0.56	0.21226	0.34105	1.02	0.34614	0.23713
0.11	0.04380	0.39654	0.57	0.21566	0.33912	1.03	0.34849	0.23471
0.12	0.04776	0.39608	0.58	0.21904	0.33718	1.04	0.35083	0.23230
0.13	0.05172	0.39559	0.59	0.22240	0.33521	1.05	0.35314	0.22988
0.14	0.05567	0.39505	0.60	0.22575	0.33322	1.06	0.35543	0.22747
0.15	0.05962	0.39448	0.61	0.22907	0.33121	1.07	0.35769	0.22506
0.16	0.06356	0.39387	0.62	0.23237	0.32918	1.08	0.35993	0.22265
0.17	0.06749	0.39322	0.63	0.23565	0.32713	1.09	0.36214	0.22025
0.18	0.07142	0.39253	0.64	0.23891	0.32506	1.10	0.36433	0.21785
0.19	0.07535	0.39181	0.65	0.24215	0.32297	1.11	0.36650	0.21546
0.20	0.07926	0.39104	0.66	0.24537	0.32086	1.12	0.36864	0.21307
0.21	0.08317	0.39024	0.67	0.24857	0.31874	1.13	0.37076	0.21069
0.22	0.08706	0.38940	0.68	0.25175	0.31659	1.14	0.37286	0.20831
0.23	0.09095	0.38853	0.69	0.25490	0.31443	1.15	0.37493	0.20594
0.24	0.09483	0.38762	0.70	0.25804	0.31225	1.16	0.37698	0.20357
0.25	0.09871	0.38667	0.71	0.26115	0.31006	1.17	0.37900	0.20121
0.26	0.10257	0.38568	0.72	0.26424	0.30785	1.18	0.38100	0.19886
0.27	0.10642	0.38466	0.73	0.26730	0.30563	1.19	0.38298	0.19652
0.28	0.11026	0.38361	0.74	0.27035	0.30339	1.20	0.38493	0.19419
0.29	0.11409	0.38251	0.75	0.27337	0.30114	1.21	0.38686	0.19186
0.30	0.11791	0.38139	0.76	0.27637	0.29887	1.22	0.38877	0.18954
0.31	0.12172	0.38023	0.77	0.27935	0.29659	1.23	0.39065	0.18724
0.32	0.12552	0.37903	0.78	0.28230	0.29431	1.24	0.39251	0.18494
0.33	0.12930	0.37780	0.79	0.28524	0.29200	1.25	0.39435	0.18265
0.34	0.13307	0.37654	0.80	0.28814	0.28969	1.26	0.39617	0.18037
0.35	0.13683	0.37524	0.81	0.29103	0.28737	1.27	0.39796	0.17810
0.36	0.14058	0.37391	0.82	0.29389	0.28504	1.28	0.39973	0.17585
0.37	0.14431	0.37255	0.83	0.29673	0.28269	1.29	0.40147	0.17360
0.38	0.14803	0.37115	0.84	0.29955	0.28034	1.30	0.40320	0.17137
0.39	0.15173	0.36973	0.85	0.30234	0.27798	1.31	0.40490	0.16915
0.40	0.15542	0.36827	0.86	0.30511	0.27562	1.32	0.40658	0.16694
0.41	0.15910	0.36678	0.87	0.30785	0.27324	1.33	0.40824	0.16474
0.42	0.16276	0.36526	0.88	0.31057	0.27086	1.34	0.40988	0.16256
0.43	0.16640	0.36371	0.89	0.31327	0.26848	1.35	0.41149	0.16038
0.44	0.17003	0.36213	0.90	0.31594	0.26609	1.36	0.41309	0.15822
0.45	0.17364	0.36053	0.91	0.31859	0.26369	1.37	0.41466	0.15608