Техническая механика часть 1

МFtОBFOBcos.

пспсn псn

Подставив соотношения (8.48) и (8.49) в формулу (8.46) для к.п.д., получим связь между моментами Мдв и Мпс

где u1n = 1 / n – передаточное отношение механизма. Соотношение (8.50) также носит общий характер, в силу чего его называют универсальным законом передачи моментов.

8.9. Интегрирование дифференциального уравнения движения механизма

Как уже отмечалось, одной из задач анализа движения механизмов является определение истинного закона движения его звеньев, в том числе выходного звена. Для механизмов с одной степенью подвижности достаточно знать закон движения звена, которое выбрано в качестве звена приведения. В самом деле, в силу требований эквивалентности реального механизма и его динамической модели в любой момент времени кинетическая энергия звена приведения равна кинетической энергии всего механизма, а его угловая скорость совпадает с угловой скоростью начального звена. Как следует из выражений (8.7) и (8.14), изменение кинетической энергии может происходить как за счет изменения угловой или линейной скорости, так и за счет изменения приведенного момента инерции или приведенной массы. Те и другие величины зависят от различных факторов. Если первые определяются характером технологического процесса, то вторые зависят от передаточных отношений в механизме и, следовательно, являются функциями обобщенной координаты. Поэтому «синхронное» изменение сил и приведенного момента инерции или приведенной массы, приводящее к постоянству скорости звена приведения в пределах одного цикла работы механизма, невозможно. Таким образом, даже при установившемся режиме движение звеньев механизма, в том числе и начального, не является равномерным.

Закон движения звена приведения (а значит, и начального звена) может быть установлен в результате решения уравнения (8.24) или уравнения (8.26) в зависимости от того, какая динамическая модель принята. Рассмотрим возможность решения этих уравнений на примере уравнения (8.24):

191

Неизвестной функцией, подлежащей определению, является угловая скорость звена приведения ω(t) как функция времени. В самом деле, если явный вид функции ω(t) известен, то закон движения φ(t) может быть найден из соотношения, связывающего угловую скорость и угол поворота звена приведения φ:

Приведенный момент инерции Iп и приведенный момент сил Мп, входящие в уравнение движения (8.51), определяются с помощью соотношений (8.9) и (8.12) соответственно. В общем случае они могут быть функциями обобщенной координаты φ, а приведенный момент сил может зависеть также и от времени.

Дифференциальное уравнение (8.51) является нелинейным относительно неизвестной функции. Это обстоятельство сильно затрудняет его интегрирование с помощью аналитических методов, которые пригодны только для некоторых частных случаев. Так, если приведенный момент Мп зависит только от обобщенной координаты, то уравнение (8.51) может быть записано в виде:

Здесь использовано несложное преобразование:

Проинтегрируем обе части уравнения (8.53) от некоторого начального значения обобщенной координаты φ0 до произвольного значения . В результате получим:

где max и min – соответственно максимальное и минимальное значения угловой скорости начального звена за цикл, а ср – средняя за цикл его скорость. Она приближенно определяется как среднее арифметическое максимального и минимального значений:

Неравномерность движения звеньев механизма сильно сказывается на условиях его работы. При высокой степени неравномерности большие ускорения вызывают появление значительных сил инерции, которые приводят к возрастанию динамических нагрузок, как на элементы кинематических пар, так и на опоры машины или технологического аппарата. Как следствие, могут возникнуть нежелательные переменные воздействия и вибрации на фундамент. Для каждого типа машин практикой устанавливаются допускаемые значения коэффициента неравномерности δ. Например, для грохотов и конвейеров = 0,04 0,1; для электрогенераторов = 0,003 0,01; для металлорежущего оборудования = 0,01 0,02.

Основным способом снижения коэффициента неравномерности движения начального звена механизма является увеличение инерционности начального звена, что приводит к увеличению сопротивления изменению его скорости. Практически это достигается добавлением к этому звену значительной постоянной массы, выполняемой в виде вращающегося вместе со звеном массивного маховика. Чем больше масса маховика (а, следовательно, и приведенный момент инерции механизма), тем равномернее движется начальное звено.

8.10. Подбор маховика и определение угловой скорости ведущего звена механизма с маховиком

Конструктивно маховик представляет собой, как правило, сплошной диск со ступицей или шкив с тяжелым массивным ободом, спицами и ступицей. Для маховика-диска зависимость между массой маховика mМ и моментом инерции IМ выражается формулой

194

а для маховика-шкива эта связь определяется соотношением:

где mМ – масса диска или обода; D – диаметр диска; Dн и Dв наружный и внутренний диаметры обода (кольца). Обычно Dн=1,1Dср, Dв=0,9Dср (Dср– средний диаметр). Моментами инерции ступицы и спиц можно пренебречь, т.к. они составляют менее 1% от суммарного момента инерции маховика.

Момент инерции маховика, обеспечивающего заданное значение коэффициента неравномерности хода δ, часто определяется с помощью графоаналитического метода энергомасс. Метод энергомасс сравнительно прост и в то же время позволяет обеспечить достаточную для инженерных расчетов точность. Его существо состоит в построении и дальнейшем анализе диаграммы энергомасс. Последняя представляет собой график зависимости приращения кинетической энергии Т от приведенного момента инерции механизма IП. В соответствии с соотношением (8.4) приращение кинетической энергии, очевидно, равно разности работ движущих сил АПдв и сил полезного сопротивления АПс, выполненных к данному моменту времени в пределах цикла установившегося движения. Различие в законах изменения приведенных работ движущих сил АПдв(φ) и сил сопротивления АПс(φ), а также сложная нелинейная зависимость приведенного момента инерции от обобщенной координаты внутри цикла движения механизма являются непосредственными причинами неравномерности хода.

Диаграмма энергомасс Т = f(IП ) при установившемся режиме движении представляет собой замкнутую петлеобразную кривую (рис. 8.8), построенную по ряду точек (обычно 8 – 12). Исходными данными для построения диаграммы являются законы изменения (в пределах одного цикла (φ=0 ÷ 2π)), приведенного момента сил сопротивления МПс = f(φ) (8.12) и приведенного момента движущих сил МПдв = f(φ), который зависит от типа двигателя и должен быть задан. Интегрирование данных зависимостей по обобщенной координате позволяет определить функции работ указанных моментов: АПс = f(φ), АПдв = f(φ). При получении зависимости АПдв=f(φ) следует учитывать, что за целое число циклов избыточная работа Аизб = АПдв – АПс = 0, т.е.

195

ΔT, T T, T

Рисунок 8.8

в начале и в конце цикла значения АПдв и АПс совпадают. Вычисляя разность между АПдв и АПс для нескольких φ определяют Аизб = Т =

предположить, что для начального положения механизма угловая скорость ω0 ведущего звена известна, то нетрудно определить и величину полной кинетической энергии в данный момент времени:

Величину Т0 в соответствующем масштабе отложим от начала координат (точка О Т на рис. 8.8) вниз и получим точку ОТ. Из этой точки проведем луч в произвольную точку диаграммы Аi. Тангенс угла наклона этого луча к оси IП равен отношению длин отрезков:

A m

tg i Oi mi . (8.60)

T i

Из рис. 8.8 видно, что текущие значения кинетической энергии и приведенного момента инерции могут быть выражены длинами соответствующих отрезков графика:

196

где μТ – масштабный коэффициент по оси Т (размерность коэффициента μТ кгм2с-2/ мм = Нм/мм); μI - масштабный коэффициент по оси IП (его размерность кгм2/мм). После подстановки двух последних соотношений в формулу (8.60) для tg βi получим:

Таким образом, тангенс угла наклона луча, проведенного на диаграмме Т = f(IП) из начала отсчета ОТ в произвольную точку Аi, оказывается пропорциональным квадрату угловой скорости ωi

ведущего звена механизма. Это основное свойство диаграммы энергомасс.

Из формулы (8.63) вытекает выражение для угловой скорости ведущего звена:

Максимальная угловая скорость ωmax будет соответствовать углу βmax (луч, проведенный из точки ОТ, касается верхней точки диаграммы энергомасс), а минимальная скорость ωmin - углу βmin (луч, проведенный из точки ОТ, касается нижней точки диаграммы). Подсчет величины δ по формуле (8.55) и сопоставление ее с заданным значением коэффициента неравномерности чаще всего указывает на необходимость использования в машине дополнительной (маховой) массы. В этом случае начало системы координат (Т, IП) помещают в точке ОМ, которая смещена вдоль оси IП влево на величину IМ (рис. 8.9). Точка ОМ находится на пересечении лучей, проведенных под углами βmin и βmax и охватывающих диаграмму энергомасс. Углы βmax и βmin рассчитываются с помощью соотношения (8.63):

197

при подстановке в него значений ωmax и ωmin , найденных в свою очередь по формулам:

ΔT, T

T 0

ℓβ i

Таким образом, точка ОМ является началом координат диаграммы энергомасс, при котором коэффициент неравномерности движения механизма и средняя угловая скорость имеют заданные значения.

Расстояние ОМm от нового начала координат до прежней оси ординат Т определяет искомое значение момента инерции маховика:

198

Может оказаться, что точка ОМ будет лежать на оси Т. Это означает, что при заданном значении средней угловой скорости ведущего звена механизм в состоянии обеспечить заданное значение коэффициента неравномерности движения без маховика. При графическом определении положения точки ОМ могут встретиться два крайних случая:

а) точка ОМ оказывается за пределами чертежа, а углы βmax и βmin близки к нулю. В этом случае ее положение находят аналитически

Отсюда

kl = km – lm = OM m ( tg βmax – tg βmin ).

Для величины отрезка OM m получим:

Этой формулой можно пользоваться во всех случаях, когда возможно графическое определение длины отрезка kl.

б) точка ОМ лежит за пределами чертежа, а углы βmax и βmin близки к 90 0. В этом случае охватывающие лучи могут не пересекать ось ординат Т в пределах чертежа. Но тогда они пересекают ось абсцисс IП в точках p и q (рис. 8.9). Из треугольников O Т kq и O Т lp следует:

O Т k = O Т q tg βmax ,

O Т l = O Т p tg βmin .

Следовательно,

kl = O Т l – O Т k = O Т p tg βmin – O Т q tg βmax .

Подставив полученное соотношение в формулу (4.23), окончательно получим:

199

Длину отрезка OM m, выраженную в мм, называют чертежным

значением момента инерции маховика, и обозначать через I M . Значение момента инерции в его обычной размерности (кг м 2) получается путем умножения чертежного значения на величину масштабного коэффициента μI. Чертежное значение среднего запаса

кинетической энергии T0 может быть получено по формуле (см. рис. 8.9):

коэффициент μТ.

При известных координатах точки ОМ нетрудно найти углы βi (номера положений: i = 0, 1, …, n), характеризующие угловую скорость ведущего звена в соответствующих положениях:

энергии, взятое с учетом знака (знак «+», если точка Ai лежит выше оси IП, знак «-» – в противном случае); I Пi – чертежное значение

приведенного момента инерции механизма без учета маховой массы в соответствующий момент времени.

Далее по формуле (8.64) находятся истинные значения угловой скорости ведущего звена в промежуточных точках внутри отдельного цикла установившегося движения. Закон движения ведущего звена (изменение углового ускорения в форме ε=f(φ )) может быть получен с помощью дифференцирования зависимости ω=f(φ ) и последующего

200