Курс лекций по физике - Часть_1 - Механика_Термодинамика

Чтобы перевести систему из одного состояния в другое, вообще говоря, требуется выполнить некоторую работу, сообщить некоторое количество тепла, следовательно, требуется затратить некоторую энергию. В частном случае затраченная энергия может быть и нулевой, но в общем случае затраченная энергия идет на изменение внутренней энергии системы.

Понятие внутренней энергии можно определить с позиций термодинамики, например, изменение внутренней энергии определить как работу совершенную над изолированной системой. А затем с позиций молекулярной физики можно связать внутреннюю энергию с процессами, происходящими внутри газовой системы. Но мы поступим иначе. Воспользуемся представлениями молекулярной физики для определения внутренней энергии, а при описании газовых систем с позиций молекулярной физики обоснуем принятое определение.

В н у т р е н н е й э н е р г и е й U макроскопической системы назовем полную

(суммарную) энергию всех молекул, принадлежащих системе – сумму кинетической энергии молекул и потенциальной энергии взаимодействия молекул.

Для идеальных газов потенциальной энергией взаимодействия молекул газа можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией молекул. Тогда в н у т р е н н ю ю э н е р г и ю и д е а л ь н о г о г а з а определим как суммарную кинетическую энергию всех молекул, равную средней кинетической энергии одной молекулы, умноженной на количество молекул.

Кинетическая энергия молекул зависит от движений, в которых может участвовать молекула. Молекула, состоящая из нескольких атомов, может не только двигаться поступательно, как одноатомная молекула, но и вращаться.

Число независимых движений, или, что то же самое, число независимых координат, которые определяют положение тела или частицы в пространстве, называют

ч и с л о м с т е п е н е й с в о б о д ы i .

Для одноатомной молекулы, которую можем представить в виде материальной точки в трехмерном пространстве, число степеней свободы i 3. Все степени свободы являются поступательными – три независимых поступательных движения происходят вдоль трех координатных осей.

Для линейной молекулы с жестко связанными атомами (например, двухатом-

ной) i 5 , из них:

3 поступательные степени свободы (перемещение молекулы);

2 вращательные степени свободы (изменение ориентации расположения молекулы в пространстве).

Положение одного атома жесткой линейной молекулы определяется тремя координатами (поступательные степени свободы) и для определения положения остальных атомов необходимо указать направление на линию их расположения двумя угловыми координатами (вращательные степени свободы).

Для жесткой трехатомной молекулы (если центры атомов не расположены на одной прямой) i 6, из них:

3 степени поступательного движения;

3 степени вращательного движения.

Эти шесть степеней свободы присущи всякой молекуле, содержащей более трех атомов.

Если двухатомная или многоатомная молекула, летящая с большой скоростью, испытывает столкновение, то в результате удара атомы, составляющие молекулу, могут прийти в колебательное движение около своих средних положений. Связь между молекулами в этом случае проявляет свои упругие свойства. Говорят, что возбуждаются колебательные степени свободы.

Для двухатомной молекулы с упругой связью i 6 , из них:

3 поступательные степени свободы;2 вращательные степени свободы;

1 колебательная степень свободы.

Упроизвольной системы с i 6 степенями свободы в трехмерном пространстве

всегда будет 3 поступательных степени свободы, 3 вращательных степени свободы и i 6 колебательных степеней свободы.

Отметим, что при невысоких температурах для возбуждения колебаний (колебательных степеней свободы) у молекулы недостаточно энергии. В рассматриваемых нами газовых системах мы можем не учитывать колебательные степени свободы.

Если исключить область очень низких температур, где нужно использовать квантовые представления, для систем с i степенями свободы справедлив закон равномер-

ного распределения энергии по степеням свободы: на каждую поступательную и вращательную степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая кинети-

ческая энергия, равная 12 kT , на колебательную степень свободы приходится в сред-

нем kT энергии (по половине kT приходится на потенциальную и кинетическую энергию).

Так как любая молекула имеет три поступательные степени свободы, средняя ки-

нетическая энергия поступательного движения молекулы любого идеального газа

32 kT .

Для одноатомного идеального газа, молекулы которого состоят из одного атома,

средняя кинетическая энергия одной молекулы равна кинетической энергии по-

ступательного движения 32 kT . Для произвольного газа средняя энергия моле-

кулы

2i kT .

Внутреннюю энергию идеального газа для произвольного количества атомов в молекуле газа, равную произведению средней энергии одной молекулы на их число, можем выразить как

U N N 2i kT 2i RT 2i PV .

Здесь мы учли, что N N A , N Ak R .

Внутренняя энергия одноатомного газа

Мы получили, что внутренняя энергия идеального газа является функцией со-

стояния, причем ее зависимость от термодинамических параметров, определяющих состояние газовой системы, может быть выражена только через температуру. Если в результате процесса система возвращается в исходное состояние, то изменение внутренней энергии в этом процессе U 0 .

В общем случае при постоянном количестве вещества изменение внутренней энергии U U2 U1 связано с изменением температуры соотношением

U 2i R T .

Внутренняя энергия газовой системы постоянной массы (постоянного количества вещества) может быть изменена только двумя способами:

1) с о в е р ш е н и е р а б о т ы A ;

2) п е р е д а ч а т е п л а Q ( т е п л о о б м е н ) .

В термодинамике р а б о т о й будем называть изменение внутренней энергии газовой системы, в результате силового взаимодействия системы с внешними телами.

Работа является формой передачи энергии, обусловленной совокупностью макрофизических процессов. При совершении работы над газом объем изменяется не всегда, но мы при нашем рассмотрении будем говорить о работе, при совершении которой происходит изменение объема газовой системы. Это определение согласуется с определением, введенном в механике, поскольку при изменении объема происходит перемещение внешних тел. Макроскопической работой A будем называть работу в случае конечного изменения объема V , элементарной работой A будем называть работу, сопровождающуюся бесконечно малым изменением объема dV . Без штриха A будем обозначать работу, совершенную газом над внешними телами. Со штрихом A будем обозначать работу, совершенную внешними телами над газом. Из определения следует, что A A.

Найдем макроскопическую работу газа.

Рассмотрим простой случай – газ в цилиндрическом сосуде под поршнем.

Пусть газ, расширяясь, переместил поршень на бесконечно малое расстояние dx . Элементарная (бесконечно малая) работа, совершенная газом под поршнем,

Перейдем к рассмотрению второго способа изменения энергии.

Т е п л о п е р е д а ч е й будем называть процесс изменения внутренней энергии без совершения макроскопической работы. Эта форма передачи энергии обусловлена огромным множеством микрофизических процессов.

Энергия, передаваемая в результате теплопередачи, называется т е п л о м (ко-

личеством тепла) Q . Вообще говоря, теплопередача может происходить разными способами:

посредством излучения;

при тепловом контакте систем – теплопроводность;

для незамкнутых систем в результате перемешивания при неравномерном нагреве внешней среды – конвекция.

Для тепла, как и для работы, нельзя использовать понятие приращения (конечное приращение) или d (бесконечно малое приращение). Тепло Q и работа A явля-

ются характеристиками процесса, они уже сами по себе являются изменением, а именно изменением энергии. Поэтому можно говорить только непосредственно о тепле и работе, но не об их изменении. Для описания совершения бесконечно малой (элементарной) работы мы ввели символ , этим же символом будем пользоваться и для описания передачи бесконечно малого тепла, связанного с бесконечно малым изменением внутренней энергии dU .

Заметим, что работа и тепло являются неравноценными формами передачи энергии. С помощью работы можно увеличить любую энергию (потенциальную энергию тяжести, энергию электрического или магнитного полей и т. д.). С помощью тепла (без преобразования в работу) можно увеличить только внутреннюю энергию.

Для определения тепла Q , необходимого для изменения температуры системы на

T , используют понятие теплоемкости. Для однородных систем удобно пользоваться понятиями удельной и молярной теплоемкости.

У д е л ь н а я т е п л о е м к о с т ь суд – количество тепла, которое надо сообщить веществу массой 1 кг , чтобы нагреть его на 1 С (или 1 K ). По определению,

чтобы увеличить (уменьшить) температуру вещества массой m на T , необходимо подвести (отвести) тепло,

Q суд m T .

(или 1 K ). Для молей и при изменении температуры на T по определению

Q CM T .

Исходя из определений, запишем соотношение, связывающее удельную и молярную теплоемкости

CM cуд ,

где – молярная масса вещества.

Передача бесконечно малого тепла может быть описана выражением

Утверждение, что внутренняя энергия газовой системы постоянной массы может быть изменена только двумя способами, выраженное в виде закона сохранения энергии, носит название п е р в о г о н а ч а л а т е р м о д и н а м и к и , которое было впервые сформулировано в 1850 году немецким физиком Рудольфом Клаузиусом (R. Clau-

sius, 1822–1888) и независимо от него Уильямом Ранкиным (W. Rankine, 1820–1872).

Если мы затрачиваем энергию на совершение работы над газом и на сообщение газу тепла, то эта энергия не может исчезнуть, она переходит во внутреннюю энергию газовой системы

Q A U .

Другая распространенная формулировка первого начала термодинамики: тепло,

которое сообщается системе, идет на изменение внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами. Кратко это может быть записано

Q U A – для конечных величин

или Q dU A – для бесконечно малых величин.

Как мы уже отмечали, передача тепла есть функция процесса, в котором участвует газ, поэтому теплоемкости в разных процессах различны.

Найдем теплоемкости в изопроцессах. Рассмотрим одноатомный газ.

Заметим, что теплоемкости CP и CV связаны соотношением

CP CV R .

Учитывая число степеней свободы, запишем общее выражение теплоемкостей

для произвольного количества атомов в молекуле газа,

Рассмотрим еще один важный процесс.

А д и а б а т н ы й ( и л и а д и а б а т и ч е с к и й ) п р о ц е с с – это процесс, при котором отсутствует теплообмен (теплопередача) между системой и внешней сре-

дой: Q 0 . Адиабатный процесс будет происходить, если система изолирована или

процесс происходит столь быстро, что теплообмен, который довольно инерционен, не успевает произойти. В последнем случае процесс не будет квазистатическим и его нельзя описать параметрами состояния и изобразить на диаграммах, поэтому мы будем говорить о медленных (квазистатических) адиабатных процессах.

Адиабатный процесс в термодинамически замкнутой системе ( m const ) опи-

сывается уравнением Пуассона (S. Poisson, 1781–1840)

PV const ,

где – постоянная адиабаты (постоянная Пуассона), равная

Получим уравнение Пуассона. Начнем с первого начала термодинамики, записанного в дифференциальном виде

(для бесконечно малых величин):

PdV VdP RdT , из которого выразим dT и подставим в последнее выражение для dU . Тогда запишем

PdV 2i PdV 2i VdP, или (i 2)PdV iVdP 0.

Отсюда, используя постоянную Пуассона, получим

PdV VdP 0, или dVV dPP 0.

Интегрирование этого уравнения дает ln P lnV const . Или

PV const – уравнение адиабаты.

Подчеркнем, что работа над газом в адиабатическом процессе равна изменению внутренней энергии. Заметим, что именно так чаще всего определяется внутренняя энергия в термодинамике.

Если газовая система участвует в процессе, который может проходить через од-

ни и те же состояния и в прямом, и в обратном направлении, причем при проведении прямого и обратного процессов система и ее окружение возвращаются к исходному состоянию, то такой процесс называется о б р а т и м ы м п р о ц е с с о м .

Если в процессе присутствует трение, то он необратим. Естественно, абсолютно обратимый процесс в действительности не возможен, все реальные процессы необратимы. Обратимый процесс является идеализированным процессом.

Q 0 .

T

гового обратимого процесса dS 0 . Эту функцию, впервые введенную в 1865 году

Р. Клаузиусом, называют э н т р о п и е й . Энтропия зависит только от состояния системы – она является функцией состояния. Дифференциал энтропии может быть выражен через дифференциалы термодинамических параметров на основании первого начала термодинамики и уравнения Клапейрона–Менделеева

dS CV dTT R dVV .

Откуда после интегрирования получаем с точностью до константы выражение для энтропии

S CV ln T RlnV const .