5. Бортовая качка на тихой воде с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости
Уравнение бортовой качки корабля на тихой воде в общем виде может быть написано следующим образом:
(33)
Сопротивление качке лучше всего выражается эмпирической двучленной зависимостью:
(34)
В (34) первый член пропорционален первой степени скорости, а второй –скорости в квадрате. Первой степени скорости пропорционально волновое сопротивление, в то время как сопротивление формы можно считать пропорциональным квадрату скорости.
Сопротивление формы играет существенную роль у кораблей с полным обводами и сильно развитыми выступающими частями.
Рассмотрим случай
сопротивления, пропорционального
квадрату скорости, т.е. случай, когда
[5].
Знак (sign
)
учитывает то, что знак момента сил
сопротивления F(
)
изменяется с изменением знака скорости
.
Тогда уравнение бортовой качки будет
иметь вид:
(35)
Разделим все
составляющие на
(36)
,
m(θ)=
Рассмотрим простой случай, когда нелинейность получается только за счёт сопротивления, восстанавливающий момент может быть выражен с помощью метацентрической формулы M(θ)=Dh0θ.
Тогда будем иметь
(37)
Будем решать
уравнение (37) при следующих начальных
условиях: t=0,
θ=
θ0>
θ
и
=0,
т.е. когда корабль отклонен от положения
равновесия на правый борт на уголθ0
и затем предоставлен самому себе.
Сначала необходимо определить закон убывания последовательности отклонений | θ0|, | θ1 |, | θ2 |… | θi |. Первый размах будет происходить с правого борта на левый от угла крена θ= θ0> θ до угла θ= θ1<θ.
При этом скорость
<0
и уравнение (37) для первого размаха будет
иметь вид (
=
)
(38)
Второй размах
будет происходить от угла крена θ=
θ1<θ
до угла θ=
θ2>
θ
(с левого борта на правый). При этом
>0
и
(39)
Ускорение можно представить в виде
.
(40)
Подставим его в уравнения (38) и (39):
;
(41)
(42)
Введем интегрирующий
множитель
для уравнения (41) и
для уравнения (42)
;
(43)
(44)
Интегрируя, получим:
(45)
Для определения
постоянной интегрирования С используем
начальные условия. При θ=
θ0,
θ=
θ1,
=0
, и С=0.
Тогда будем иметь
(46)
(47)
Умножая правую и
левую части уравнений (46) и (47) на
,получим:
;
(48)
(49)
Равенства (48) и (49) представляют закон сохранения энергии на первом и втором размахе, соответственно. В левой части равенства содержится кинетическая энергия, а в правой–потенциальная энергия с учётом рассеивания энергии за счёт сил сопротивления качки. Рассеивание энергии учитывается с помощью множителей e-2wθ и e2wθ.
Интегралы, стоящие в правых частях (46) и (47) могут быть вычислены, тогда получим:
(50)
(51)
Первый размах
закончится, когда θ=
θ1<θ
и
=0.
Тогда равенство (50) превратится в
(52)
Второй размах
закончится, когда θ=
θ2>
θ
и
=0.
Следовательно:
(53)
Этот ряд равенств можно продолжить для θ3, θ4 , и т.д.
Из равенства (52) по заданному θ0 можно найти θ1 , из равенства (53) по заданному θ1– величину θ2 и т.д. Получится ряд трансцендентных уравнений, которые могут быть решены только графически. Введем обозначение:
(54)
И прологарифмируем выражения (52) и (53)
(55)
Можно ввести общую функцию вида:
(56)
и задаваясь положительными и отрицательными значениями β, построить кривую( рис.6). Правая её ветвь соответствует положительным значениям β, а левая– отрицательным. Для определения θ1 с помощью кривой поступаем следующим образом [5]:
Рис.6 К определению функции f(β)
1)Задавшись положительным значением θ0, вычисляем β0 по формуле (54).
2) Откладываем значение β0 вправо по оси абсцисс .
3) Проводим вертикаль до пересечения с правой ветвью кривой
4) Из точки пересечения А проводим горизонтальную линию до пересечения с левой стороной.
5) Опускаем перпендикуляр из полученной точки на горизонтальную ось и определяем β1.
6)
Определяем
Таким образом, можно получить последовательные значения убывающих амплитуд θ0, θ1, θ2. При этом значения амплитуд зависят от коэффициента квадратичного сопротивления W и момента инерции Jxx+λ44 и не зависят от значения h0. Чем больше W, тем быстрее убывает амплитуда, а чем больше (Jxx+λ44) –тем медленнее.
Всё вышесказанное дает возможность написать общее выражение для периода качки θ при квадратичном сопротивлении.
Запишем (50) как
(57)
отсюда
(58)
Интегрируя в пределах от 0 до θ0, получим выражение для четверти периода θ.
.
(59)