5. Контрольные вопросы

1. Какие выборки называются однородными?

2. Какие значения основных статистических параметров должны иметь однородные выборки?

3. Как выполняется проверка гипотезы о равенстве дисперсий?

4. Как выполняется проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий?

5. В каком случае можно объединять две выборки?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 ОБЪЕДИНЕНИЕ СЕРИЙ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ /двухвыборочный t-тест для средних/

1. Цель работы

Изучить основные особенности и методы объединения результатов разных серий измерений в общий массив значений.

2. Задание

Выполнить объединение двух выборок разного объема из разных нормальных совокупностей с одинаковым математическим ожиданием и разной дисперсией, используя приближенный двухвыборочный t-критерий.

3. Краткая теория

В предыдущей работе была рассмотрена процедура проверки гипотезы о равенстве средних (математических ожиданий) двух нормальных распределений с неизвестными дисперсиями. При этом делалось предположение о равенстве дисперсий между собой.

Если при анализе результатов измерений была обнаружена неравноточность серий (условие (4.3) работы № 4 не выполнено), то гипотезу о равенстве математических ожиданий можно проверить по приближенному критерию:

, (5.1)

где

. (5.2)

Статистика tв выражении (5.1) подчиняется распределению Беренса-Фишера, пользование которым весьма затруднительно из-за отсутствия нужных таблиц и сложности процедуры пользования имеющимися. Приближенное выражение (5.2) позволяет пользоваться таблицамиt-распре­деления.

Если обнаружена неравноточность измерений в сериях, но серии однородны по условию (5.1), при совместной их обработке неравноточность учитывается при расчете среднего арифметического введением весов , а вычисления выполняются по формулам:

(5.3)

где выборочные средние,общее среднее (среднее арифметическое объединенных серий),выборочные оценки дисперсии.

Из курса теории вероятностей известно, что случайная величина в виде суммы двух случайных нормальных величин имеет также нормальное распределение. Однако в данном случае нельзя говорить о сумме случайных величин. Мы имеем дело со смесью двух распределений, нормальных, но с разными параметрами. Закон распределения такой смеси идентифицировать нельзя – он зависит от объемов выборок и от параметров обоих распределений. Чтобы убедиться в этом, можно построить гистограмму для объединенного массива для заметно различающихся объемов выборок, дисперсий или математических ожиданий (последнее наиболее наглядно покажет правильность нашего утверждения).

По этой причине оценивание математического ожидания доверительным интервалом Стьюдента будет весьма приближенным. По этой же причине мы не рекомендуем вычислять оценку СКО для объединенного массива как не имеющую смысла при неизвестном законе распределения. Наконец, по этой же причине в метрологии при объединении неравноточных результатов обычно ограничиваются указанием значения . Можно воспользоваться интервалом Чебышева, хотя скорее всего он будет излишне широким.

Интервал Чебышева – интервал вероятности для случайной величины, распределенной по любому закону, но с конечными математическим ожиданием и дисперсией, имеет вид (в качестве случайной величины используем общее среднее):

Поскольку неизвестна, воспользуемся ее оценкой по последней формуле из (5.3). Задавшись вероятностью, например, 0.90, мы приближенно получимоткуда приближенный доверительный интервал Чебышева примет вид:

(5.4)

при доверительной вероятности 0.90 (напомним, что для конкретного численного доверительного интервала следует говорить «при надежности 0.90»).