Курс лекций по физике - Часть_1 - Механика_Термодинамика

Скорость изменения момента импульса абсолютно твердого тела равна суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу – о с н о в н о й з а к о н д и н а -

м и к и в р а щ а т е л ь н о г о д в и ж е н и я т в е р д о г о т е л а .

Используя момент инерции, основной закон динамики вращательного движения можно переписать в виде

d (I ) I d I M . dt dt

Мы учли, что для абсолютно твердого тела под знак производной.

По аналогии с основным законом поступательного движения его можно сформу-

лировать так: угловое ускорение тела прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, действующих на тело, определенному относительно неподвижной оси вращения, и обратно пропорционально моменту инерции тела, определенному относительно той же оси

Закон сохранения момента импульса будет справедлив и для незамкнутых систем, если суммарный момент внешних сил равен нулю.

Хотя мы записали закон сохранения момента импульса после основного закона динамики вращательного движения, так же как и при поступательном движении, закон сохранения, в данном случае закон сохранения момента импульса, имеет более фундаментальное значение, чем законы динамики.

При получении основных соотношений вращательного движения мы ввели момент инерции твердого тела, но ничего не говорили о том, как вычислять его для конкретных тел. Вернемся к этому вопросу.

Рассмотрим сначала тело произвольной формы и будем исходить из определения

N

I mi Ri2 . Переходя к пределу бесконечно большого числа материальных точек

i 1

физически бесконечно малого объема, получим

N

I lim mi ri2 r 2dm или I r 2 dm .

mi 0 i 1

Или, записывая через плотность тела dVdm , I r 2dV .

Величины и R являются функциями координат точек тела, то есть, например, декартовых координат x, y, z .

В общем случае для тел сложной формы вычисление интеграла оказывается математически весьма трудоемким, причем результат не всегда представим в аналитических функциях.

Для простых симметричных тел при нахождении момента инерции относительно оси симметрии интегралы легко вычисляются. Приведем результаты вычисления момента инерции относительно осей симметрии для часто встречающихся тел вращения.

Момент инерции бесконечно тонкого кольца массой m , радиусом R относи-

тельно оси симметрии, перпендикулярной плоскости кольца, будет равен

I К mR2 .

Момент инерции диска (цилиндра) массой m , радиусом R относительно оси симметрии, направленной вдоль направляющей цилиндра, будет равен

I Д 12 mR 2 .

Момент инерции бесконечно тонкого стержня массой m , длиной l относи-

тельно оси, проходящей через середину стержня и перпендикулярной ему, будет равен

IСТ 121 ml 2 .

Момент инерции шара массой m , радиусом R относительно оси симметрии будет равен

I Ш 52 mR2 .

Все приведенные выше моменты сил вычислены относительно осей, проходящих через центр масс. Момент инерции относительно оси, не проходящей через центр масс,

и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния a между осями

I I0 ma2 .

Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисления момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Для примера найдем момент инерции бесконечно тонкого стержня относительно оси OO / , проходящей через конец стержня перпендикулярно ему.

В завершение найдем кинетическую энергию абсолютно твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси. Каждая материальная точка тела обладает кинетической энергией

Если тело участвует в поступательном и вращательном движении, его движение можно представить как поступательное движение центра масс и вращение относитель-

так как радиус-вектор центра масс относительно центра масс равен нулю RC* 0 .

В итоге мы получаем, что кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий поступательного движения центра масс тела и суммарной кинетической энергии движения всех точек тела относительно центра масс – т е о р е м а К е н и г а :

где m – масса тела, V – скорость движения центра масс, – угловая скорость вращения относительно оси, проходящей через центр масс, I 0 – момент инерции относи-

тельно этой же оси. Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию по-

ступательного движения тела, второе – кинетическую энергию вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс.

Например, кинетическая энергия катящегося без проскальзывания шара будет

При вращательном движении, как и при поступательном движении, справедлива

теорема об изменении кинетической энергии

Eкин Eкин2 Eкин1 A,

где A – суммарная работа всех сил.

При нахождении работы следует иметь в виду, что при вращении тела так же, как и при поступательном движении, внутренние силы работы не совершают, работа внешних сил определяется выражением

2

A A Md .

1

Мощность, равная скорости совершения работы, при вращательном движении находится из выражения

Тема: Механические колебания

Вопросы:

1.Колебательные процессы, их характеристики. Примеры механических колебательных систем.

2.Способы описания и изображения колебаний.

3.Классификация колебательных процессов.

4.Гармонические колебания. Уравнение колебаний. Характеристики.

5.Уравнение колебаний плоского гравитационного маятника.

6.Уравнение колебаний пружинного маятника.

7.Сложение гармонических колебаний одного направления.

8.Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

9.Уравнение, описывающее затухающие колебания и его решение.

10.Затухающие колебания. Характеристики затухания.

11.Вынужденные колебания при гармоническом воздействии.

12.Резонанс вынужденных колебаний.

К о л е б а н и я м и , или к о л е б а т е л ь н ы м и п р о ц е с с а м и , называются

процессы, в которых значения параметров состояния системы периодически повторяются.

Такими свойствами обладают, например, качание маятника часов, колебания ножек камертона или струны, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т. д. Простейшими механическими колебательными системами являются:

а) плоский гравитационный маятник, частным случаем которого является математический маятник – материальная точка массой m на нерастяжимой и невесомой нити длиной L , совершающая колебания в вертикальной плоскости;

б) пружинный маятник – тело массой m , прикрепленное к пружине жесткостью k , совершающее колебания в горизонтальном направлении.

a) б)

k

m

L m

Исходя из определения колебательного процесса, следует, что его основной ха-

Кроме частоты колебаний используют ц и к л и ч е с к у ю ( к р у г о в у ю ) ч а с - т о т у , которая связана с периодом и частотой колебаний выражением

2 2T .

Любая функция x(t) , обладающая свойством периодичности (повторяемости) x(t T ) x(t) , будет описывать некоторый колебательный процесс. Здесь x – периодически изменяющийся параметр состояния системы.

Для колебаний можно использовать несколько способов описания колебательно-

го процесса.

1. Описание колебаний через явное задание функции x(t) называется аналитическим. Например, аналитическое выражение x(t) Acos( t 0 ) описывает гармоническое колебание.

2.Другой способ описания колебания – экспоненциальный, в котором колебательный процесс задается с помощью комплексной функции вида Z Aei( t 0 ) . Если величина A , стоящая перед экспонентой, будет постоянной и вещественной, то вещественная часть Z и мнимая часть Z будут описывать некоторые гармонические

В общем случае величина A может быть функцией времени и колебания не гармонические.

3.Третий способ описания колебаний – с помощью уравнения фазовой траектории, связан с изображением колебательных процессов на фазовой плоскости.

Каждому способу описания колебательного процесса соответствует свой способ

изображений колебаний.

1)С помощью x t -диаграммы – кривой, изображающей процесс на координатной плоскости (x, t) .

t

t

периодичны, то совокупность состояний колебательной системы образует замкнутую кривую на фазовой плоскости, называемую ф а з о в о й т р а е к т о р и е й .

Фазовая трактория гармонического колебания x(t) Acos( t 0 ) представляет собой эллипс, уравнение которого имеет вид

Все колебательные процессы можно разделить по типам колебаний. Признаки, по которым классифицируют колебания, различны.

По форме x t -диаграммы колебания делятся на треугольные, прямоугольные, гармонические и т. п.

Взависимости от физической природы повторяющегося процесса различают ко-

лебания механические и электромагнитные.

Взависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают

свободные колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

С в о б о д н ы м и или с о б с т в е н н ы м и называются колебания, которые про-

исходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.

В ы н у ж д е н н ы м и называют такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию.

Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой внешнего воздействия.

А в т о к о л е б а н и я , как и вынужденные колебания, обусловлены внешним воздействием на колеблющуюся систему, но в автоколебаниях внешнее воздействие является постоянным, частота колебательного процесса определяется свойствами колеблющейся системы.

При п а р а м е т р и ч е с к и х к о л е б а н и я х за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы без сообщения системе энергии, например, периодическое изменение длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

В нашем курсе мы рассмотрим только первые два типа колебаний.

Начнем с уже неоднократно упоминавшихся г а р м о н и ч е с к и х к о л е б а -

н и й , то есть колебаний, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника от положения равновесия) изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Функция, описывающая гармонические колебания, имеет вид x(t) Acos t 0 ,

где x – периодически изменяющийся параметр системы, называемой обобщенной координатой, который мы будем называть смещением, поскольку в этой теме мы будем иметь дело только с механическими колебаниями, – циклическая частота колебания, A и 0 – постоянные, определяемые из начальных условий.

Изучение гармонических колебаний имеет большое значение, поскольку любой периодический процесс можно представить как сумму гармоник – гармонических колебаний.

положительная величина.

Величина t 0 , стоящая под знаком косинуса, называется ф а з о й г а р - м о н и ч е с к о г о к о л е б а н и я . Постоянная 0 представляет собой значение фазы

в момент времени t 0 и называется н а ч а л ь н о й ф а з о й г а р м о н и ч е с к о г о к о л е б а н и я . Значение начальной фазы зависит от выбора начала отсчета времени.

На примерах простейших колебательных систем получим уравнение колебаний и определим условия, при которых колебания будут гармоническими.

1. Плоский гравитационный маятник

Плоским гравитационным маятником называют твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси.

Принято различать математические и физические маятники. М а т е м а т и ч е -

с к и м м а я т н и к о м называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка.

Если колеблющееся тело нельзя представить материальной точкой, маятник на-

зывают ф и з и ч е с к и м м а я т н и к о м .

Начнем рассмотрение с физического маятника.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом ,

образованным прямой, проходящей через точку подвеса и центр масс, с вертикалью. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент силы тяжести относительно оси подвеса, равный M mgLsin , где L – расстояние

I mgLsin или I mgLsin 0 , так как угловое ускорение равно второй

б а н и й ф и з и ч е с к о г о м а я т н и к а

mgL sin 0 .

I

При малых углах ( 15 ) можем считать sin , и дифференциальное уравнение, описывающее движение, становится линейным

сила, при малых смещениях подчиняющаяся закону Гука F kx . Второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось для груза будет иметь вид ma kx или