4. Ход работы

Метод линеаризации интегральной функции распределения

1. В книге лабораторных работ по математической статистике Листу3 присвойте оригинальное имя, например, «Проверка нормальности».

2. Для проверки закона распределения методом линеаризации постройте данные в виде табл. 3.1.

Таблица 3.1

Номер точки вариационного ряда, i
1	2	3	4

3. Получите x_i~N(5,1) – выборку случайных чисел, распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и стандартным отклонением равным 1 (для этого выполните шаги п.2, лабораторной работы № 1). Можно использовать данные, полученные в указанной лабораторной работе, выполнив ссылку на соответствующий лист.

4. Постройте вариационный ряд, упорядочив полученные значения по неубыванию. Результат поместите в столбец 2 табл. 3.1.

5. Вычислите значения эмпирической функции распределения вероятностей F_n(х_i) = , где i – номер точки в упорядоченной выборке (столбец 3 таблицы 3.1).

• Для вычисления значений функции в отдельной ячейке подсчитайте количество элементов выборки, используя функциюСЧЁТ(D4:D28). Диапазон D4:D28 содержит значения вариационного ряда х_i.

• Постройте вспомогательный столбец номеров iточек вариационного ряда. Для этого в строке, соответствующей первому значению вариационного ряда, запишем 1. Удерживая клавишуCTRL, выполним автоматическое заполнение ячеек столбца номеров. При заполненииExcelуказывает текущее значение номера (столбец 1 табл. 3.1).

6. Найдите теоретические значения аргумента, соответствующие значениям, полученным в опыте для эмпирической функции F_n(x_i), где– функция обратного нормального распределения. Для этого используйте функциюExcelНОРМСТОБР(), аргументом которой является значение функцииF_n(Z_i) (столбец 4 табл. 3.1).

7. 

   Рис. 3.1. График точек с прямой

   Постройте график точек, используя мас­тер диаграмм (рис. 3.1).

8. Для точек функции добавьте линию тренда (одноименная функция контекстного меню рядов данных) (рис. 3.1). Изменяя параметры линейной аппроксимации, добейтесь наилучшего приближения прямой к точкам, не учитывая при этом по 1–2 крайние точки с каждой стороны. Это можно сделать, установив значение точки пересечения кривой с осьюYв диалоговом окне «Формат линии тренда», вкладка «Параметры».

9. Вычислите по графику приближенные значения среднего арифметического (точка пересечения прямой тренда с осью абсцисс) и оценки СКО. Близость графических оценок к вычисленным значениями(см. работу № 1) является подтверждением правильности гипотезы о законе распределения.

Применение модифицированного критерия Колмогорова

1. Используя упорядоченные массивы х_i~N(5,1) иF_n(х_i) = , вычислите значения функции распределения вероятностейF(х_i, ,):

• Вычислите значения оценки СКО и среднего арифметического для исходной выборки в отдельных ячейках, используя стандартные статистические функции (см. работу № 1).

• z_iдля распределения, характеризуемого средним и стандартным отклонением по формуле (3.2).

• Значения функции распределения вероятностей Fвычислите с помощью функцииНОРМРАСП(x;среднее;СКО;1), которая возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и СКО. Последний аргумент определяет вид функции: 1 означает, что функцияНОРМРАСПвозвращает интегральную функцию распределения; 0 –возвращается функция плотности распределения. Уравнение для плотности нормального распределения имеет вид:

.

• Вычислите абсолютные значения отклонений эмпирической функции распределения от теоретической в отдельном столбце (диапазон N4:N28) и найдите максимальное из них(3.3), используя функциюМАКС(N4:N28).

2. Вычислите для выбранного уровня значимостиприближенным выражением

.

3. Наконец найдите значение модифицированного критерия Колмогорова (3.5). Если выполняется условие гипотеза о нормальности отвергается, в противном случае гипотеза принимается.

Использование критерия согласия

1. Для проверки закона распределения по критерию согласия Пирсона постройте данные в виде табл. 3.2.

Таблица 3.2

Номер инт-ла	Границы инт-лов	Число значений в инт-ле	Нормиров. граница инт-ла	Теор. вероятность
1	2	3	4	5	6	7

2. Заполните столбец 1, автоматическим заполнением ячеек.

3. В ячейки столбца 2 внесите ссылки на ячейки столбца значений границ интервалов, расположенных на листе построения гистограммы относительных частот. Число значений в интервале равно соответствующей частоте попадания значений вариационного ряда в интервал¹.

4. Вычислите значения теоретической вероятности (столбец 5):

• Вычислите для каждой границы интервала ее нормированное значение по формуле (3.2). Для этого воспользуйтесь функциейНОРМАЛИЗАЦИЯ(х;среднее;СКО) (столбец 4 табл. 3.2).

• Используя полученные значения в качестве аргумента, вычислите теоретическую интегральную функцию нормированного нормального распределения . ФункцияExcelНОРМРАСП.Значения аргументов: среднего = 0, оценка СКО = 1, так как значения границ уже нормированы.

• Далее по формуле (3.8) вычислите значения теоретической вероятности .

5. Заполните столбец 6, предварительно вычислив объем выборки (функцияСЧЕТ). Для контроля правильности вычислений выполните суммирование значений ячеек столбца 6 – результат должен быть немного меньше 1 (см. раздел 3, п. «Построение гистограммы» лабораторной работы № 2).

• Постройте график зависимости от значений середин интервалов. Результатом является теоретическая кривая нормального распределения. Сравните с графиком гистограммы, полученной в работе № 2.

6. Отдельно вычислите значение статистики критерия согласия Пирсона по формуле (3.7), предварительно заполнив ячейки столбца 7. Вычисленное значение сравнивается с табличным (критическим) при выбранном одностороннем уровне значимости. Если, то гипотеза о виде распределения принимается. Критическое значение статистики критерия можно вычислить с помощью функцииХИ2РАСП(x;степени_свободы), которая возвращает одностороннюю вероятность распределения . х – это значение, для которого требуется вычислить распределение. В нашем случае это значение статистики критерия согласия Пирсона, вычисленное по формуле (3.7). Степени_свободы – это число степеней свободы.

7. Для вычисления уровня значимости наблюденного значения статистики , т.е. такого значения, при котором значение критерия становится критическим, можно воспользоваться методом интерполяции табличных значений-распределения или приближенным выражением [6]:

,

где .

Решите обе задачи использования критерия Пирсона: п.6 и п.7. Сравните результаты вычислений.