Техническая механика часть 1

Другой способ классификации связан с числом связей (ограничений), наложенных на возможные перемещения звеньев. Как известно из теоретической механики, для твердого тела, свободно перемещающегося в пространстве, число степеней свободы равно шести: три возможных поступательных перемещения вдоль неподвижных осей координат и три возможных вращательных перемещения относительно каждой из этих осей. Для каждого из двух звеньев, образующих кинематическую пару, число степеней свободы в их относительном движении всегда меньше шести, поскольку условие постоянного соприкосновения звеньев уменьшает число возможных перемещений, по крайней мере, на единицу.

Классом кинематической пары называют число связей,

накладываемых кинематической парой на характер относительного движения звеньев, образующих эту пару. Очевидно, класс кинематических пар может принимать значения от 1 до 5. В случае если на звенья наложено 6 связей, то они теряют относительную подвижность, и кинематическая пара приобретает свойства жесткого соединения двух звеньев. Одновременно все кинематические пары можно подразделить по числу степеней свободы звеньев на одно-, двух-, трех-, четырех- и пятиподвижные. Нетрудно видеть, что степень подвижности w и класс s кинематической пары связаны простым соотношением:

В таблице 4.1 приведены наиболее распространенные кинематические пары, их название, класс и условное обозначение.

Система звеньев, связанных между собой кинематическими парами, образует кинематическую цепь. Кинематические цепи могут быть простыми и сложными. Под простой кинематической цепью

понимают такую, у которой каждое звено входит не более чем в две кинематические пары. В сложной кинематической цепи, по крайней мере, одно звено входит более чем в две кинематические цепи. Кинематические цепи делятся также на замкнутые и незамкнутые. В замкнутой цепи звенья образуют один или несколько замкнутых контуров. Незамкнутая цепь такого контура не образует, и в ней обязательно есть звенья, которые входят только в одну кинематическую пару.

С учетом введенных понятий и определений механизм можно рассматривать как кинематическую цепь, в которой при заданном движении входного звена относительно стойки движение всех остальных звеньев (включая выходное звено) однозначно определено.

91

Таблица 4.1 – Классификация, виды и условные обозначения кинематических пар

Примечания: 1 В таблице обозначено: В – вращательное движение; П – поступательное движение. 2 Кроме указанных в таблице могут быть другие виды кинематических пар: а) второго класса – ВВВП; б) третьего класса – ВВП. 3 Кинематические пары видов: первого класса – ВВППП, второго класса – ВППП, третьего класса – ППП, четвертого класса – ПП не существуют.

92

Используя понятия кинематических пар и кинематических цепей,

можно говорить о структурной схеме механизма, под которой понимают условное графическое изображение механизма, включая стойку, все подвижные звенья, все кинематические пары и их взаимное расположение без использования масштаба. Структурная схема, таким образом, несет информацию о числе звеньев и характере их соединения друг с другом, числе и классе кинематических пар. Однако на движение промежуточных и выходных звеньев существенное влияние оказывают размеры звеньев и форма их кинематических элементов. Если структурную схему дополнить информацией о размерах каждого звена и форме элементов всех кинематических пар, то говорят о кинематической схеме механизма.

Ее строят в выбранном масштабе с точным соблюдением формы элементов кинематических пар и размеров всех звеньев, без учета которых невозможно определение положения, скорости и ускорения отдельных точек звеньев механизма. Построение кинематической схемы механизма является первым этапом его изучения.

4.2. Основные типы плоских механизмов

При дальнейшем изложении ограничимся анализом плоских механизмов, которые, с одной стороны, широко используются на практике, а с другой – не требуют сложного математического аппарата при своем изучении. К плоским механизмам относятся те, при работе которых все их звенья совершают движение в одной или нескольких параллельных плоскостях. В противном случае механизм называется пространственным.

Особую роль среди плоских механизмов играют рычажные и шарнирные. Рычажным механизмом называют механизм, все звенья которого образуют между собой только вращательные и поступательные кинематические пары. В шарнирных механизмах все звенья образуют только вращательные кинематические пары.

В зависимости от характера своего движения звенья плоских механизмов носят общепринятые названия. Так, вращающееся звено, совершающее полный оборот вокруг неподвижной оси, называется кривошипом. Если некоторое звено при работе механизма вращается вокруг неподвижной оси, но не совершает полного оборота, то оно называется коромыслом. Ползуном принято называть звено, образующее поступательную кинематическую пару со стойкой. Звено рычажного механизма, образующее со стойкой вращательную или поступательную кинематическую пару и одновременно образующее поступательную пару с другим подвижным звеном, называется кулисой. Последнее звено называется либо камнем, либо направляющей. Камень – звено, имеющее меньшую протяженность элемента поступательной пары, и направляющая –

93

звено, имеющее большую протяженность элемента поступательной пары.

На рис. 4.1 приведены в качестве примера структурные схемы типовых плоских рычажных и шарнирных механизмов, состоящих из перечисленных выше звеньев. Все представленные механизмы являются четырехзвенными. Кривошипно-ползунный механизм (структурная схема 4.1, а) включает кривошип 1, образующий со стойкой 4 вращательную низшую пару 5-го класса, шатун 2, образующий с соседними звеньями также низшие вращательные пары 5-го класса, и ползун 3, образующий со стойкой низшую поступательную пару также 5-го класса. Ось направляющей может проходить (l = 0) или не проходить (l 0) через ось вращения кривошипа. В первом случае механизм называют центральным, а во втором – дезаксиальным. Кривошипно-ползунный механизм используется всякий раз, когда поступательное движение необходимо преобразовать во вращательное (например, в поршневом двигателе) или наоборот (например, в поршневом компрессоре).

На рис. 4.1, б представлен шарнирный четырехзвенник, в котором все звенья связаны друг с другом вращательными парами. В зависимости от соотношения между длинами подвижных звеньев звенья 1 и 3 могут быть кривошипами, совершая полный оборот вокруг

94

опор О и С (двухкривошипный механизм) или коромыслами, если полный оборот звеньев не совершается (двухкоромысловый механизм). Возможны случаи, когда одно из вращающихся звеньев делает полный оборот, а другое нет (кривошипно-коромысловый механизм).

На рис. 4.1, в, 4.1, г и 4.1, д приведены структурные схемы кулисных механизмов с различными вариантами движения кулисы. Кулиса 2 может совершать поступательное движение относительно стойки 4 (рис. 4.1, в), образуя поступательные кинематические пары со стойкой 4 и камнем 3. На рис. 4.1, г и 4.1, д изображены структурные схемы механизмов с вращающимися кулисами 2, образующими поступательные кинематические пары с камнем и направляющей соответственно.

4.3. Структурная формула плоской кинематической цепи

Структурная схема кинематической цепи позволяет определить значение важнейшей ее характеристики – числа степеней свободы (или ее подвижности). Соотношение для расчета подвижности кинематической цепи называется структурной формулой. Выведем ее для произвольной плоской цепи, в которой имеется n подвижных звеньев.

При плоском движении число степеней свободы любого твердого тела равно трем: два возможных поступательных перемещения вдоль неподвижных осей координат и одно возможное вращательное перемещения в плоскости движения. На каждое звено плоской кинематической цепи может быть наложены либо одна, либо две связи. Следовательно, плоские цепи включают кинематические пары только 5-го и 4-го классов. На звенья, входящие в пару 5-го класса, наложено по две связи, на звенья, входящие в пару 4-го класса, - по одной связи. Если число пар 4-го класса равно р4, а число пар 5-го класса равно р5, то общее число ограничений на перемещения всех звеньев будет р4 + 2р5 . Таким образом, число степеней свободы w кинематической цепи или механизма (подвижность) с n подвижными звеньями может быть вычислено по формуле:

Нетрудно видеть, что все механизмы, приведенные на рис. 4.1, обладают подвижностью равной единице: w = 1. Действительно, число подвижных звеньев в каждом из механизмов n = 3, число кинематических пар 4-го класса р4 = 0, число кинематических пар 5-го класса р5 = 4. Тогда формула (4.2) дает:

w = 3 3 – 0 – 2 4 = 1.

95

Структурную формулу для плоских кинематических цепей и механизмов (4.2) иногда называют формулой Чебышева. Она легко обобщается на случай пространственной кинематической цепи. Если обозначить через р1 число кинематических пар 1-го класса в пространственной цепи, через р2 число пар 2-го класса, через р3 число пар 3-го класса и т. д., то подвижность кинематической цепи, состоящей из n подвижных звеньев, определяется с помощью соотношения:

Это соотношение принято называть структурной формулой кинематической цепи общего вида. В отечественной литературе ее именуют также формулой Сомова - Малышева. Структурные формулы (4.2) и (4.3) позволяют легко найти число обобщенных координат плоского или пространственного механизма, необходимое для однозначного определения положения всех звеньев в произвольный момент времени. С помощью этих же формул несложно найти подвижность произвольной кинематической цепи.

Как уже отмечалось, в плоских механизмах могут участвовать кинематические пары только 4-го и 5-го классов. При этом те и другие могут быть как низшими, так и высшими. Оказывается, что высшие пары можно заменять кинематическими цепями или звеньями, входящими в низшие поступательные или вращательные пары 5-го класса. Такая замена, как правило, значительно облегчает изучение структуры и кинематики механизмов. Важно, чтобы замещающий механизм был эквивалентен исходному механизму в том смысле, чтобы он обладал той же степенью подвижности, а его звенья совершали бы те же движения относительно друг друга.

Рисунок 4.2

Вкачестве примера рассмотрим механизм, приведенный на рис.

4.2.Элементами кинематической пары звеньев 2 и 3 служат кривые

96

1 1 и 2 2 , которые в каждый момент времени касаются друг друга в некоторой общей точке. Поэтому кинематическая пара является высшей и относится к 4-му классу. Две другие пары указанных звеньев со стойкой относятся к 5-му классу. Подвижность механизма, очевидно, равна:

w = 3n - р4 - 2р5 = 3 2 – 1 – 2 2 = 1.

При построении структурной схемы заменяющего механизма проведем нормаль к кривым 1 1 и 2 2 в точке их касания. На этой нормали будут расположены центры кривизны О2 и О3 обеих кривых, которые удалены от соответствующей кривой на расстояние, равное радиусу ее кривизны. Вместо кинематической пары 4-го класса исходного механизма введем фиктивное звено О2О3 , а звенья 2 и 3 заменим условными звеньями АО2 и ВО3, которые шарнирно соединим со звеном О2О3 . В результате получим шарнирный четырехзвенник АО2О3В, включающий 4 кинематические пары 5-го класса и 3 подвижных звена. Его подвижность также равна единице. Действительно,

w = 3n - 2р5 = 3 3 – 2 4 = 1.

Из курса высшей математики известно, что окружность радиуса, равного радиусу кривизны кривой в некоторой ее точке, и сама кривая имеют в этой точке касание второго порядка. Это значит, что в этой точке равны их первая и вторая производная. Следовательно, одноименные точки исходного и заменяющего механизмов в рассматриваемый момент времени будут иметь одинаковые скорости и ускорения, и кинематические характеристики механизмов будут совпадать. Однако нужно иметь в виду, что в другой момент времени точка касания звеньев 2 и 3 сместится, радиусы кривизны, вообще говоря, изменятся, и размеры звеньев заменяющего механизма станут другими.

Для плоских механизмов, в которых все высшие кинематические пары заменены низшими парами, формула Чебышева упростится и примет вид:

Особую роль при анализе существующих и проектировании новых механизмов играют минимальные кинематические цепи, имеющие нулевую подвижность. Они представляют собой своего рода элементарную составную часть механизма или структурную группу.

По определению структурной группой (группой Ассура)

97

w = 3 2 – 2 3 = 0.

Очевидно, что на более простые указанные кинематические цепи не распадаются. Следовательно, обе они представляют собой группы Ассура. Таким образом, механизм на рис. 4.3 может быть разбит на базовый механизм и две структурные группы (рис. 4.4).

Разбиение механизмов на структурные группы широко используется при их силовом анализе. Кроме того, синтез новых механизмов также может быть основан на последовательном присоединении к базовому механизму кинематических цепей, составляющих структурные группы. Образование механизмов путем наслоения групп Ассура является первым и наиболее важным этапом при проектировании любого механизма. Другие этапы, которые включают выбор конструкционных материалов, конструктивное оформление звеньев и элементов кинематических пар, расчеты на прочность и т. п., практически не могут изменить основные свойства механизма.

Условие отсутствия подвижности у структурных групп плоских механизмов, звенья которых входят пары только 5-го класса, вытекает из соотношения (4.2 ):

Полученная простая формула дает связь между количеством звеньев и количеством кинематических пар в группах Ассура. Поскольку число тех и других может быть только целым, то сочетание численных значений n и р5 образуют следующие ряды.

99